函數的求導法則2-3ppt課件

1、 2.3 函數的求導法則及基函數的求導法則及基本導數公式本導數公式(Operational rules of derivative)一、和、差、積、商的求導法則一、和、差、積、商的求導法則二、反函數的求導法則二、反函數的求導法則三、復合函數的求導法則三、復合函數的求導法則四、基本求導法則與導數公式四、基本求導法則與導數公式五、小結五、小結 并并且且可可導導處處也也在在點點分分母母不不為為零零們們的的和和、差差、積積、商商則則它它處處可可導導在在點點如如果果函函數數,)(,)(),(xxxvxu一、和、差、積、商的求導法則定理定理1);()( )()()(xvxuxvxu1).)()()()()

2、()()()()(032xvxvxvxuxvxuxvxu);()()()( )()()(xvxuxvxuxvxu2幻燈片 5證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設設hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 證證(1)(1)、(2)(2)略略. .hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvh

3、xvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處處可可導導在在xxf上面的法則可分別簡寫為：上面的法則可分別簡寫為：;)()(vuvu1).()()(032vvvuvuvu;)()(vuvuvu2可推廣到有限多項可推廣到有限多項特別地特別地.)(uccu如如.)(wvuwvuwvuwvu例例1 1.,cossin02342xyyxxxy及及求求解解23xy x4 .cos x . 10 xy例例2 2解解.),cos(sinyxxeyx求求)cos(sin)cos(sin)(xxexxeyxx)sin(cos)cos(sinxxexxexx.cos

4、xex2vuvuvu )(例例3 3.tan的的導導數數求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得2vvuvuvu )(例例4 4.sec 的的導導數數求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得.tansec)(secxxx即即.)( )(,),(|)(,)()(dydxdxdyyfxfIyyfx

5、xIxfyyfIyfxyxy11011或或且且內內也也可可導導在在區(qū)區(qū)間間那那末末它它的的反反函函數數可可導導且且內內單單調調、在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數數二、反函數的導數定理定理2簡單地說：簡單地說：反函數的導數等于直接函數導數的倒數反函數的導數等于直接函數導數的倒數. .幻燈片 11證證,xIx 任任取取xx 以增量以增量給給的的單單調調性性可可知知由由)(xfy1, 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連連續(xù)續(xù)xf1),0(0 xy0)(yf又知又知xyxfx01lim )(yxy 1lim0.)(yf 1), 0(xIxxx 例例5 5.arcsin的的導導數數求求函函數數xy

6、解解,)2,2(sin內單調、可導內單調、可導在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內內有有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc.112x 而而可導可導在點在點如果函數如果函數,)(xxgu 三、復合函數的求導法則定理定理3意義：因變量對自變量求導意義：因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間等于因變量對中間 變量求導變量求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導. . 則則復復合合函函數數可可導導在

7、在點點,)(xgu 且且其其導導數數為為可可導導,x.)()(dxdududydxdyxgufdxdy或或)(ufy 在點在點)(xgfy 幻燈片 15證證,)(可可導導在在點點由由uufy )(limufuyu0)lim()(00uufuy故故uuufy)(則則xyx 0lim)(limxuxuufx0 xuxuufxxx000limlimlim)().()(xguf證畢證畢.可推廣到多個中間變量可推廣到多個中間變量),(),(),(xvvuufy 設設.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的導導數數為為則則復復合合函函數數 例例6 6.sinln的導數的導數求函數求函數xy 解解

8、.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .xvuxvuyy 或或.)cos(ln的導數的導數求函數求函數xey .,cos,lnxevvuuy所給函數可分解為所給函數可分解為,sin,xedxdvvdvduududy1xevudxdy)sin(1例例7 7解解).tan()cos()sin(xxxxxeeeee熟練后熟練后, 不必再寫出中間變量不必再寫出中間變量.例例9 9.)1(102的的導導數數求求函函數數 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx復合函數求導順序復合函數求導順序“由外往里，

9、逐層求導由外往里，逐層求導”. .例例8 8解解.sin的的導導數數求求xy25. )(sinxxy2254)(sinsinxxy2254.cossinxx22104)(cossinxxx22254例例1010.1sin的的導導數數求求函函數數xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例1111.)2(21ln32的的導導數數求求函函數數 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy.)(23112xxx,0時時當當 xxxfx)ln(lim)(0100, 1 xxfx)ln()ln(li

10、m)(01100, 1 . 1)0( f例例1212).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設設解解, 1)( xf,0時時當當 x,0時時當當 x,)(xxf11.)()(lim)(axafxfafax.)(10 f且且例例1212).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設設解解.,)(01101xxxxf, 1)( xf,0時時當當 x,0時時當當 x,)(xxf11例例1313.ln2sin的的導導數數求求xxy 解解.2sin1ln2cos2xxxx )(lnsinln)(sin xxxxy22四、基本求導法則與導數公式0 )(C1.常數和基本初等函數的導數公式常數和基本初等函數的導數公式1xx)(axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( xxxxxxxtansec)(secsec)(tancos)(sin2xxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos2221111xxxx)(arctan)(arcsin2. 函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則.3. 反函數的求導法則反函數的求導法則.4. 復合函數的求導法則復合函數的求導法則.221111xxarcxx)cot()(arccos五、小結1