第五章--大數定律與中心極限定理

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第五章 大數定律與中心極限定理§5.1 大數定律 §5.2 中心極限定理一、填空題1設，則由切比雪夫不等式有 1/9 ；2設隨機變量相互獨立同分布，且， 則由切比雪夫不等式有 .并有估計 ； 3設隨機變量相互獨立且都服從參數為 l 的泊松分布，則 ；4設隨機變量和的數學期望分別為和，方差分別為和，而相關系數為，則根據切比雪夫不等式，；解：因為 ，故由切比雪夫不等式，.5設隨機變量相互獨立，都服從參數為2的指數分布，則時，依概率收斂于 。解：因為 ，所以 ，故由辛欽大數定律，對，有，即 依概率收斂于.二、選擇題1設隨機變量相互獨立同分布，且， 令，則

2、對任意，從切比雪夫不等式直接可得（B）（A）； （B）； （C）； （D）.解：因為，所以由切比雪夫不等式直接可得.故答案選B.2設隨機變量服從正態(tài)分布，則隨的增大，概率是（C）（A）單調增大； （B）單調減少； （C）保持不變； （D）增減不定.解：由切比雪夫不等式：，與無關，故答案取C.3. 根據德莫弗拉普拉斯定理可知（B）（A）二項分布是正態(tài)分布的極限分布； （B）正態(tài)分布是二項分布的極限分布；（C）二項分布是指數分布的極限分布； （D）二項分布與正態(tài)分布沒有關系.4設隨機變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且，則（A）（A）； （B）； （C）； （D）.解：.5設為相互獨立的隨機變量序列

3、，且都服從參數為的指數分布，則（A）（A）； （B）； （C）； （D）.其中 是標準正態(tài)分布的分布函數.解：由于服從參數為的指數分布，所以，由中心極限定理， ，故答案取A.三、計算題1. 設在每次實驗中事件以概率發(fā)生.是否可以用大于0.97的概率確信：在1000次實驗中，事件出現的次數在400與600范圍內？解： 設表示1000次試驗中出現的次數，則 ，由切比雪夫不等式有所以可以用大于0.97的概率確信：在1000次實驗中，事件出現的次數在400與600范圍內.2. 將一顆骰子連續(xù)擲四次，其點數之和記為，估計概率。解：設為擲一次骰子出現的點數，則其分布律為：，所以 ，；依題意 ，所以.3.

4、設是相互獨立的隨機變量, 且服從參數的泊松分布,記，利用中心極限定理，求。解：.4設某部件由10個部分組成，每部分的長度為隨機變量，相互獨立同分布，毫米，毫米，若規(guī)定總長度為（20±1）毫米是合格產品，求產品合格的概率。解：設總長度為，則，由林德貝格列維中心極限定理，知 ，所以合格的概率為：.5有100道單項選擇題，每個題中有4個備選答案，且其中只有一個答案是正確的，規(guī)定選擇正確得1分，選擇錯誤得0分，假設無知者對于每一個題都是從4個備選答案中隨機地選答，并且沒有不選的情況，計算他能夠超過35分的概率。解：設為選擇第題所得到的分數，由題設，服從分布，另設總得分為，則，且，由德莫弗拉普

5、拉斯定理，查正態(tài)分布表可得.6.（1）一個復雜系統由100個相互獨立的元件組成，系統運行期間每個元件損壞的概率為0.1，又知系統運行至少需要85個元件正常工作，求系統可靠度（即正常工作的概率）；（2）上述系統假如由個相互獨立的元件組成，至少80%的元件正常工作，才能使系統正常運行，問至少多大才能保證系統可靠度為0.95？解：（1）設為系統中正常運行完好的元件數， 則，由德莫弗拉普拉斯定理，.（2）已知 ，求滿足條件的，其中 ，同（1）解法， ，查正態(tài)分布表可得：，取即可.7. 某保險公司多年的統計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20 %，以表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的

6、戶數。（1） 寫出的概率分布；（2） 用德莫弗拉普拉斯定理，求被盜索賠戶不少于14戶不多于30戶的概率的近似值.解：（1）服從二項分布，參數：，即，其概率分布為 ； （2）， 根據德莫弗拉普拉斯定理 .8某運輸公司有500輛汽車參加保險，在1年里汽車出事故的概率為0.006，參加保險的汽車每年交保險費800元，若出事故保險公司最多賠償50 000元，試利用中心極限定理計算，保險公司1年賺錢不小于200 000元的概率。解：設為500輛參加保險的汽車中出事故的車輛數，則服從二項分布，由題設，保險公司1年的收益為 ，故保險公司1年賺錢不小于200 000元的概率為 ，從而由德莫弗拉普拉斯定理 .9某工廠生產的燈泡的平均壽命為2000小時，改進工藝后，平均壽命提高到2250小時，標準差仍為250小時.為鑒定此項新工藝，特規(guī)定：任意抽取若干只燈泡，若平均壽命超過2200小時，就可承認此項新工藝.工廠為使此項新工藝通過鑒定的概率不小于0.997，問至少應抽檢多少只燈泡？解：設為改進后的燈泡的壽命，由題設，又設為使檢驗通過所需抽取的燈泡數，依題意可建立如下不等式 ，或 ，由林德貝格列維中心極限定理知，查表可得如下不等式，即需隨機抽取189只燈泡進行壽命檢驗，測得的平均壽命才能以95%的概率保證超