簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析

1、第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析 以前各章我們確定了構(gòu)件在各種變形情況下的內(nèi)力、應(yīng)力以前各章我們確定了構(gòu)件在各種變形情況下的內(nèi)力、應(yīng)力應(yīng)變、變形、位移的計算方法，尤其在受力分析中只要通過應(yīng)變、變形、位移的計算方法，尤其在受力分析中只要通過靜力學(xué)平衡方程就能解決，成為靜定問題。但工程中有很多靜力學(xué)平衡方程就能解決，成為靜定問題。但工程中有很多機構(gòu)和結(jié)構(gòu)，為了更好的承載或提高加工精度、提高剛度，機構(gòu)和結(jié)構(gòu)，為了更好的承載或提高加工精度、提高剛度，往往增加約束條件，單依靠靜力平衡方程是無法求解的，稱往往增加約

2、束條件，單依靠靜力平衡方程是無法求解的，稱超靜定問題。超靜定問題。 本章討論簡單超靜定（亦稱靜不定）系統(tǒng)的受力分析。首本章討論簡單超靜定（亦稱靜不定）系統(tǒng)的受力分析。首先要了解系統(tǒng)的概念，掌握靜定與超靜定的區(qū)別，明確超靜先要了解系統(tǒng)的概念，掌握靜定與超靜定的區(qū)別，明確超靜定系統(tǒng)的解題思路和分析計算方法。當(dāng)確定了多余約束力之定系統(tǒng)的解題思路和分析計算方法。當(dāng)確定了多余約束力之后，系統(tǒng)的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變、位移及強度、剛度、穩(wěn)定性后，系統(tǒng)的內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變、位移及強度、剛度、穩(wěn)定性的分析就迎刃而解了。的分析就迎刃而解了。第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析結(jié)構(gòu)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

3、作為承力的結(jié)構(gòu)，無論是桿件還是桿系，統(tǒng)稱為作為承力的結(jié)構(gòu)，無論是桿件還是桿系，統(tǒng)稱為 ，簡稱為，簡稱為，它們都必須具有足夠的，它們都必須具有足夠的 約束條件，使之有穩(wěn)定的形狀和位置。約束條件，使之有穩(wěn)定的形狀和位置。 靜定系統(tǒng)靜定系統(tǒng) 平面系統(tǒng)中必須具有三個約束條件，利用獨立的平面系統(tǒng)中必須具有三個約束條件，利用獨立的 三個平衡方程確定三個待定約束力；在空間系統(tǒng)三個平衡方程確定三個待定約束力；在空間系統(tǒng) 中必須具有六個約束條件，利用空間力系六個獨中必須具有六個約束條件，利用空間力系六個獨 立的平衡方程求解。這一類問題稱為立的平衡方程求解。這一類問題稱為超靜定系統(tǒng)超靜定系統(tǒng) 僅憑靜力平衡方程不能

4、解出全部約束力的系僅憑靜力平衡方程不能解出全部約束力的系 統(tǒng)，稱為統(tǒng)，稱為超靜定系統(tǒng)超靜定系統(tǒng)第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析超靜定系統(tǒng)超靜定系統(tǒng) 僅憑靜力平衡方程不能解出全部約束力的系僅憑靜力平衡方程不能解出全部約束力的系 統(tǒng)，稱為統(tǒng)，稱為超靜定系統(tǒng)超靜定系統(tǒng) 以右圖為例，被車床夾住的工以右圖為例，被車床夾住的工件有件有FAx、FAy、MA、FBy四個約束四個約束反力，而獨立的靜力平衡方程式反力，而獨立的靜力平衡方程式仍為三個，不能確定四個未知約仍為三個，不能確定四個未知約束力束力。 待求未知力的數(shù)超出所能建立的獨立平衡方程數(shù)的數(shù)目，待求未知力的數(shù)超出所能建立的

5、獨立平衡方程數(shù)的數(shù)目，稱為稱為超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)。 習(xí)慣上將超出平衡方程式數(shù)目的約束稱為習(xí)慣上將超出平衡方程式數(shù)目的約束稱為“多余多余”約束，約束，但從提高系統(tǒng)的剛度和穩(wěn)定性要求來說又是必要的，所以有但從提高系統(tǒng)的剛度和穩(wěn)定性要求來說又是必要的，所以有重要的實用價值。重要的實用價值。第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析 對于一次超靜定系統(tǒng)常采用變形疊加法列出變形協(xié)調(diào)條件，對于一次超靜定系統(tǒng)常采用變形疊加法列出變形協(xié)調(diào)條件，由物理方程得到補充方程，與靜力平衡方程一起即可求解，由物理方程得到補充方程，與靜力平衡方程一起即可求解，稱為稱為。 多次超靜定系統(tǒng)常利用能量原理仍

6、以多次超靜定系統(tǒng)常利用能量原理仍以“力力”作為基本未知作為基本未知量進(jìn)行求解，故稱為量進(jìn)行求解，故稱為。 解題思路都是將原超靜定系統(tǒng)的解題思路都是將原超靜定系統(tǒng)的“多余多余”約束去掉，得到約束去掉，得到幾何不變的靜定系統(tǒng)，稱之為原系統(tǒng)的幾何不變的靜定系統(tǒng)，稱之為原系統(tǒng)的系統(tǒng)系統(tǒng)（也稱靜定（也稱靜定基）基）。 將已知的載荷和待定的未知廣義力都視為外力作用在所選將已知的載荷和待定的未知廣義力都視為外力作用在所選擇的基本系統(tǒng)上，如果依此求得的待定未知廣義力即為原系擇的基本系統(tǒng)上，如果依此求得的待定未知廣義力即為原系統(tǒng)的統(tǒng)的“多余多余”約束力，那么后者系統(tǒng)的變形情況一定與原系約束力，那么后者系統(tǒng)的變形

7、情況一定與原系統(tǒng)是完全相當(dāng)?shù)模詫⑦@個后者系統(tǒng)稱為統(tǒng)是完全相當(dāng)?shù)?，所以將這個后者系統(tǒng)稱為。 第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析以圖以圖a所示所示A 端固定端固定B 端活動鉸支座的一次超靜定梁為例端活動鉸支座的一次超靜定梁為例 。圖圖b、c、d為原超靜定梁的基本系統(tǒng)（即靜定系統(tǒng)）為原超靜定梁的基本系統(tǒng)（即靜定系統(tǒng)） 以上提出的附加要求是基于變形一致以上提出的附加要求是基于變形一致的原則，常稱為的原則，常稱為它必須滿足小變形條件，將它必須滿足小變形條件，將物理方程物理方程( (胡克定律胡克定律) )，即建立力與位移，即建立力與位移的關(guān)系代入幾何方程中成為以力為待求的關(guān)

8、系代入幾何方程中成為以力為待求量的量的。n次超靜定，就要建立次超靜定，就要建立n個補充方程，以彌補靜力平衡方程數(shù)的個補充方程，以彌補靜力平衡方程數(shù)的不足，這樣就能求出所有以力為待求的不足，這樣就能求出所有以力為待求的未知值。未知值。 （a a）（b b）（c c）（d d）第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析 若利用廣義力和廣義位移的概念，將待定的未知力都用若利用廣義力和廣義位移的概念，將待定的未知力都用Xi表示（表示（i=1,2,n），變形協(xié)調(diào)條件都用表示，那么，其中第），變形協(xié)調(diào)條件都用表示，那么，其中第一項是已知外力一項是已知外力Fi在已知變形協(xié)調(diào)條件處的位移，

9、第二項是在已知變形協(xié)調(diào)條件處的位移，第二項是待求未知力待求未知力Xi在上述位置處的位移，顯然上面所指的力和位在上述位置處的位移，顯然上面所指的力和位移都是廣義的，這樣變形協(xié)調(diào)條件都可寫成相同的形式，最移都是廣義的，這樣變形協(xié)調(diào)條件都可寫成相同的形式，最后得出一組線性方程式，為后得出一組線性方程式，為（典型方程）。（典型方程）。 第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析 要使相當(dāng)系統(tǒng)代替原超靜定系統(tǒng)，應(yīng)使兩者變形完全一致，要使相當(dāng)系統(tǒng)代替原超靜定系統(tǒng)，應(yīng)使兩者變形完全一致，使相當(dāng)系統(tǒng)在去掉使相當(dāng)系統(tǒng)在去掉“多余多余”約束后，在該處的位移（廣義位約束后，在該處的位移（廣義位移

10、）滿足原超靜定系統(tǒng)在該處的約束條件，這就是移）滿足原超靜定系統(tǒng)在該處的約束條件，這就是。 如圖如圖a所示平面桁架是靜定系統(tǒng)。桁架中，在所示平面桁架是靜定系統(tǒng)。桁架中，在A節(jié)點處添加節(jié)點處添加一桿件一桿件AD（圖（圖c），為一次超靜定系統(tǒng)。），為一次超靜定系統(tǒng)。第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析三個位移間必然滿足幾何關(guān)系：三個位移間必然滿足幾何關(guān)系： 仍選圖仍選圖a a作為基本系統(tǒng)，將作為基本系統(tǒng)，將ADAD桿作為桿作為“多余多余”約束，視約束，視 為待求的廣義力，將載荷為待求的廣義力，將載荷F F和和 作用在基本系統(tǒng)上成為相當(dāng)作用在基本系統(tǒng)上成為相當(dāng)系統(tǒng)。那么在系統(tǒng)

11、。那么在 、 、 和和F F作用在節(jié)點作用在節(jié)點A A后，使后，使ACAC和和ADAD桿桿伸長（伸長（2 2、3 3），），ABAB桿縮短（桿縮短（1 1）。原系統(tǒng)的上述三桿匯）。原系統(tǒng)的上述三桿匯交在節(jié)點交在節(jié)點A A，在相當(dāng)系統(tǒng)上，變形后仍應(yīng)匯聚在一個新位置，在相當(dāng)系統(tǒng)上，變形后仍應(yīng)匯聚在一個新位置A A（圖（圖e)e)。3NF3NF1NF2NF3NF變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件sincos213（1 1）第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析設(shè)三桿的剛度分別為設(shè)三桿的剛度分別為E1A1，E2A2，E3A3，長度分別為，長度分別為l1 ，l2 ，l 3 。sincos2

12、13（a a）由（由（4.14.1）得）得將式（將式（b b）帶入（）帶入（a a），得補充方程為），得補充方程為cossin1222111333213AElFAElFAElFNNN（c c）)()()(333322221111321伸長伸長縮短AElFAElFAElFNNN（b b）第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析而平衡方程為而平衡方程為120,cos0 xNNFFF（d d）310,sin0yNNFFFF（e e）聯(lián)立求解（聯(lián)立求解（c）、（）、（d）、（）、（e）三式，設(shè)）三式，設(shè)l1=l，l2=lcos，l3=l1=l解得解得123323311223233

13、1122333112232331122sin1cos()sinsincos1cos()sin1cos()1cos()sinNNNFFE AE AE AFFE AE AE AFE AE AE AFE AE AE A（f f） 說明靜定系統(tǒng)的受力與其說明靜定系統(tǒng)的受力與其剛度無關(guān)，而超靜定系統(tǒng)的剛度無關(guān)，而超靜定系統(tǒng)的受力與其剛度密切相關(guān)。受力與其剛度密切相關(guān)。 cossin1222111333213AElFAElFAElFNNN（c c）第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析例例6.1 6.1 求圖求圖a a所示等直桿所示等直桿ABAB上、下端的約束力，并求上、下端的約束

14、力，并求C C截面截面的位移。桿的拉壓剛度為的位移。桿的拉壓剛度為EAEA。解解:(1) :(1) 有兩個未知，但只有一個獨有兩個未知，但只有一個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問立的平衡方程，故為一次超靜定問題。題。0ABFFF+(2)(2)取固定端取固定端B B為多余約束。相應(yīng)的為多余約束。相應(yīng)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖，它應(yīng)滿足相容條件相當(dāng)系統(tǒng)如圖，它應(yīng)滿足相容條件0BFBB(3) (3) 補充方程為補充方程為 0BF lFaEAEABFaFl第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析(4) (4) 由平衡方程由平衡方程FA+FB-F=0 AFaFbFFll(5) (5) 利用相當(dāng)

15、系統(tǒng)求得利用相當(dāng)系統(tǒng)求得 ACFbaF aFablEAEAlEA第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析例例6.2 6.2 設(shè)設(shè)1 1、2 2、3 3三桿用鉸連接如圖所示。已知三桿用鉸連接如圖所示。已知1 1、2 2兩桿的兩桿的長度、橫截面面積及材料均相同，即長度、橫截面面積及材料均相同，即l l1 1= =l l2 2= =l l，A A1 1= =A A2 2= =A A，E E1 1= =E E2 2= =E E；桿；桿3 3的長度為的長度為l l3 3，橫截面面積為，橫截面面積為A A，其材料的彈性，其材料的彈性模量為模量為E E3 3. .試求在沿鉛垂方向的外力

16、試求在沿鉛垂方向的外力F F作用下各桿的軸力。作用下各桿的軸力。解：解：(1) 靜力平衡方程(2) 補充方程11NF llEA3333cosNF llE A得補充方程為21333cosNNEAFFE A第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析(3) 各桿軸力各桿軸力123322coscosNNFFFE AEA333312cosNFFEAE A本例中也可將桿本例中也可將桿3與桿與桿1、2的結(jié)點的結(jié)點A間的間的鉸接視為多余約束，其多余未知力為一對鉸接視為多余約束，其多余未知力為一對分別作用于桿分別作用于桿3和桿和桿1、2結(jié)點結(jié)點A的力的力 ，相，相應(yīng)的基本靜定系如圖所示，其變

17、形相容方應(yīng)的基本靜定系如圖所示，其變形相容方程為程為 。若已知。若已知 與桿系外力與桿系外力 間的物理關(guān)系間的物理關(guān)系，則由補充方程即可解得多余未知力，則由補充方程即可解得多余未知力 。第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析例例6.36.3在圖所示的結(jié)構(gòu)中，設(shè)橫梁在圖所示的結(jié)構(gòu)中，設(shè)橫梁ABAB的變形可以省略，的變形可以省略，1,21,2兩桿的兩桿的 橫截面面積相等、材料相同。試求橫截面面積相等、材料相同。試求1,21,2兩桿的內(nèi)力兩桿的內(nèi)力。解：解：(1) 靜力平衡方程靜力平衡方程設(shè)設(shè)1,2兩桿的軸力分別為兩桿的軸力分別為FN1和和FN2，由，由AB桿的平衡桿的平衡方

18、程方程 ，得，得2132cos0NNFFF(2) 補充方程補充方程由于橫梁由于橫梁AB是剛性桿，結(jié)構(gòu)變形后，它仍是剛性桿，結(jié)構(gòu)變形后，它仍為直桿，變形協(xié)調(diào)方程為直桿，變形協(xié)調(diào)方程212cosll (3) 由胡克定律由胡克定律1212,cosNNF lF lllEAEA 2122cosNNF lF lEAEA2123336cos, 4cos14cos1NNFFFF第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析例例6.4 6.4 根具有等剛度（根具有等剛度（EAEA）和等長度（）和等長度（l l）的彈性桿，在頂）的彈性桿，在頂部部D D端用剛性螺栓聯(lián)接如圖端用剛性螺栓聯(lián)接如圖a a

19、。三桿中左右兩桿。三桿中左右兩桿CCCC1 1和和HHHH1 1的下的下端端C C、H H處有剛性支承不能向下移動，中間桿處有剛性支承不能向下移動，中間桿DBDB下端為自由邊下端為自由邊界，受軸向載荷界，受軸向載荷F F作用（圖作用（圖b b）。試求：）。試求：（1 1）中間桿）中間桿BDBD兩端的相對位移兩端的相對位移BDBD和和B B端的位移端的位移B B 。第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析（2 2）如果中間桿的）如果中間桿的B B端也為剛性支承，軸向載荷端也為剛性支承，軸向載荷F F作用在頂作用在頂部部D D，中間桿，中間桿BDBD的相對位移的相對位移BDB

20、D又如何。又如何。（3 3）如果三根桿底部均為剛性支承，不受載荷作用，但中）如果三根桿底部均為剛性支承，不受載荷作用，但中間桿間桿DBDB受到升溫受到升溫tt的影響，材料的線膨脹系數(shù)為的影響，材料的線膨脹系數(shù)為，則，則中間桿的兩端相對位移中間桿的兩端相對位移BDBD又如何？又如何？第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析解：解：（1 1）在）在F F力作用下，三桿都有力作用下，三桿都有變形。由于左右兩桿下端都有剛性支變形。由于左右兩桿下端都有剛性支承承, ,故三桿的軸力分別為故三桿的軸力分別為FFFFFDHCNNN,2( )2CNDFLFLEAEA 3( )22BDBDF

21、LFLFLEAEAEA )(伸長EAFLDBDB使使D D端由于左右兩桿受壓而向下位移了，即端由于左右兩桿受壓而向下位移了，即則則DBDB中間桿兩端的相對位移為中間桿兩端的相對位移為 第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析（2 2）如果）如果B B端也是剛性支承，平衡端也是剛性支承，平衡方程為方程為0,00HCCHBDNNyNNNMFaF aFFFFF無法求解三個未知軸力，故為一次超無法求解三個未知軸力，故為一次超靜定系統(tǒng)。靜定系統(tǒng)。變形協(xié)調(diào)條變形協(xié)調(diào)條件為件為CHB 補充方程為補充方程為 HNNCNBFLFLF LEAEAEA(3HNCNBNFFFF 壓力）從而得從而

22、得DBDB中間桿的相對位移中間桿的相對位移)(303縮短EAFLEAFLEALFDNBDBD由于由于B B端不移動，所以端不移動，所以DBDB桿的相對位移即為桿的相對位移即為D D端的位移。結(jié)端的位移。結(jié)果與（果與（1 1）比較，超靜定系統(tǒng)的剛度增強了，位移變小了。）比較，超靜定系統(tǒng)的剛度增強了，位移變小了。第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析（3 3）如果三桿約束與（）如果三桿約束與（1 1）一樣，）一樣，但不受但不受F F力作用，就在中間桿受升溫影力作用，就在中間桿受升溫影響，則中間桿可自由伸長。響，則中間桿可自由伸長。LtB而中間桿而中間桿D D端仍在原位，所以

23、中間桿兩端的相對位移為端仍在原位，所以中間桿兩端的相對位移為)(0伸長LtLtDBBD根據(jù)題意根據(jù)題意DBDB桿下端也受剛性支承約束，它升溫后，自由伸長桿下端也受剛性支承約束，它升溫后，自由伸長受到左右兩根彈性桿的約束限制，由于受到左右兩根彈性桿的約束限制，由于D D端是剛性螺栓，熱漲后端是剛性螺栓，熱漲后仍應(yīng)保持水平位置。所以左右兩桿必然要拉長，而中間桿受限仍應(yīng)保持水平位置。所以左右兩桿必然要拉長，而中間桿受限制，要縮短（圖制，要縮短（圖c c），得），得變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件為為LttDC第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件LttDC而平

24、衡方程為而平衡方程為 02DCNNFF于是得補充方程為于是得補充方程為LtEALFEALFDCNN解得解得 )(31, )(32拉力壓力EAtFEAtFCDNNDBDB中間桿的相對位移為中間桿的相對位移為ltltltEAlFltDNDtBD3132由于由于B B處位移為處位移為B B=0=0，所以，所以DBDB桿的相對位移桿的相對位移BDBD即為即為D D處受溫度處受溫度影響的最終位置，它就是左、右兩桿受溫度影響的伸長位移影響的最終位置，它就是左、右兩桿受溫度影響的伸長位移 這都是由于溫度改變而引起超靜定系統(tǒng)的溫度內(nèi)力，由此引起這都是由于溫度改變而引起超靜定系統(tǒng)的溫度內(nèi)力，由此引起溫度應(yīng)力：溫

25、度應(yīng)力： （壓應(yīng)力），（壓應(yīng)力）， （拉應(yīng)力）（拉應(yīng)力） 。但在靜。但在靜定系統(tǒng)中是不存在的。定系統(tǒng)中是不存在的。EtD32EtD3213CNCHF lt lEA 第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析例例6.56.5長度為長度為l l的鋼柱與銅管，置于兩剛性平板之間，（圖的鋼柱與銅管，置于兩剛性平板之間，（圖5-12 ,a5-12 ,a）鋼柱和銅管的抗拉（壓）剛度各為）鋼柱和銅管的抗拉（壓）剛度各為E ES SA AS S和和E EC CA AC C，線，線膨脹系數(shù)各為膨脹系數(shù)各為S S和和C C，在軸向壓力，在軸向壓力F F作用下，當(dāng)鋼柱和銅管作用下，當(dāng)鋼柱和銅管同

26、時受到升溫同時受到升溫t t的影響，試導(dǎo)出載荷的影響，試導(dǎo)出載荷F F僅由鋼柱承受時，需僅由鋼柱承受時，需增加的溫度增加的溫度t t為多少。為多少。 解：解：由于銅的線膨脹系數(shù)高于鋼，由于銅的線膨脹系數(shù)高于鋼，即即C C S S 。設(shè)該裝置底部。設(shè)該裝置底部A A的位置相的位置相對固定，則在無剛板約束下，銅管和對固定，則在無剛板約束下，銅管和鋼柱由于升溫鋼柱由于升溫t t而自由膨脹的位移而自由膨脹的位移為為 其中其中 在軸向壓力在軸向壓力F F作用下，銅管壓縮位移作用下，銅管壓縮位移的臨界值的臨界值c c為接近鋼柱的熱膨脹位為接近鋼柱的熱膨脹位移移tsts。SCttltltSStCCt,第六章

27、第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件StCFCt于是得補充方程為于是得補充方程為ltAEFlltSCCC解得：解得：CCSCAEFt)(第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析例例6.6 6.6 下圖表示銅套筒中穿過一個鋼螺栓，已知它們的抗下圖表示銅套筒中穿過一個鋼螺栓，已知它們的抗拉（壓）剛度分別為拉（壓）剛度分別為ECAC和和ESAS。當(dāng)螺母未擰緊時，兩墊圈。當(dāng)螺母未擰緊時，兩墊圈之間的距離為之間的距離為l。若把螺母旋緊。若把螺母旋緊1/5圈，螺距為圈，螺距為h，求銅套筒和，求銅套筒和鋼螺栓桿所受的壓力。鋼螺栓桿所受的壓力。

28、 解：解：若把螺母旋緊若把螺母旋緊h/5，使螺栓受到，使螺栓受到拉力、套筒受到壓力。用截面法將該拉力、套筒受到壓力。用截面法將該聯(lián)接裝置假想切開，以和分別代表套聯(lián)接裝置假想切開，以和分別代表套筒的軸向壓力和螺栓的軸向拉力。兩筒的軸向壓力和螺栓的軸向拉力。兩個待定未知力，只有一個平衡方程：個待定未知力，只有一個平衡方程： 0,0CSxNNFFF故為一次超靜定系統(tǒng)，需要找出一個變形協(xié)調(diào)條件，建立故為一次超靜定系統(tǒng)，需要找出一個變形協(xié)調(diào)條件，建立一個補充方程，它們分別是一個補充方程，它們分別是 5/hCS5hAElFAElFCCNSSNCS第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分

29、析0,0CSxNNFFF5hAElFAElFCCNSSNCS)(5CCSSCSCSNNAEAElAAEhEFFSC套筒和螺栓所受到的應(yīng)力分別為套筒和螺栓所受到的應(yīng)力分別為： ,)(5,)(5CCSSCCSSNSCCSSSCSCNCAEAElAEhEAFAEAElAEhEAFSC第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析 變形協(xié)調(diào)條件是使相當(dāng)系統(tǒng)在變形協(xié)調(diào)條件是使相當(dāng)系統(tǒng)在“多余多余”約束處的位移與原約束處的位移與原系統(tǒng)相一致，物理條件采用剪切胡克定律，使變形協(xié)調(diào)條件系統(tǒng)相一致，物理條件采用剪切胡克定律，使變形協(xié)調(diào)條件改寫成以力（廣義力）為待求量的補充方程式，與靜力平衡改寫成

30、以力（廣義力）為待求量的補充方程式，與靜力平衡方程式聯(lián)立求解。變形協(xié)調(diào)條件建立在求扭轉(zhuǎn)角的基礎(chǔ)上，方程式聯(lián)立求解。變形協(xié)調(diào)條件建立在求扭轉(zhuǎn)角的基礎(chǔ)上，補充方程一般以轉(zhuǎn)矩為廣義力。補充方程一般以轉(zhuǎn)矩為廣義力。 圖圖5-55-5所示為端部固定的實心圓軸和空心圓管在所示為端部固定的實心圓軸和空心圓管在C C處用銷釘處用銷釘聯(lián)接。聯(lián)接。 第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析 軸和管配裝后組成一個受力系軸和管配裝后組成一個受力系統(tǒng)。當(dāng)管的統(tǒng)。當(dāng)管的B端沒有約束時，只需端沒有約束時，只需轉(zhuǎn)動一個角，很易配裝，不引起轉(zhuǎn)動一個角，很易配裝，不引起任何后果，不產(chǎn)生任何作用力，任何后果，

31、不產(chǎn)生任何作用力，系統(tǒng)是靜定的。系統(tǒng)是靜定的。 如果管材在如果管材在B端是固定的，銷孔的制造誤差在強行裝配后會端是固定的，銷孔的制造誤差在強行裝配后會引起附加的應(yīng)力，稱為裝配應(yīng)力，組成一個受扭變形的超靜引起附加的應(yīng)力，稱為裝配應(yīng)力，組成一個受扭變形的超靜定系統(tǒng)。定系統(tǒng)。 PCCCCPSSSCIGlTIGlTPSSSCCAIGlTPCCCCCBIGlTCACBCCTTMx, 0PCCCPSSSCCIGlIGlTT第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析例例 圓軸圓軸ABAB在在ACAC段為實心圓截面，直徑段為實心圓截面，直徑D D=20 mm=20 mm，CBCB段為空段為

32、空心圓截面，內(nèi)外徑分別為心圓截面，內(nèi)外徑分別為d d=16 mm=16 mm和和D D=20 mm=20 mm。軸兩端。軸兩端A A、B B為為固定端，在實心和空心交界截面固定端，在實心和空心交界截面C C處受力偶矩處受力偶矩MeMe=120 N m=120 N m作用如圖作用如圖a a，已知軸材料的切變模量，已知軸材料的切變模量G G=80 GPa=80 GPa，試求該軸最，試求該軸最大單位扭轉(zhuǎn)角。大單位扭轉(zhuǎn)角。 解：解：將軸兩端約束去掉代之以將軸兩端約束去掉代之以待求約束反力待求約束反力M MA A和和M MB B，得平衡方，得平衡方程為程為MA=0, MeMAMB=0 為一次超靜定系統(tǒng)，

33、為一次超靜定系統(tǒng)，變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件為為0 CBACAB第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件0 CBACAB補充方程由式（補充方程由式（4.4，C）得）得0)2016(1 1032)20(1080191003210)20(10801012541249312493BATT解得解得ABBTMT738. 0mN51,mN69BATT由于由于ACAC段和段和CBCB段的極慣性矩不相同，應(yīng)在段的極慣性矩不相同，應(yīng)在 和和 中取其中取其較大者來計算該軸的最大單位扭轉(zhuǎn)角較大者來計算該軸的最大單位扭轉(zhuǎn)角 。 PACAITPCBBITmax第六章第六章 簡

34、單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析由于由于ACAC段和段和CBCB段的極慣性矩不相同，應(yīng)在段的極慣性矩不相同，應(yīng)在 和和 中取其中取其較大者來計算該軸的最大單位扭轉(zhuǎn)角較大者來計算該軸的最大單位扭轉(zhuǎn)角 。 PACAITPCBBITmax8412481241055)2016(1 1032)20(5110441032)20(69PCBBPACAITITmGITPCBB/94. 3)2016(1 10)20(3210801805118041249max第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析例例 芯軸和套管用膠帶牢固粘合在一起成為一受扭圓軸（圖芯軸和套管用膠帶牢固粘合

35、在一起成為一受扭圓軸（圖a）。已知芯軸和套管的抗扭剛度分別為）。已知芯軸和套管的抗扭剛度分別為 和和 ，試求，試求在外力偶在外力偶Me作用時，芯軸和套管的扭矩。作用時，芯軸和套管的扭矩。11PIG22PIG解：解：由于由于AB軸由芯軸和套管軸由芯軸和套管兩部分組成，在兩部分組成，在Me作用下，每作用下，每一部分承受的扭矩分別為一部分承受的扭矩分別為T1和和T2（圖（圖b），但平衡方程僅有一個），但平衡方程僅有一個 MX=0, T1+T2Me=0 為一次超靜定。為一次超靜定。變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件為芯軸和套管的扭轉(zhuǎn)角和應(yīng)為芯軸和套管的扭轉(zhuǎn)角和應(yīng)該相等，即該相等，即21第六章第六章 簡單超靜定系

36、統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件21補充方程為補充方程為222111ppIGlTIGlT解得解得22112222211111,ppepppepIGIGMIGTIGIGMIGT第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析 圖圖a為等剛度三支座梁為一次為等剛度三支座梁為一次超靜定系統(tǒng)，需建立一個變形超靜定系統(tǒng)，需建立一個變形協(xié)調(diào)條件，得一個補充方程協(xié)調(diào)條件，得一個補充方程。 （1）選取基本系統(tǒng)。為了不破壞）選取基本系統(tǒng)。為了不破壞對稱性，選取圖對稱性，選取圖b簡支梁為宜。簡支梁為宜。（2 2）取相當(dāng)系統(tǒng)，將均布力）取相當(dāng)系統(tǒng)，將均布力q q和和“多余多

37、余”約束力約束力F FCyCy作為外力，相作為外力，相當(dāng)系統(tǒng)如圖當(dāng)系統(tǒng)如圖c c。（3）建立變形協(xié)調(diào)條件。由于原系統(tǒng)的撓曲線如圖）建立變形協(xié)調(diào)條件。由于原系統(tǒng)的撓曲線如圖a虛線所虛線所示，在支座示，在支座C處的撓度為零，所以相當(dāng)系統(tǒng)（圖處的撓度為零，所以相當(dāng)系統(tǒng)（圖c）的撓曲線）的撓曲線也應(yīng)與原系統(tǒng)一致也應(yīng)與原系統(tǒng)一致。即即0CyCCqCFwww（a a）第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析（4 4）寫出物理方程（可查附錄）寫出物理方程（可查附錄）44335 (2 )5()38424(2 )( )486CCqCyCyCFqlqlwEIElFlF lwEIEl（5 5）

38、代入變形協(xié)調(diào)方程式（）代入變形協(xié)調(diào)方程式（a a），），得補充方程為得補充方程為 3450246CyCF lqlwEIEl（b b）解得解得“多余多余”約束力為約束力為54CyFql結(jié)果為正，表明假設(shè)結(jié)果為正，表明假設(shè)C處的約束反力處的約束反力 FCy（) )的方向是正的方向是正確的。確的。第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析54CyFql（6 6）代入靜力平衡方程式代入靜力平衡方程式如果利用對稱性，必然如果利用對稱性，必然FAy=FBy，可免去（，可免去（d d）, ,由式（由式（e e）得到）得到0,0(3)(2 )30,()(4)2830,2()(5)8xAxC

39、yAByyAyCyByFFqllF lMFqllFFqlFFql （c c）（d d）（e e）23()28CAyByqlRFFql剪力圖剪力圖第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析例例 長度為長度為l、抗彎剛度為抗彎剛度為EI的超靜定梁的超靜定梁AB，在，在C截面處承受集截面處承受集中荷載中荷載F，如圖所示。試作梁的彎矩圖，如圖所示。試作梁的彎矩圖。解：（解：（1）設(shè)支座）設(shè)支座B為多余約束，相應(yīng)的多余約束力為為多余約束，相應(yīng)的多余約束力為FB，選取圖所示的懸，選取圖所示的懸臂梁為基本系統(tǒng)。臂梁為基本系統(tǒng)。（2）建立變形協(xié)調(diào)條件。比較基本系統(tǒng)和原結(jié)構(gòu)，在支座）建立變形

40、協(xié)調(diào)條件。比較基本系統(tǒng)和原結(jié)構(gòu)，在支座B處應(yīng)滿足相同處應(yīng)滿足相同的變形條件，即的變形條件，即0BBFFwww第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析（3）通過查表5.1，可以得到2(3)6FFawlaEI 33BBFF lwEI （4）代入變形協(xié)調(diào)方程式，得補充方程為32(3)063BBF lFawlaEIEI 2332BFaFlal（5）作梁的彎矩圖。第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析 圖圖a a為梁、桁架組合結(jié)構(gòu)，由橫梁為梁、桁架組合結(jié)構(gòu)，由橫梁AB和三根桿和三根桿1 1、2 2、3 3組成，組成，在梁跨中在梁跨中C處受鉛垂集中力處受鉛垂集

41、中力F F作用，設(shè)梁的抗彎剛度為作用，設(shè)梁的抗彎剛度為EIEI桿的抗桿的抗拉（壓）剛度均為拉（壓）剛度均為EA，且，且 ，忽略軸向力對梁的影響，忽略軸向力對梁的影響，試確定該系統(tǒng)的內(nèi)力。試確定該系統(tǒng)的內(nèi)力。62AlI （a a） 此結(jié)構(gòu)為一次內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。設(shè)選此結(jié)構(gòu)為一次內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。設(shè)選3 3桿為多余桿，則圖桿為多余桿，則圖b b為其相當(dāng)系統(tǒng)，將為其相當(dāng)系統(tǒng)，將3 3桿截開，在桿截開，在m m、m m上代之以軸力上代之以軸力 。3NF（b b）第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析（b b）變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件0mm根據(jù)相當(dāng)系統(tǒng)的受力，由對稱性得系統(tǒng)在根據(jù)相當(dāng)

42、系統(tǒng)的受力，由對稱性得系統(tǒng)在A A、B B處的約束反力處的約束反力 )(2FFFByAy3122sinNNNFFF 由節(jié)點由節(jié)點D D，可求出桿，可求出桿1 1和和2 2的軸力為的軸力為（c c）3131( )sin(sin)()(0)22sin2NAyNNFFM xFxFxxxFFxxl 在對稱結(jié)構(gòu)、對稱力作用下梁的彎矩方程在對稱結(jié)構(gòu)、對稱力作用下梁的彎矩方程ACAC段和段和CBCB段也一定段也一定是對稱的，只要列出是對稱的，只要列出ACAC段，則段，則第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析為求相對位移，需在為求相對位移，需在3 3桿的桿的m m、m m截面截面各加一

43、單位力，如圖各加一單位力，如圖c c所示，得所示，得（b b）（c c）)0(21)(sin2121lxxxMFFNN由莫爾積分式（由莫爾積分式（4.304.30），得補充方程為），得補充方程為0tancossin211 tancossin21)(611)sin21)(sin2(221)(212)()(22233103201333333322211EAlFEAFllEAFlFFEIEAllFlFdxxxFFEIlEAFFlEAFFlEAFFdxEIxMxMmmNNNNNlNNNNNlNN)tancossin211 (23FFN第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析圖圖a

44、 a，試?yán)L內(nèi)力圖，確定危險截面。，試?yán)L內(nèi)力圖，確定危險截面。 這是一次外力超靜這是一次外力超靜- -定系統(tǒng)，設(shè)取圖定系統(tǒng)，設(shè)取圖b b為相為相當(dāng)系統(tǒng)，為便于采用圖乘法，將分布力引當(dāng)系統(tǒng)，為便于采用圖乘法，將分布力引起的和待定多余約束起的和待定多余約束F Fcycy引起的彎矩圖分別引起的彎矩圖分別繪于圖繪于圖c c、d d，由單位廣義力，由單位廣義力FCyFCy引起的彎矩引起的彎矩圖為圖圖為圖e e。變形協(xié)調(diào)條件為。變形協(xié)調(diào)條件為 , , 由式（由式（4.334.33），得圖乘法表示的補充方程為：），得圖乘法表示的補充方程為：0CEIcMAc第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的

45、受力分析032813344llFqlqlEIEIcMACyc)(3215qlFCy由平衡條件可得由平衡條件可得22220,015170,()3232150,223232xAxyAyAACyFFqlqlFFqlqlqlqlqlMMF l 由第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析 在力法中往往將補充方程寫成普遍適用的標(biāo)準(zhǔn)形式，特在力法中往往將補充方程寫成普遍適用的標(biāo)準(zhǔn)形式，特別強調(diào)廣義力和廣義位移概念的應(yīng)用。別強調(diào)廣義力和廣義位移概念的應(yīng)用。 01變形協(xié)調(diào)條件。變形協(xié)調(diào)條件。 現(xiàn)以圖現(xiàn)以圖a a為例，它是為例，它是一次一次外力超靜定系統(tǒng)，需建立外力超靜定系統(tǒng)，需建立一個一個

46、補補充方程。取支座充方程。取支座B B為多余約束為多余約束F FB By y, ,如寫成普遍形式，用如寫成普遍形式，用X X1 1代代替，圖替，圖b b、c c分別為基本系統(tǒng)和相當(dāng)系統(tǒng)。如以分別為基本系統(tǒng)和相當(dāng)系統(tǒng)。如以1 1表示在表示在F F和和X X1 1共同作用下，相當(dāng)系統(tǒng)在共同作用下，相當(dāng)系統(tǒng)在B B截面沿截面沿X X1 1方向的位移。因為方向的位移。因為B B為活動鉸支座，它在為活動鉸支座，它在X X1 1方向受到約束，位移為零，所以方向受到約束，位移為零，所以 （a a）（b b）（c c）（d d）（e e）（f f）第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析

47、（d d）（e e）（f f） 要計算要計算1 1，可以分別算出基本系統(tǒng)在外力，可以分別算出基本系統(tǒng)在外力F F和和未知力未知力X X1 1分別作用時的位移，各用分別作用時的位移，各用1 1F F和表示（圖和表示（圖d d、e e），其中第一個腳標(biāo)表示發(fā)生位移的地方和），其中第一個腳標(biāo)表示發(fā)生位移的地方和方向，第二個腳標(biāo)表示引起該位移的因素。由疊方向，第二個腳標(biāo)表示引起該位移的因素。由疊加原理，得加原理，得 01111XF11111XX011111FX(5.2) (5.2) 系數(shù)系數(shù)1111和常數(shù)和常數(shù)1 1F F可由莫爾積分（對于直桿可用可由莫爾積分（對于直桿可用圖乘法）求出，由式（圖乘法）

48、求出，由式（5.25.2）就能求出未知力）就能求出未知力X X1 1 。 式（式（5.25.2）中的位移和力均可表示為廣義位移和廣）中的位移和力均可表示為廣義位移和廣義力。義力。F F代表廣義載荷，代表廣義載荷，X X1 1表示表示“多余多余”的廣義約束的廣義約束力（外力或內(nèi)力）。所以式（力（外力或內(nèi)力）。所以式（5.25.2）即為力法的基本）即為力法的基本方程。方程。 第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析當(dāng)超靜定系統(tǒng)為當(dāng)超靜定系統(tǒng)為n n次時次時 00012211222222212112121111nFnnnnnnFnnFnnXXXXXXXXX(5.3) (5.3)

49、 11121112122222120nFnFnnnnnnFXXX(5.4) (5.4) 12=12=2121，13=13=3131，nn1=1=1 1n n，即，即ijij= =jiji ( (i i=1,2,=1,2,n n; ; j j=1,2,=1,2,n n) )。所以式（。所以式（5.45.4）中的系數(shù)矩陣）中的系數(shù)矩陣是對稱矩陣。是對稱矩陣。 第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析 如圖如圖a a所示，為兩端固定的半園弧曲桿結(jié)構(gòu)，其幾何條件、所示，為兩端固定的半園弧曲桿結(jié)構(gòu)，其幾何條件、約束條件和剛度都與對稱軸是對稱的，稱為對稱結(jié)構(gòu)。約束條件和剛度都與對稱軸

50、是對稱的，稱為對稱結(jié)構(gòu)。 其特點是將結(jié)構(gòu)繞對稱軸折疊后，在對稱軸兩側(cè)部分完全重其特點是將結(jié)構(gòu)繞對稱軸折疊后，在對稱軸兩側(cè)部分完全重合。合。 如果在該結(jié)構(gòu)的對稱位置作用的載荷，其大小、方向、性如果在該結(jié)構(gòu)的對稱位置作用的載荷，其大小、方向、性質(zhì)完全相同，即與對稱軸完全重合，則稱為對稱載荷（圖質(zhì)完全相同，即與對稱軸完全重合，則稱為對稱載荷（圖b b）反之，若為反向重合則為反對稱載荷（圖反之，若為反向重合則為反對稱載荷（圖c c）。）。第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析 將系統(tǒng)在對稱軸處切開，一般暴露出三個內(nèi)力將系統(tǒng)在對稱軸處切開，一般暴露出三個內(nèi)力FN、FS、M作作為多

51、余未知力，使求外力超靜定改變?yōu)榍髢?nèi)力超靜定。軸力和為多余未知力，使求外力超靜定改變?yōu)榍髢?nèi)力超靜定。軸力和彎矩彎矩M是對稱內(nèi)力，而剪力是對稱內(nèi)力，而剪力FS和扭矩和扭矩T是反對稱內(nèi)力。是反對稱內(nèi)力。 第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析第六章第六章 簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析簡單超靜定系統(tǒng)的受力分析例例6 6 桁架如圖桁架如圖a a所示，桿的剛度均為所示，桿的剛度均為E EA A，在，在F F力作用下，求力作用下，求桁架內(nèi)力。桁架內(nèi)力。 解解 這是一次內(nèi)力超靜定系統(tǒng)，可用變這是一次內(nèi)力超靜定系統(tǒng)，可用變形比較法，也可用力法方程求解，由式形比較法，也可用力法方程求解，由式（5.1） 011111FX用力法求解時，設(shè)將用力法求解時，設(shè)將6桿作為多余桿，將它在任一截面桿作為多余桿，將它在任一截面m-m切開，代以待定未知力切開，代以待定未知力X1=1，求得單位力狀態(tài)的內(nèi)力，求得單位力狀態(tài)的內(nèi)力 （圖（圖b），去掉），去掉6桿作為基本系統(tǒng)受載荷桿作為基本系統(tǒng)受載荷F作用，得載荷狀態(tài)作用，得載荷狀態(tài)的內(nèi)力（圖的內(nèi)力（圖c），使載開桿在），使載開桿在m -m處的相對位移處的相對位移 結(jié)果列