多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(3)

1、整理課件1第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分整理課件2一、鏈式法則一、鏈式法則定理定理 dtdvvzdtduuzdtdz 且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算 ( ),( )zftt t則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點在對應(yīng)點可導(dǎo)，可導(dǎo)，),(vufz ),(vu函數(shù)函數(shù)在對應(yīng)點在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)，可導(dǎo)， ( )ut )(tv t如果函數(shù)如果函數(shù)及及都在點都在點一元復(fù)合函數(shù)一元復(fù)合函數(shù)( ),( )yf uux 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則ddd

2、dddyyuxuxuvtz整理課件3( ),zzzuvouv ( )zzuzvotutvtt dudtd vd t證證()( ),uttt 則則);()(tttv tt 設(shè)設(shè) 有有增增量量，0lim.tdzzz duz dvdttu dtv dt 22()() )uv () o 22()() uvtt 0t0 時時, ,取取“”號號0t 當當時時， 由于函數(shù)由于函數(shù)),(vufz 在點在點故可微，即故可微，即),(vu有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，整理課件4 1. 1.上定理的結(jié)論可推廣到上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個中間變量多于兩個的情況的情況: :dtdwwzdtdvvzdtduuzd

3、tdz uvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz推廣推廣)(),(),(tttfz 整理課件5,zzuzvxu xvx yvvzyuuzyz ),(yx的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計算且可用下列公式計算: ( , )ux y ),(yxv ),(yx如果如果及及都在點都在點),(vufz 具有對具有對x和和y 的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù) ( , ), ( , )zfx yx y 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點在對應(yīng)點),(vu在對應(yīng)點在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 2.2.上定理還可推廣到上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)中間變量不是一元

4、函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：而是多元函數(shù)的情況：整理課件6uvxzy復(fù)合結(jié)構(gòu)如圖示復(fù)合結(jié)構(gòu)如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv ( , ), ( , )zfx yx y 整理課件7zwvuyxxwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ),(yx在對應(yīng)點在對應(yīng)點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計算的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計算鏈式法則的規(guī)律：鏈式法則的規(guī)律： “連線相乘，分線相加連線相乘，分線相加”( , ),vx y ( ,

5、),ux y ( , )wx y 設(shè)設(shè)),(yx都在點都在點具有具有偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)，( , ,)zf u v w 在在則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)對應(yīng)點對應(yīng)點( , ,)u v w具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，整理課件8),(yxufz ( , )ux y 即即 ( , ), , ,zfx yx y ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不變變而而對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別yyxzxu區(qū)別類似區(qū)別類似3.中間變量即有一元函數(shù)中間變量即有一元函數(shù),也有多元函數(shù)的情況：也有多元函數(shù)的情況：整理課件9例例 1 1 設(shè)設(shè)vezusin

6、 ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu uvxzy整理課件10例例 2 2 設(shè)設(shè)tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uvtzt整理課件11 例例 3 3 設(shè)設(shè)),(xyzzyxfw ，f具具有有二二階階 連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，求求

7、xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff xwxvvfxuuf ;21fyzf zywxvu整理課件12 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 12wfyzfx zywxvu,21ff 整理課件13 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(vufz 具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有全全微微分分dvvzduu

8、zdz ;當當),(yxu 、),(yxv 時時，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不變形的實質(zhì)：全微分形式不變形的實質(zhì)： 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性整理課件14dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 整理課件15例例 4 4 已已知知02 zxyeze，求求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()

9、2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe整理課件161、鏈式法則（連線相乘，分線相加）、鏈式法則（連線相乘，分線相加）2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（特別注意特別注意特殊情況：特殊情況：函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)的層次）函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)的層次）小結(jié)zzdzdudvuv 整理課件17思考題思考題),(xvufz ( ),ux )(xv 設(shè)設(shè)，而，而dxdz求求整理課件18思考題解答思考題解答不不相相同同.而而等等式式右右端端最最后后一一項項f是是作作為為xvu ,的的三三元元函函數(shù)數(shù)， 寫寫出出來來為為 xxvuxdxduufdxdz),(.),