大學物理(l-1)2-7力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量

1、第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版1Pz*OFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸 z 的力矩的力矩 F 一、力矩一、力矩 M 用來描述力對剛體用來描述力對剛體的轉(zhuǎn)動作用的轉(zhuǎn)動作用0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF2-7剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律 單位：單位：N.m第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版2zOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向

2、的兩個分量 F 其中其中 對轉(zhuǎn)軸的對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故力矩為零，故 對轉(zhuǎn)對轉(zhuǎn)軸的力矩軸的力矩zFF第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版3O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）剛體內(nèi)剛體內(nèi)作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版4Oirimz二二 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律iFiiiiiFfma M 把剛體看成由無數(shù)把剛體看成由無數(shù)質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系imimOMimifii

3、rimirimiirimMiirim沿自然坐標系切向分解沿自然坐標系切向分解sinsiniiiiii iFfmamr 2(sin)(sin)()i iii iii iiiiFrf rm r第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版5jkkjff和合外合外力矩力矩(sin)i iiiMFrkm任取任取jm是一對作用力和反作用力是一對作用力和反作用力jkkjff 0jkkjMM(sin)0i iiif r第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版6 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合合外力矩外力矩成正比，與

4、剛體的成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比成反比.2()i iiMm r轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律MJ剛體對給定轉(zhuǎn)剛體對給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量2()i iiJmr第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版7討論討論ddMJJt（2）（4） =常量常量M，0轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律MJ( (1) ) , 與與 方向相同方向相同 MJM( (5) ) 為瞬時關(guān)系為瞬時關(guān)系 ( (3) ) 轉(zhuǎn)動中轉(zhuǎn)動中 與平動中與平動中 地位相同地位相同maF MJ第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版8三轉(zhuǎn)動慣量三轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣量的單位：轉(zhuǎn)動慣量的單位：k

5、gm21、物理意義：、物理意義：轉(zhuǎn)動慣量是量度剛體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量是量度剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量慣性大小的物理量2、 轉(zhuǎn)動慣量的計算方法轉(zhuǎn)動慣量的計算方法 2i iiJmr第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版9v 質(zhì)量離散分布質(zhì)量離散分布2221 12 2i iJmrmrm rv 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布22222di iiJmrr mr dlr dsr dV ：質(zhì)量元：質(zhì)量元md 質(zhì)量線分布質(zhì)量線分布 質(zhì)量面分布質(zhì)量面分布 質(zhì)量體分布質(zhì)量體分布第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版10 例例1 求長為求長為L質(zhì)量為質(zhì)量為m 的

6、均勻細棒對圖的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLxdm解解: 取如圖坐標，取如圖坐標，dm = dx3/d202mLxxJLA第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版1112/d2222mLxxJLLCABL/2L/2CxdmACJmLmLmLLmJ222231411212第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版122mdJJCO四四 平行軸定理平行軸定理 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛體的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為慣量為 ，則對任一與則對任一與該軸平行該軸平行，相距為相距為 的的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣

7、量轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CJmddCOm第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版13 求如圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸求如圖所示剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量？的轉(zhuǎn)動慣量？(棒長為棒長為L、圓盤半徑為、圓盤半徑為R）2131LmJLL221RmJoo.2002dmJJL222)(2131RLmRmLmJooL(棒對邊緣軸棒對邊緣軸) (圓盤對中心軸圓盤對中心軸)(圓盤對棒邊緣軸圓盤對棒邊緣軸)第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版14P2221mRmRJP圓盤對圓盤對P 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量RmO2mdJJc第第4章章

8、 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版15剛體的轉(zhuǎn)動慣量與以下三個因素有關(guān)：剛體的轉(zhuǎn)動慣量與以下三個因素有關(guān)：（3）與轉(zhuǎn)軸的位置與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)有關(guān)（1）與剛體的質(zhì)量與剛體的質(zhì)量有關(guān)；有關(guān)；（2）與剛體的質(zhì)量分布與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)；有關(guān)；說說 明明說說 明明第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版16例例1 試求阿特武德機兩試求阿特武德機兩側(cè)懸掛的質(zhì)量為側(cè)懸掛的質(zhì)量為m1、m2 的重物的加速度、滑輪的重物的加速度、滑輪角加速度及繩中的張力角加速度及繩中的張力,如圖。如圖。 已知均質(zhì)滑輪半已知均質(zhì)滑輪半徑為徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為M, 假設(shè)

9、假設(shè)繩為不可伸縮的輕繩繩為不可伸縮的輕繩,繩繩與滑輪間無滑動與滑輪間無滑動,且滑輪且滑輪軸處的摩擦不計。軸處的摩擦不計。1m2mMR四、轉(zhuǎn)動定律的應用四、轉(zhuǎn)動定律的應用第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版17解解 以地面為參考系，以地面為參考系，受力如圖受力如圖12T RT RJamgmT222111m gTm aaR221MRJ gm1gm2MR2T1T2T1Taa滑輪滑輪 重物重物m1 重物重物m2 輔助方程輔助方程 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版181212112mmgRmmMgMmmmma2

10、12121gMmmMmmmT21212211211gMmmMmmmT21212212212聯(lián)立上述方程，得聯(lián)立上述方程，得 第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版19例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為M1 = 24kg的鼓形輪，可繞水平的鼓形輪，可繞水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動，一輕繩纏繞于輪上，另光滑固定軸轉(zhuǎn)動，一輕繩纏繞于輪上，另一端通過質(zhì)量為一端通過質(zhì)量為M2 =5kg 的圓盤形定滑輪懸的圓盤形定滑輪懸有有 m=10kg的物體。求當重物由靜止開始下的物體。求當重物由靜止開始下降了降了h=0.5m時時,（1）物體的速度；（）物體的速度；（2）繩）繩中的張力。中的張力。 假設(shè)繩為不

11、可伸縮的輕繩假設(shè)繩為不可伸縮的輕繩,繩與繩與滑輪間無滑動滑輪間無滑動,且滑輪軸處的摩擦不計。且滑輪軸處的摩擦不計。第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版20解解 用用隔離法分別對各物體作受力分析，隔離法分別對各物體作受力分析，如圖所示如圖所示1MRrR R R Rr r r r2MR1T2Tr1T2Tmg第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版212(1)mgTma2122(2)T rTrJ111(3)T RJ1(4)aR2(5)ar2Tr1TR1T2Tmg第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版

12、22聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：21241()2mgam sMMm111482TM aN2()58Tm gaN122ahm sv第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版23 例例3 質(zhì)量為質(zhì)量為mA的物體的物體A 靜止在光滑水靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為索跨過一半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為，并系在另一質(zhì)量為mB 的物體的物體B上，上，B 豎豎直懸掛直懸掛滑輪與繩索間無滑動，滑輪與繩索間無滑動， 且滑輪與且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計軸承間的摩擦力可略去

13、不計( (1) )兩物體的兩物體的線加速度為多少？線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？張力各為多少？( (2) ) 物體物體 B 從靜止落下距從靜止落下距離離 y 時，其速率是多少時，其速率是多少？第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版24解解 ( (1) ) 用用隔離法分隔離法分別對各物體作受力分析，別對各物體作受力分析，取如圖所示坐標系取如圖所示坐標系A(chǔ)BCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版25amFAT1amF

14、gmBT2BT2T1RFRFJaRyOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版262CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版27如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF （2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率下落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF

15、第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版28動力學中第一類問題：在恒力、恒力矩動力學中第一類問題：在恒力、恒力矩作用下，建牛頓第二定律、轉(zhuǎn)動定律方作用下，建牛頓第二定律、轉(zhuǎn)動定律方程。程。具體步驟：具體步驟：（1）隔離物體受力分析）隔離物體受力分析（2）選擇正方向）選擇正方向（3）平動建牛頓方程，定軸轉(zhuǎn)動建轉(zhuǎn)動）平動建牛頓方程，定軸轉(zhuǎn)動建轉(zhuǎn)動定律方程定律方程（4）建關(guān)聯(lián)方程）建關(guān)聯(lián)方程（5）聯(lián)立求解）聯(lián)立求解第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版29mdlL例例4 一根長一根長L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細直棒，其的均勻細直棒，其

16、一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，最初棒靜止在水平位置。求直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，最初棒靜止在水平位置。求它由此下擺它由此下擺 角時的角加速度和角速度。角時的角加速度和角速度。解解在棒上距轉(zhuǎn)軸在棒上距轉(zhuǎn)軸o o為為 處處取線元取線元ldl該線元的質(zhì)量為該線元的質(zhì)量為對轉(zhuǎn)軸所產(chǎn)生的重力矩為對轉(zhuǎn)軸所產(chǎn)生的重力矩為cosmdMdl g lL第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版30整個細棒對轉(zhuǎn)軸所產(chǎn)生的重力矩為整個細棒對轉(zhuǎn)軸所產(chǎn)生的重力矩為01coscos2LmMg ldlmgLL由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律MJ21cos3 c

17、os2123mgLMgJLmL第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版31dddddtddtd由由得得dddddtddtd得得由由dddddtddtd得得3 cos2dgdL003 cos2gddL 3 singL第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版323 cos2gL3 singL討論討論細棒轉(zhuǎn)動到豎直位置時細棒轉(zhuǎn)動到豎直位置時03gL細棒處于水平位置時細棒處于水平位置時32gL0第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版33動力學中第二類問題：在變力矩作用下，動力學中第二類問題：在變力矩作用下

18、，建轉(zhuǎn)動定律方程，得到一微分方程。建轉(zhuǎn)動定律方程，得到一微分方程。第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版34 例例2 留聲機的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤留聲機的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率面的軸以角速率 作勻速轉(zhuǎn)動放上唱片作勻速轉(zhuǎn)動放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動設(shè)唱片的半徑為動設(shè)唱片的半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，它與轉(zhuǎn)，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為盤間的摩擦系數(shù)為 ，求：，求：( (1) )唱片與轉(zhuǎn)盤唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩；間的摩擦力矩； ( (2) )唱片達到角速度唱片達到角速度 時需時需要多長時間；要多長時間；( (3) )在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)了在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)了多少圈？多少圈？第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學理學第二版第二版35RrdrdllrRmgfddd2fdo 解解 ( (1) ) 如圖取面如圖取面積元積元ds = drdl，該面元，該面元所受的摩擦力為所受的摩擦力為此力對點此力對點o的力矩為的力矩為lrrRmgfrddd2第第4章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動大學物大學物理學