應(yīng)用多元分析期末復(fù)習(xí)練習(xí)題

1、多元復(fù)習(xí)1、多元統(tǒng)計(jì)分析是運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來(lái)解決多指標(biāo)問(wèn)題的理論和方法。2、多元分析研究的是多個(gè)隨機(jī)變量及相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)總體。3、如果A與B是兩個(gè)PXP維的方陣，則AB與BA有完全相同的特征值。4、隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣一定是非負(fù)定矩陣。5、若A為P階對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣T與對(duì)角矩陣A,則三者的關(guān)系有A=TA丁。6、設(shè)x是多元向量，服從正太分布即Xa為P維常熟向量，則其線性型aX服從一元正態(tài)分布，即a'xN（ary,7、方差相同的兩個(gè)隨機(jī)變量的差與和是不相關(guān)關(guān)系。8、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)是變量間離散程度的一種變量，并不能刻畫變量間可能存在的關(guān)聯(lián)程度的關(guān)系。9、變量的類型按尺度劃分為間隔

2、變量、有序變量、名義變量類型。10、公共因子方差與特殊因子方差之和為1。11、聚類分析是建立一種分析方法，它將一批樣品或變量按照它們?cè)谛再|(zhì)上的親疏關(guān)系進(jìn)行科學(xué)的分類。12、聚類分析是分析如何對(duì)樣品或變量進(jìn)行量化分析，通常分為Q型聚類和R型聚類。13、聚類分析中Q型聚類是對(duì)樣品進(jìn)行聚類，R型聚類是對(duì)變量進(jìn)行聚類。14、進(jìn)行判別分析時(shí)，通常指定一種判別規(guī)則用來(lái)判定新樣品的歸屬，常見的判別準(zhǔn)則有：費(fèi)希爾判別準(zhǔn)則、貝葉斯判別準(zhǔn)則。15、費(fèi)希爾判別法就是要找P個(gè)變量組成的線性判別函數(shù)I使得各組內(nèi)點(diǎn)的離差盡可能接近，而不同組間的點(diǎn)盡可能疏遠(yuǎn)。16、當(dāng)X次則作一行工便口）服從卡方分布，即G-研產(chǎn)正陽(yáng)爐。17

3、、威爾克斯統(tǒng)計(jì)量表達(dá)式：A=喝。葉川18、霍特林統(tǒng)計(jì)量表達(dá)式：T2=冗（手一阿）5y（x-城。19、兩個(gè)變量間的平方馬氏距離：工，y=（x-y：）T-（x-y）；總體的馬氏距離：d=ge=（k。20、方差相等的兩個(gè)隨機(jī)變量的關(guān)系：匕3（工二+工，如一工J二021、幾個(gè)變量間服從正態(tài)分布，各自獨(dú)立，樣品的均值向量服從正態(tài)分布。22、從代數(shù)觀點(diǎn)看主成分是P個(gè)原始相關(guān)變量的線性組合。23、變量共同度是指因子載荷矩陣中的第i行元素的平方和|。24、因子分析是指把每個(gè)原始變量分為兩部分因素，一部分是公共因子，另一部分是特殊因子。1、判別分析的目標(biāo)。答：判別分析的目標(biāo)有兩個(gè)：一是根據(jù)已知所屬組的樣本給出判

4、別函數(shù)，并制定判別規(guī)則，再依此判斷（或預(yù)測(cè)）每一新樣品應(yīng)歸屬的組別。另一是用圖形法或代數(shù)法描述各組樣品之間的差異性，盡可能地分離開各組。2、費(fèi)希爾判別的基本思想、目的、主要方法有哪些？答：費(fèi)希爾判別的基本思想是投影（或降維），用幾個(gè)費(fèi)希爾判別函數(shù)或典型變量來(lái)代替P個(gè)原始變量，以達(dá)到降維的目的。并根據(jù)這r個(gè)判別函數(shù)對(duì)樣品的歸屬作出判別或?qū)⒏鹘M分離。各個(gè)判別函數(shù)都具有單位方差，且彼此不相關(guān)。判別函數(shù)的方向并不正交，而作圖時(shí)仍將它們畫成直角坐標(biāo)系，從直觀的幾何圖上進(jìn)行判別，區(qū)別各組，這是費(fèi)希爾判別的重要應(yīng)用。為作圖時(shí)的需要，通常取判別函數(shù)個(gè)數(shù)r=2或3。3、聚類分析與判別分析的區(qū)別與聯(lián)系。答：判別分

5、析和聚類分析都是研究事物分類（或組）的基本方法，但它們卻有著不同的分類目的，彼此之間既有本質(zhì)的區(qū)別又有一定的聯(lián)系。它們的本質(zhì)區(qū)別在于：在于判別分析中，組的數(shù)目是已知的，我們將樣品分配給事先已定義好的組（或類）之一；而聚類分析中，無(wú)論是類的數(shù)目還是類的本身在事先都是未知的。它們的聯(lián)系在于：如果組不是已有的，則對(duì)組的事先了解和形成有時(shí)可以通過(guò)聚類分析探索得到；還有，聚類分析的效果往往也可以通過(guò)由前兩個(gè)（或三個(gè)）費(fèi)希爾判別函數(shù)得分產(chǎn)生的散點(diǎn)圖（或旋轉(zhuǎn)圖）從直覺(jué)上進(jìn)行評(píng)估。4、主成分的應(yīng)用分類。答：主成分的應(yīng)用可分為兩類：（1）在一些應(yīng)用中，這些主成分本身就是分析的目標(biāo)，此時(shí)需要給（用來(lái)降維的）前幾個(gè)

6、只成分一個(gè)符合實(shí)際背景和意義的解釋，以明白其大致的含義。（2）在更多的另一些應(yīng)用中，主成分只是要達(dá)到目標(biāo)的一個(gè)中間結(jié)果（或步驟），而非目標(biāo)本身。5、主成分與原始變量間的關(guān)系。答（1）主成分保留了原始變量絕大多數(shù)信息。（2）主成分的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于原始變量的數(shù)目。（3）各個(gè)主成分之間互不相關(guān)。（4）每個(gè)主成分都是原始變量的線性組合。6、因子分析與主成分分析的區(qū)別與聯(lián)系。答：(1)主成分涉及的只是一般的變量變換，它不能作為一個(gè)模型來(lái)描述，本質(zhì)上幾乎不需要任何假定；而因子分析需要構(gòu)造一個(gè)因子模型，并伴隨有幾個(gè)關(guān)鍵性的假定。(2)主成分是原始變量的線性組合；而在因子分析中，原始變量是因子的線性組合，但因子

7、卻一般不能表示為原始變量的線性組合。(3)在主成分分析中，強(qiáng)調(diào)的是用少數(shù)幾個(gè)主成分解釋總方差；而因子分析中，強(qiáng)調(diào)的是用少數(shù)幾個(gè)因子去描述協(xié)方差或相關(guān)關(guān)系。(4)主成分的解釋是唯一的(除非含有相同的特征值或特征向量為相反符號(hào))；而因子的解可以有很多,表現(xiàn)的比較靈活(主要體現(xiàn)在因子旋轉(zhuǎn)上)。這種靈活性使得變量在降維后更易得到解釋，這是因子分析比主成分分析更廣泛應(yīng)用的一個(gè)重要原因。(5)主成分不會(huì)因其提取個(gè)數(shù)的改變而變化，但因子分析往往會(huì)隨模型中因子個(gè)數(shù)的不同而變化。1、正交因子模型的不受單位的影響。一、.一、一*.證明：將x的單位做變化，通常是作一變換x=cx,這里的c=dia(gci,C2,.C

8、p),Ci>0,i=1,2,.p.于是*.一一.x=c-cAfc；._*-*令N=cN,A=cA,a=cw,則有:*.*_*x-Af；這個(gè)模型能滿足假定式的假定，即：中）=0*E（名）=0V（f）=I-*_*V（6）=Dcov（f,；）=cov（f,；）c=0一、*.*9*9其中D=diag（二1,二2,*2、*222,，.Op）,ai=qDi，i=1,2,.p。因此，單位變換后新的模型仍為正交因子模型。2、正交因子模型的因子載荷是不唯一的。證明：設(shè)T為任意mxm正交矩陣，令A(yù)=AT,f=Tf,則模型x=N+Af+&能表示為x=R+Af+君。.*.因?yàn)椋篍(f)=TE(f)=0_

9、*._.V(f)=TV(f)T=TT=I_*.CoVf,a)=曰f,名)=TE(f,葭)=0'E(f)=0E(a)=0所以仍滿足條件：V(f)=I222、V(；)=D=diag(二1，二2,.:p)cov(f,；)=E(f,；)=0-_-_-_.-_._._.從工=V(Af)+V(s)=AVf)A+V(&=AA+D或x=N+Af+名都可以看出工也F-*可以分解為三=AAD顯然，因子載荷矩陣A不是唯一的。3、性質(zhì)（7）設(shè)XNp（N,工），工>0,則（xN）5（xN）x2（P）。證明：令y=工，xN）,于是yNp（0,1）所以丫1。2,丫3.yp獨(dú)立同分布于n（0,1）所以由

10、卡方分布的定義知：12222,、（x-口）二（x-）=yy=yi».Np*（P）X=（兀1,兀2,兀3）'有密度2-2”試證x1x2,x3兩兩獨(dú)立但不,1_.、cf(XiX2，X3)一(11一sinx1sinx2sinx3),0<x1x2,x3<8二3一一0,其他互相獨(dú)立。qQqQ證明:3(x1)=f(x1x2,x3)dx2dx3二二二二,同理:f2(x2)f(x1,x2)3sinx1sinx2sinx3dx2dx31.tsin8二3x12sin10f3M)二MX-"x2dx237Tsinx3dx31-sinx1sinx2sin2二2二318二32x3)

11、dx32sinx1sinx2sinx3dx3同理：f(X1,X3)=從而f(X1,X2)=3(X12(X2),f(X1,X3)=3(X13(X3),f(X2,X3)=f2(X2)f3(X3)，f(X1,X2,X3);f1(X1)f2(X2)f3(X3)所以X1,X2,x3兩兩獨(dú)立但不互相獨(dú)立。5、設(shè)P維隨機(jī)向量X的向量和協(xié)方差矩陣分別為科和匯，求證:(1) E(xx)-1(2) E(xAx)=Etr(xxA)l-tr(三A)A一.2.11(3)假設(shè)N=N1,工=仃I和A=I市-試禾ij用(2)的結(jié)果證明E(xAx)/cr2=tr(A)=p一1。證明：(1)工=V(x)=E(x-k)(x-N)=

12、E(xx-x1-x)=E(xx)-所以：E(xx)-1(2)E(xAx)=Etr(xAx)1=Etr(xxA)1=trE(xxA)1=trE(xx)A】=tr(二-)Al-tr(三A)tr(A)=tr(三A)JAJ(3)由(2)知E(xAx)=tr(ZA)+NA,A-1(I=2(1111112(P.所以:E(xAx)2CJ-2tr(三A)_tr(-TA)=tr(A)=tr(I1=tr(I)一gtr(11)=_1._1_P-tr(11)-P-P-P-1PP6、性質(zhì)(3)設(shè)XNP(出工),y=cx+h其中c為rxp維常數(shù)矩陣，b為r維常數(shù)向量則yNr(N+b,c工c)。證明：X任意aeRr,ay=

13、aCx+ab,因?yàn)閤是多元正態(tài)變量，而a'cx是x的一個(gè)線性函數(shù)從而由性質(zhì)(2)的必要性知：aCx是一元正態(tài)變量，所以ay是一元正態(tài)變量；再由性質(zhì)(2)的充分性知：y是一個(gè)r元正態(tài)變量，又由于E(y)=cE(x)+b=cN+bV(y)=cV(x)c=c三c因而：yNr(R十b,cic')7、設(shè)XNP(kI),a為P維常數(shù)向量，則ax-N(aV,aHa)。證明：因?yàn)閄Np(此工)，a為P維常數(shù)向量，令y=ay,則有:E(y)=E(ax)=aE(x)=aV(y)=aV(x)a=a三a所以：axN(aU,aZa)8、設(shè)X4(N,工),這里x=仙工32P"：2'則從2

14、Jl口仃1仃2仃2/x1-x2=(11)x服從一兀正態(tài)分布。證明：E(X1-X2)=(1,一1)1=匕一也<h2J1仃2丫1"人-1220102-2：二1二21,22_-、即乂1X2NX-2,；1二2-2r-2)300、9、設(shè)XN3（出工），其中工05-1則X2和X3不獨(dú)立，X1和（X2,X3）獨(dú)立。0-11<J證明：因?yàn)閂（X2,X3）00,所以乂2和乂3不獨(dú)立;因?yàn)閂X1,（X2,X3）=0,所以X1和（X2,X3）獨(dú)立。0要求用最短距離法進(jìn)行聚類，并畫出聚類樹形圖。20340一c，-11、已知初始距離D（dlj）4黑4=一11gX1X2120721810310544

15、55432、設(shè)抽取5個(gè)樣品，每個(gè)樣品觀察2個(gè)指標(biāo)：X1：您每月大約喝多少啤酒；X2:您對(duì)“飲酒是人生的快樂(lè)這句話的看法如何?觀察數(shù)據(jù)如表所示：請(qǐng)用最短距離法進(jìn)行聚類，并畫出聚類樹形圖。超-1%:設(shè)由GN=i4q-£U8->）ado=口2-2。廣,/-2討6k”jGf7»藥+（，。-7）1肚土各4t-伶-7月土二10.2.cl/4/6,i2,oti4二W皆二氏£,丸4工，G,G>%4小Ga犯。S2衿o國(guó)卜J2中旬&oG5、為破6次囪JiG=0（"夕，二m；c:Jg4G/6/§&4/061b&120必修藥環(huán)0G.

16、U忘的'3丁二加冷）d，3,G65rG,Gg（。7Ilfs；oG。團(tuán)搟3»及7g=>yunf令G67（0S*0V，心"43M=心圖>，ck)r=6、32dj二2把6%合并為G6J.J45&廣/&/2Jm=13、把q-Gz/#為彳7也卜產(chǎn)3.除"37|他G60臉為G®為、以力二產(chǎn)g)寺邑掰，日8泰繇為6f7q1一，1G3或辰弋_、k"03、例6.3.1設(shè)有五個(gè)樣品，每個(gè)只測(cè)量了一個(gè)指標(biāo)，分別是1、2、6、8、11,使用最短距離法將它們分類。解：記G=1,G2=2,G3=6,G4=8,Gs=11,樣品間采用絕對(duì)值

17、距離。D（0）G1G2G3G4G5G10G210G3540G47620G5109530D（i）G6G3G4G5Gs0G340G4620G59530其中G6=GiUG2d(2)G6G7G5G60G740G5930其中G7=QUG4D(3)G6G8G60G840其中G6=GiUG24、為了研究遼寧省等5省區(qū)某年城鎮(zhèn)居民生活消費(fèi)的分布規(guī)律，根據(jù)調(diào)查資料做類型劃分省份x1X2X3X4X5X6X7X8遼寧7.9039.778.4912.9419.2711.052.0413.29浙江7.6850.3711.3513.3019.2514.592.7514.87河南9.4227.938.208.1416.17

18、9.421.559.76甘肅9.1627.989.019.3215.999.101.8211.35青海10.0628.6410.5210.0516.188.391.9610.81最短距離法樹形圖解:遼寧,G*浙江,G3T河南,G甘肅）,G青海采用歐氏距離：=(7,9-7,68)2+(39.77-5037)2+(8.49-1135)-+(12.94-%3.3戶+(19.27-19.25尸+(11.05-14.59)耳(2.04-2,75)H13.29-14.87月。3=11.67/3=13,80114=13.12%產(chǎn)12.80rf23=24.634乂=24.0622354J34=2.235=3.

19、51rf45=2.2112345211.670313.8024.630河南與甘肅的距離最近，先將二者（3和4）合為一類q=Ga，GJ413,1224,06220012.8023.543.512.210一d6i=&3朋=mind3/i4=13.12%=仙）2-皿43小=24066D,=l.25河南、甘甫與青海并為一新類Gt=G6，Gs=Gi9G4,GRd6S=d（3,4）5=miii心心=2.216125013.12024.0611.6702.2112.8023.540”d7i=d（3,451=mindi3，di4，di5=128°由2=%,42=miud23，d24，d25=

20、23.54712Z>3=7012.800G8=G1，G?223.5411.670rf78=mintZ71,tZ72=12.8078Z）4=70812.80河南3甘肅4青海5遼寧1浙江25、例1對(duì)某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圍、上半臂圍進(jìn)行測(cè)量得樣本數(shù)據(jù)如表1所示。根據(jù)以往資料該地區(qū)城市2歲男嬰的這三個(gè)指標(biāo)的均值由=(90,58,16),現(xiàn)欲在多元正態(tài)性假定下檢驗(yàn)該地區(qū)農(nóng)村男嬰是否與城市男嬰有相同的均值。這是假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：H。：戶如Hi：出表1某地區(qū)農(nóng)村男嬰的體格測(cè)量數(shù)據(jù)編號(hào)身高(cm)胸圍(cm)上半臂圍(cm)17860.616.527658.112.539263.214.54

21、8159.014.058160.815.568459.514.0解:'82.07X=60.2,X%=“511S1=23.13848-8.0、2.2,S1.54.3107-14.62108.946431.600=8.040、0.500-14.621059.7900-37.37608.0400.500、3.1721.3101.3101.900,8.9464'-37.376035.5936,T2=nX咕S,Xi=670.0741=420.445查表得Fo.o1(3,3)=29.5,于是35丁F*13,3=147.5故在顯著性水平“=0.01下，拒絕原假設(shè)Ho,即認(rèn)為農(nóng)村與城市的2周歲

22、男嬰上述三個(gè)指標(biāo)的均值有顯著差異(p=0.002)。1-206、例7.2.1設(shè)x=(xi,X2,X3)的協(xié)方差矩陣為2=-250<002其特征值為：4=5.83,力=2.00,為=0.17相應(yīng)的特征向量為：00.383、0'0.924、-0.924，t2=0，t3=0.38310.000，©000，若只取一個(gè)主成分，則貢獻(xiàn)率為：5.83/(5.83+2.00+0.17)=0.72875=72.875%yi及(丫1,丫2)對(duì)每個(gè)原始變量的貢獻(xiàn)率：i洛pS四)Ph.110.9250.8550.0000.855.一-0.9980.9960.0000.9963nnanEJ-JK

23、_=0.0004.n-t-r"?r-i1.000J1-J*1上LOGO"riTii.f可見，yi對(duì)第三個(gè)變量的貢獻(xiàn)率為零，這是因?yàn)閄3與Xi和X2都不相關(guān)，在yi中未包含一點(diǎn)有關(guān)X3的信息，這時(shí)僅取一個(gè)主成分就顯得不夠了，故應(yīng)再取y2,此時(shí)累計(jì)貢獻(xiàn)率為(5.83+2.00)/8=97.875%(yi,y2)對(duì)每個(gè)變量Xi的貢獻(xiàn)率分別為Pi,2=85.5%,p2u,2=99.6%,21,2=100%都比較tWj°,16230'、7、例7.2.2設(shè)x=(Xi,X2,X3)的協(xié)方差矩陣為2=214304100，經(jīng)計(jì)算，2的特征值及特征向量為:入1=109.793,加=6.469,2=0.7380.3050.944t10.0410.120。951)<-0.308