第二講：數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二講 數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟數(shù)學(xué)建模面臨的實(shí)際問(wèn)題是多種多樣的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的數(shù)學(xué)工具不同，所得模型的類(lèi)型也不同，我們不能指望歸納出若干條準(zhǔn)則，適用于一切實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模方法。下面所謂基本方法不是針對(duì)具體問(wèn)題而是從方法論的意義上講的。（注：用最初等的方法解決，越受人尊重）一 數(shù)學(xué)建模的基本方法一般說(shuō)來(lái)數(shù)學(xué)建模的方法大體上可分為機(jī)理分析和測(cè)試分析兩種。 面對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題用哪一種方法建模，主要取決于人們對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的。如果掌握了一些內(nèi)部機(jī)理的知識(shí)，模型也要求具有反映內(nèi)部特征的物理意義，建模就應(yīng)以機(jī)理分析為主。而如果對(duì)象的內(nèi)部

2、機(jī)理規(guī)律基本上不清楚，模型也不需要反映內(nèi)部特征，那么可以用測(cè)試分析。對(duì)于許多實(shí)際問(wèn)題也常常將兩種方法結(jié)合起來(lái)，用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)，用測(cè)試分析確定模型的參數(shù)。二 數(shù)學(xué)建模的一般步驟建模要經(jīng)過(guò)哪些步驟并沒(méi)有一定的模式，通常與問(wèn)題性質(zhì)和建模的目的等有關(guān)。下面給出建模的一般步驟，如圖1.2所示。 模型準(zhǔn)備：了解實(shí)際背景，明確建模目的，搜索必要信息，弄清對(duì)象的主要特征，形成一個(gè)比較清晰的“問(wèn)題”（即問(wèn)題的提出）。情況明才能方法對(duì)，在這個(gè)階段要深入調(diào)查研究，虛心向?qū)嶋H工作者請(qǐng)教，盡量掌握第一手資料。 模型假設(shè)：根據(jù)對(duì)象的特征和建模目的，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，忽略次要因素，作出必要的、合理的簡(jiǎn)化假設(shè)。對(duì)于建模

3、的成敗這是非常重要和困難的一步。假設(shè)不合理或太簡(jiǎn)單，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的或無(wú)用的模型；假設(shè)作得過(guò)分詳細(xì)，試圖把復(fù)雜對(duì)象的眾多因素都考慮進(jìn)去，會(huì)使你很難或無(wú)法繼續(xù)下一步的工作。常常需要在合理與簡(jiǎn)化之間作出恰當(dāng)?shù)恼壑?，要不段積累經(jīng)驗(yàn)，并注意培養(yǎng)和充分發(fā)揮對(duì)事物的洞察力和判斷力。 模型的建立：根據(jù)假設(shè)，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這里除了需要一些相關(guān)的專(zhuān)門(mén)知識(shí)外，還常常需要較為廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識(shí)，要善于發(fā)揮想象力，注意使用類(lèi)比法，分析對(duì)象與熟悉的其他對(duì)象的共性，借用已有的數(shù)學(xué)模型。建模時(shí)還應(yīng)遵循的一個(gè)原則是盡量采用簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)工具，因?yàn)槟愕哪Ｐ涂傁Ｍ嗟娜肆私夂褪褂?，而不是?/p>

4、供少數(shù)專(zhuān)家欣賞。 模型求解：使用各種數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)模型求解。 模型分析：對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，如對(duì)結(jié)果進(jìn)行誤差分析，分析模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性等。 模型檢驗(yàn)：把求解和分析結(jié)果翻譯回到實(shí)際問(wèn)題，與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇耘c適用性。如果結(jié)果與實(shí)際不符，問(wèn)題常常出現(xiàn)在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改或補(bǔ)充假設(shè)，重新建模。這一步對(duì)于模型是否真的有用是非常關(guān)鍵的，要以嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度對(duì)待。 模型應(yīng)用：這與問(wèn)題的性質(zhì)、建模的目的以及最終結(jié)果有關(guān)，一般不屬于本書(shū)討論的范圍。 應(yīng)該指出，并不是所有問(wèn)題的建模都要經(jīng)過(guò)這些步驟，有時(shí)各步驟之間的界限也不那么分明，建模時(shí)不要拘泥于形式上

5、的按部就班。三 數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程 數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程可分為表述、求解、解釋、驗(yàn)證幾個(gè)階段，并且通過(guò)這些階段完成從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型，再?gòu)臄?shù)學(xué)模型回到現(xiàn)實(shí)對(duì)象的循環(huán)，如圖1.3所示。 表述是根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題“翻譯”成抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，屬于歸納法。數(shù)學(xué)模型的求解選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答，則屬于演繹法。解釋是將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的數(shù)學(xué)模型的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象，給出分析、預(yù)報(bào)、決策或者控制的結(jié)果。最后，作為這個(gè)過(guò)程的最重要一環(huán)檢驗(yàn)，是用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答。圖1.2也揭示了現(xiàn)實(shí)對(duì)象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系。一方面，數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象加以歸納、抽象的產(chǎn)物，

6、它來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，又高于現(xiàn)實(shí)。另一方面，只有當(dāng)數(shù)學(xué)建模的結(jié)果經(jīng)受住現(xiàn)實(shí)對(duì)象的檢驗(yàn)時(shí)，才可以用來(lái)指導(dǎo)實(shí)際，完成實(shí)踐理論實(shí)踐這一循環(huán)。四 數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)建?？梢钥闯梢婚T(mén)藝術(shù)。藝術(shù)在某種意義下是無(wú)法歸納出幾條準(zhǔn)則或方法的。要進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，建模能力的培養(yǎng)是非常重要的，對(duì)于能力的培養(yǎng)不應(yīng)該有統(tǒng)一的模式和方法。這里我們提出以下幾點(diǎn)建模對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)：1、 數(shù)學(xué)知識(shí)的積累。由于各門(mén)數(shù)學(xué)知識(shí)在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中都可能用到，所以掌握數(shù)學(xué)知識(shí)自然越多越好。但掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)不多，也可以進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。有很多數(shù)學(xué)模型是僅用初等數(shù)學(xué)理論建立的，而且我們提倡盡量用較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)建模。在能達(dá)到建模目的的前提下，模型越簡(jiǎn)單越好

7、。2、 學(xué)好數(shù)學(xué)模型課，多看數(shù)學(xué)建模案例自然是不可少的3、 留心各樣的事物，培養(yǎng)自己隨時(shí)隨地主動(dòng)站在數(shù)學(xué)的角度看問(wèn)題，特別要將自己始終置身于數(shù)學(xué)世界之中，用數(shù)學(xué)的思想審視一切。4、 數(shù)學(xué)建模過(guò)程是創(chuàng)造性思維的過(guò)程，需要豐富的想象力和敏銳、深刻的洞察力。所謂想象力就是能對(duì)不同現(xiàn)象通過(guò)聯(lián)想找出它們的聯(lián)系和共同點(diǎn)而加以類(lèi)比。所謂洞察力就是針對(duì)某一現(xiàn)象時(shí)，能很快地抓住現(xiàn)象的本質(zhì)。分清層次，抓住其主要方面，并對(duì)解決問(wèn)題的方法做出選擇。5、 興趣是學(xué)習(xí)的動(dòng)力，要努力培養(yǎng)自己對(duì)數(shù)學(xué)建模濃厚的興趣。數(shù)學(xué)建模是一門(mén)實(shí)踐性極強(qiáng)的課程，所以，在實(shí)踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模是最好的學(xué)習(xí)方法。6、 由于數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)聯(lián)系非常緊

8、密。所以在實(shí)踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模是最好的學(xué)習(xí)方法。7、 培養(yǎng)自己向別人學(xué)習(xí)的習(xí)慣和協(xié)同作戰(zhàn)的團(tuán)隊(duì)精神。 想象力的應(yīng)用：想象力是我們?nèi)祟?lèi)持有的一種思維能力。是我們?cè)兄R(shí)的基礎(chǔ)上，將新感知的形象與記憶中的形象互相比較、重新組合，加工處理，創(chuàng)造新形象的能力。 例1 某人平時(shí)下班總在固定時(shí)間到達(dá)某處，然后由他的妻子開(kāi)車(chē)接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了30分鐘到達(dá)該處。于是此人就沿著妻子來(lái)接他的方向步行回去，并在途中遇到了妻子。這一天他比平時(shí)提前10分鐘回到家。問(wèn)此人總共步行了多長(zhǎng)時(shí)間？ 解：這是一個(gè)測(cè)試想象能力的簡(jiǎn)單題目。根本不必作太多的計(jì)算。粗粗一看，似乎會(huì)感到條件不夠，無(wú)法解答。但你只要換一種想法，

9、問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。 假如他的妻子遇到他以后在這他仍舊開(kāi)往會(huì)合地點(diǎn)，那么他就不會(huì)提前回家了。提前到十分鐘時(shí)間從何而來(lái)？顯然是由于節(jié)省了他妻子接他的時(shí)間，他妻子少開(kāi)了十分鐘的車(chē)。因?yàn)樗拮娱_(kāi)車(chē)是往返走的路程相同，那么在遇到他后往返路程中各節(jié)省5分鐘。他提前30分鐘開(kāi)始走，那則此人在遇到他妻子時(shí)他步行了25分鐘。由圖一可清晰得出結(jié)果，例2 學(xué)校組織乒乓球比賽，共有100名學(xué)生報(bào)名參加，比賽規(guī)則為淘汰制，最后產(chǎn)生出一名冠軍。問(wèn)：最后產(chǎn)生冠軍，總共需要舉行多少場(chǎng)比賽？ 解：第一輪進(jìn)行50場(chǎng)比賽 ，剩下50名學(xué)生。 第二輪進(jìn)行25場(chǎng)比賽 ，剩下25名學(xué)生。第三輪進(jìn)行12場(chǎng)比賽 ，1位同學(xué)進(jìn)入下一輪，剩下13名學(xué)生。第四輪進(jìn)行6場(chǎng)比賽 ，1位同學(xué)進(jìn)入下一輪，剩下7名學(xué)生。第五輪進(jìn)行3場(chǎng)比賽 ，1位同學(xué)進(jìn)入下一輪，剩下4名學(xué)生。 第六輪進(jìn)行2場(chǎng)比賽 ，剩下2名學(xué)生。 第七輪進(jìn)行1場(chǎng)比賽 ，剩下1名冠軍。 一共需要比場(chǎng) 這是常規(guī)方法，事實(shí)上，我們也可以換一種方法來(lái)思考這一問(wèn)題。由于淘汰賽的特殊性，進(jìn)行一場(chǎng)淘汰一人。反過(guò)來(lái)，淘汰一人也必須舉行一場(chǎng)比賽。這就是我們數(shù)學(xué)中的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?，F(xiàn)在我們要在100名學(xué)生中產(chǎn)生一位冠軍，眾所周知要淘汰99名學(xué)生才能產(chǎn)生冠軍。因此比賽總場(chǎng)此應(yīng)為99場(chǎng)。思考題