復(fù)變函數(shù)課件第2章 復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性

1、& 1. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義& 2. 映射的概念映射的概念& 3. 反函數(shù)或逆映射反函數(shù)或逆映射復(fù)變函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的概念1. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義與實(shí)變函數(shù)定義相類似與實(shí)變函數(shù)定義相類似A 是是多多值值函函數(shù)數(shù). .值值，稱稱多多個(gè)個(gè)是是單單值值函函數(shù)數(shù); ;值值，稱稱一一個(gè)個(gè)若若)( )(zfwzzfwz。論的函數(shù)均為單值函數(shù)論的函數(shù)均為單值函數(shù)今后無特別聲明，所討今后無特別聲明，所討定義定義2.1設(shè)設(shè)E是復(fù)平面上的點(diǎn)集是復(fù)平面上的點(diǎn)集, 若對(duì)任何若對(duì)任何z=x+iy E, 都存在一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)都存在一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)w=u+iv和和z對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 稱

2、在稱在 E上確上確定了一個(gè)復(fù)變函數(shù)，用定了一個(gè)復(fù)變函數(shù)，用w=f (z)表示表示. E 稱為該函數(shù)的定義域稱為該函數(shù)的定義域. ),(),( )()(),();,(yxivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw ( )( ) ,Gf Ew wf zzE=該函數(shù)的值域?yàn)椋涸摵瘮?shù)的值域?yàn)椋簒yiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 則則令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若已知若已知.)(的的函函數(shù)數(shù)表表示示成成將將zzfzzzf1)( )(21)

3、,(21,zziyzzxiyxz 則則設(shè)設(shè)oxy(z)Eouv(w)EGw=f(z)在幾何上，在幾何上， w=f(z)可以看作：可以看作：的的原原象象。稱稱為為，而而映映象象的的象象點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱wzzw)( 2. 映射的概念映射的概念復(fù)變函數(shù)的幾何意義復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)wA 以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。A 在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的 對(duì)應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對(duì)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對(duì)變量 u，v 與與 x，y 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變 函數(shù)問題時(shí)，可借助于幾何直

4、觀函數(shù)問題時(shí)，可借助于幾何直觀. .復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射（變換）復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射（變換）.所構(gòu)成的映射所構(gòu)成的映射研究研究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos設(shè)設(shè)解解關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射見圖見圖1-11-2旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換(映射映射)即，即，)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw 見圖見圖2.( 實(shí)常數(shù)）所構(gòu)成的映射實(shí)常數(shù)）所構(gòu)成的映射研究研究 zewi 例例4)( iiiiirereezewrez設(shè)設(shè)解解 sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、

5、v(z)、(w)o 圖圖1-1圖圖1-2圖圖2uv(w)o.2所所構(gòu)構(gòu)成成的的映映射射研研究究zw 例例5oxy(z)ouv(w) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 3. 反函數(shù)或逆映射反函數(shù)或逆映射例例 設(shè)設(shè) z=w2 則稱則稱 為為z=w2的反函數(shù)或逆映射的反函數(shù)或逆映射zw )1 , 0(22 kezzwk為多值函數(shù)為多值函數(shù),2支支.定義定義 設(shè)設(shè) w =f (z) 的定義集合為的定義集合為E，函數(shù)值集合為，函數(shù)值集合為G， 那么那么則稱則稱z=(w)為為w=f(z)的反函數(shù)（的反函數(shù)（逆映射逆映射）.& 1. 函數(shù)的極

6、限函數(shù)的極限& 2. 相關(guān)定理相關(guān)定理& 3.函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性 定義定義2.2設(shè)復(fù)變函數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù)w=f(z)在在z0的某個(gè)去心的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義, A是復(fù)常數(shù)是復(fù)常數(shù). 若對(duì)任意給定的若對(duì)任意給定的e e 0,存在存在d d 0, 使得對(duì)一切滿足使得對(duì)一切滿足0|z-z0|d d 的的z , 都有都有 ( )f zAe e 成立成立, 則稱當(dāng)則稱當(dāng)z趨于趨于z0時(shí)時(shí), f(z)以以A為極限，并記做為極限，并記做 0lim( )zzf zA 或或 0( ) ().f zA zz注意注意: : 定義中定義中zz0

7、的方式是任意的的方式是任意的. .復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限幾何意義幾何意義uv(w)oAe exy(z)od d0z)(zfw 幾何意義幾何意義: 當(dāng)變點(diǎn)當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)一旦進(jìn)入入z0 的充分小去的充分小去心鄰域時(shí)心鄰域時(shí),它的象它的象點(diǎn)點(diǎn)f(z)就落入就落入A的的一個(gè)預(yù)先給定的一個(gè)預(yù)先給定的鄰域中鄰域中 相關(guān)定理相關(guān)定理復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 設(shè)設(shè)定理定理2.10),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyx

8、zz 則則 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim,)(lim)(lim000000000000則則若若定理定理2.2A 以上定理用極限定義證以上定理用極限定義證! !例例1.)(22在在平平面面上上處處處處有有極極限限證證明明yxiyxw 例例2.0)(時(shí)時(shí)的的極極限限在在求求 zzzzzzf例例3.0Re)(時(shí)時(shí)的的極極限限不不存存在在在在證證明明 zzzzf在在平平面面上上處處處處有有

9、極極限限22,yxyx .)0 , 0()(2)(2222處處極極限限不不存存在在在在yxyxzf 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義2.3.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000處處連連續(xù)續(xù)上上點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲線線，則則稱稱且且、若若內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)，則則稱稱若若在在區(qū)區(qū)域域處處連連續(xù)續(xù)在在，則則稱稱若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz 例例4 證明證明f (z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。上上不不連連續(xù)續(xù)。在在負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸在在負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸上上 argarglim arglim)0)(0 ,( )2(00z

10、zzxxPyy 故故不不連連續(xù)續(xù)。在在原原點(diǎn)點(diǎn)沒沒有有定定義義， arg)()1(zzf 證明證明xy(z)ozz)0 ,(xP 定理定理2.5設(shè)設(shè) ( )( , )( , ),f zu x yiv x y 則則 f (z) 在在 000zxiy處連續(xù)的充分必要條件是處連續(xù)的充分必要條件是 ( , ),u x y( , )v x y都在都在 00(,)xy點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù). 定理定理2.3 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商 (分母不為分母不為0) 仍為連續(xù)函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù); 定理定理2.4 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。.0)()()()(10點(diǎn)點(diǎn)

11、外外處處處處連連續(xù)續(xù)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)除除分分母母為為的的；在在整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn MzfMCzfC )(, 0)(在在曲曲線線上上恒恒有有上上連連續(xù)續(xù)在在若若內(nèi)內(nèi)的的曲曲線線段段為為閉閉曲曲線線或或端端點(diǎn)點(diǎn)包包括括在在設(shè)設(shè)曲曲線線有界性：有界性：2.22.2 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念一、一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)000( )() lim zzf zf zzz 1、 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 定義定義2.4設(shè)設(shè) 是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域D上的上的( )wf z 存在，則稱存在，則稱 在在 點(diǎn)點(diǎn)可導(dǎo)可導(dǎo), 并把這個(gè)極并把

12、這個(gè)極( )f z0zz 限值稱為限值稱為 在在 點(diǎn)的點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，記做，記做 0().fz ( )f z0zz 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù), z0是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的定點(diǎn)內(nèi)的定點(diǎn). 若極限若極限 定義中的極限式可以寫為定義中的極限式可以寫為 000()() lim, zf zzf zz 即當(dāng)即當(dāng) 在在 點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)點(diǎn)可導(dǎo)時(shí), ( )f z0zz 0000( )()()limzzf zf zfzzz 注意注意0(0)zzz 的方式是任意的的方式是任意的.000()()lim.zf zzf zz 此時(shí)，對(duì)此時(shí)，對(duì)D內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn)z, 有有 0()( )( )lim.zf zzf zfzz 也可用也可用 d

13、d ( ), ddwf zzz等表示等表示 在在z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù). ( )f z若若 在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo), 則稱則稱 ( )f z( )f z在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo).則則 例例1設(shè)設(shè) 2( ),f zz ( )f z在復(fù)平面內(nèi)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，且處處可導(dǎo)，且 ( )2 .fzz 解因?yàn)榻庖驗(yàn)閦zfzzfzfz )()(lim)(0zzzzz 220)(lim0lim(2).zzz 22 .zz 所以所以例例2證明證明 ( )2f zxyi 在復(fù)面內(nèi)處處在復(fù)面內(nèi)處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)連續(xù)，但處處不可導(dǎo). 證明對(duì)復(fù)平面內(nèi)任意點(diǎn)證明對(duì)復(fù)平面內(nèi)任意點(diǎn)z, 有有 ()

14、( )f zzf z 2.xyi ()2()2xxyy ixyi 故故 0lim ()( )0.zf zzf z 這說明這說明 ( )2f zxyi 在復(fù)面內(nèi)處處連續(xù)在復(fù)面內(nèi)處處連續(xù). ()( )f zzf zz ()2()2xxyy ixyixyi 2.xyixyi xyoz0 y但是但是, 設(shè)設(shè) 沿著平行于沿著平行于x 軸的軸的z 方向趨向于方向趨向于 0, 即即0, 0.xy 于是于是xyoz 0 y0002limlim1.xxyxyixxyix 0 x002limxyxyixyi 02lim2.yyiyi 所以所以( )2f zxyi的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在不存在.設(shè)設(shè) 沿著平行于沿著平行于

15、y 軸的方向趨向于軸的方向趨向于 0, 即即z 0, 0,xy 2、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系0000()()lim()0,zf zzf zfzz 函數(shù)函數(shù)f (z)在在z0處處可導(dǎo)可導(dǎo)，則在，則在z0處一定處一定連續(xù)連續(xù), , 但但函數(shù)函數(shù)f (z)在在z0處連續(xù)不一定在處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo)處可導(dǎo). . 事實(shí)上事實(shí)上, ,由由 f (z)在在z0點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo), 必有必有).()()()( 000zfzzfzzfz r r令令000()()() (), f zzf zfzzzzr r , )()(lim000zfzzfz 所以所以0lim()0,zzr r 再由再由即即( )f z

16、在在0z處連續(xù)處連續(xù). 反之反之, 由由 知知, 不可導(dǎo)不可導(dǎo). ( )2f zxyi但是二元實(shí)函數(shù)但是二元實(shí)函數(shù) 連續(xù)連續(xù), ( , ), ( , )2u x yx v x yy于是根據(jù)于是根據(jù) 知知, 函數(shù)函數(shù) 連續(xù)連續(xù).( )2f zxyi3、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則 由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)函數(shù)由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致，同時(shí)，復(fù)變函導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致，同時(shí)，復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)函數(shù)中一樣，因而數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)函數(shù)中一樣，因而實(shí)函數(shù)中的求導(dǎo)法則可推廣到復(fù)變函數(shù)中，且實(shí)函數(shù)中的求導(dǎo)法則可推廣到復(fù)變函數(shù)中，且證明方法相同證明方

17、法相同.求導(dǎo)公式與法則求導(dǎo)公式與法則:(1)( )0, c 其中其中c為復(fù)常數(shù)為復(fù)常數(shù).(2)1(),nnznz 其中其中n為正整數(shù)為正整數(shù). ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf 2( )( ) ( )( )( )(5),( ( )0).( )( )f zfz g zf z g zg zg zgz 1(7)( ),()fzw (6) ( )( )( ),f g zfw g z ( ).wg z 其中其中其中其中( )wf z 與與( )zw 是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù)是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù), 且且( )0.w 二、二、 解析函

18、數(shù)解析函數(shù) 定義定義2.5 在區(qū)域在區(qū)域D有定義有定義. f z(1) 設(shè)設(shè) , 若存在若存在 的一個(gè)鄰域，使得的一個(gè)鄰域，使得 0zD 0z在此鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)在此鄰域內(nèi)處處可導(dǎo), 則稱則稱 在在 處處解析解析,( )f z0z( )f z也稱也稱 是是 的的解析點(diǎn)解析點(diǎn). 0z( )f z(2) 若若 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱 ( )f z在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, 或者稱或者稱 是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的內(nèi)的( )f z( )f z解析函數(shù)解析函數(shù). (3) 設(shè)設(shè)G是一個(gè)區(qū)域，若閉區(qū)域是一個(gè)區(qū)域，若閉區(qū)域 ,DG 且且 在在G內(nèi)解析，則稱內(nèi)解析，則稱 在閉區(qū)域在閉區(qū)

19、域 上上 ( )f z( )f zD解析解析. 函數(shù)函數(shù) 在在 處解析和在處解析和在 處可導(dǎo)意義處可導(dǎo)意義( )f z0z0z不同，前者指的是在不同，前者指的是在 的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo), 0z但后者只要求在但后者只要求在 處可導(dǎo)處可導(dǎo). 0z函數(shù)函數(shù) 在在 處解析和在處解析和在 的某一個(gè)鄰的某一個(gè)鄰( )f z0z0z域內(nèi)解析意義相同域內(nèi)解析意義相同. 復(fù)變函數(shù)在復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析區(qū)域內(nèi)解析與在該與在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是是等價(jià)等價(jià)的的. 事實(shí)上，復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該事實(shí)上，復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)區(qū)域內(nèi)可導(dǎo). . 反之反之, 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域D

20、內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 則對(duì)則對(duì)( )f z任意任意 存在存在z的某一個(gè)鄰域的某一個(gè)鄰域U, 使得使得U D,zD 由由 在在D內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 可知可知 在在U內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 即即( )f z( )f z在在z處解析處解析.( )f z若函數(shù)若函數(shù) 在在 處處不解析不解析，則稱，則稱 是是 ( )f z0z0z( )f z的的奇點(diǎn)奇點(diǎn). 若若 是是 的奇點(diǎn)的奇點(diǎn), 但在但在 的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi), 0z( )f z0z除除 外外, 沒有其他的奇點(diǎn)，則稱沒有其他的奇點(diǎn)，則稱 是函數(shù)是函數(shù) 0z0z( )f z的的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn). 由例由例1和例和例2知知, 函數(shù)函數(shù) 是全是全2( )f zz 平面內(nèi)的

21、解析函數(shù)，但是函數(shù)平面內(nèi)的解析函數(shù)，但是函數(shù) ( )2f zxyi 是處處不解析的連續(xù)函數(shù)是處處不解析的連續(xù)函數(shù). 根據(jù)求導(dǎo)法則，很容易得到下面的結(jié)論根據(jù)求導(dǎo)法則，很容易得到下面的結(jié)論.定理定理2.6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, 則則 ( ), ( )f zg z( )( ), ( ) ( )f zg zf z g z 也在也在D內(nèi)解析內(nèi)解析. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 是是00, ()0zD g z0z f zg z的解析點(diǎn)的解析點(diǎn). 特別地特別地, 多項(xiàng)式多項(xiàng)式P(z)在全平面內(nèi)解析在全平面內(nèi)解析,有理分式在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點(diǎn)之外解析有理分式在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點(diǎn)之外解析, 分母

22、為零的點(diǎn)是有理分式的孤立奇點(diǎn)分母為零的點(diǎn)是有理分式的孤立奇點(diǎn). 例例3證明證明 在在 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 2( )f zz z 0z 但處處不解析但處處不解析. 證明根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義證明根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義, 200( )(0)limlim0.zzf zfzz 因此因此 在在 處可導(dǎo)，且處可導(dǎo)，且 ( )f z0z (0)0.f 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 由由 得得 00z 22000, zzzzz z 22000( )()f zf zz zz z 22220000()().z zz zz zz z故故2000000( )()().f zf zzzzzzzzzzz 雖然雖然020000lim()22,zzzz zz

23、zz 但是當(dāng)?shù)钱?dāng) z分別從平行于分別從平行于x, y軸方向趨于軸方向趨于z0時(shí)，時(shí)， 分別分別 00zzzz 以以1和和-1為極限，因此為極限，因此 不存在不存在. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?000limzzzzzz 00,z 所以所以 不存在，即不存在，即 000( )()limzzf zf zzz ( )f z在在 時(shí)不可導(dǎo)時(shí)不可導(dǎo), 從而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析從而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析. 0z 如果復(fù)變函數(shù)如果復(fù)變函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定在定義域義域 D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù) w = f (z) 在在 D內(nèi)解析。內(nèi)解析。 本節(jié)從函數(shù)本節(jié)從函數(shù)

24、 u (x , y) 及及 v (x , y) 的可導(dǎo)性，探求的可導(dǎo)性，探求函數(shù)函數(shù)w=f (z) 的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。問題問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢？如何判斷函數(shù)的解析性呢？一一. 解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(則則可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzz

25、fzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于實(shí)實(shí)軸軸的的方方式式xvixu yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虛軸的方式若沿平行于虛軸的方式y(tǒng)uiyvyvyui 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在A 記憶記憶yvxvyuxu 定義定義2.6 對(duì)于二元實(shí)函數(shù)對(duì)于二元實(shí)函數(shù)u(x, y)和

26、和v(x, y)，方程，方程 稱為稱為柯西柯西-黎曼方程黎曼方程(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱C-R方程方程).yuxvyvxu 定理定理2.7 設(shè)設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， 則則 f (z)在點(diǎn)在點(diǎn) z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是處可導(dǎo)的充要條件是（1）u(x, y) 和和 v(x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y ) 可微；可微；（2）u(x, y) ， v(x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y )滿足柯西滿足柯西-黎曼方程黎曼方程yuxvyvxu 上述條件滿足時(shí)，有上述條件滿足時(shí)，有( ).uvuuvvvufziiiixxxyyxyy A 由此可

27、以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系聯(lián)系. .當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí)當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí), ,僅由其實(shí)部或虛部就可以僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來求出導(dǎo)數(shù)來. .A 利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的. . 定理定理2.72.7的證明略。由解析函數(shù)的定義的證明略。由解析函數(shù)的定義2.52.5及定理及定理2.72.7，我們可以得到定理，我們可以得到定理2.8.2.8.定理定理2.8 函數(shù)函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解內(nèi)解析的充要條件是析的充要條件是 （1）u(x, y) 和和 v(x, y

28、)在在D內(nèi)內(nèi)可微可微（2）u(x, y) 和和 v(x, y)在在D內(nèi)內(nèi)滿足柯西滿足柯西-黎曼方程黎曼方程yuxvyvxu 解析函數(shù)的判定方法解析函數(shù)的判定方法: : (1) 如果能夠用求導(dǎo)公式或求導(dǎo)法則驗(yàn)證復(fù)如果能夠用求導(dǎo)公式或求導(dǎo)法則驗(yàn)證復(fù)變函數(shù)變函數(shù)f (z)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處存在內(nèi)處處存在, 則可直則可直接斷定接斷定f (z) 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析. (2) 如果復(fù)變函數(shù)如果復(fù)變函數(shù)f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函中的函數(shù)數(shù) u(x,y)和和 v(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)各個(gè)內(nèi)各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)連一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)續(xù) (因而因而u(x,y)和和v(x,y)在區(qū)

29、域在區(qū)域D內(nèi)可微內(nèi)可微), 并且滿并且滿足足柯西柯西-黎曼方程黎曼方程, 則由解析函數(shù)的充要條件可則由解析函數(shù)的充要條件可以斷定函數(shù)以斷定函數(shù)f (z)在區(qū)域在區(qū)域D解析解析.（P28 推論推論2.1）判定復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)性與解析性的步驟：判定復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)性與解析性的步驟：I) 判別判別 u(x, y)，v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性；偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性；II) 驗(yàn)證驗(yàn)證C-R方程；方程；III）根據(jù)推論）根據(jù)推論2.1或定義或定義2.5判斷函數(shù)的解析性。判斷函數(shù)的解析性。A 前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的的, , 但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意但是

30、求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意, , 并不是兩個(gè)并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x, ,y求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的. .復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在可導(dǎo)點(diǎn)處在可導(dǎo)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為二二. 舉例舉例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析：解解 (1) 設(shè)設(shè)z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則則析析。在在全全平平面面不不可可導(dǎo)導(dǎo)，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則則

31、 u=excosy, v= exsiny在在全全平平面面可可導(dǎo)導(dǎo)，解解析析。故故)sin(cos)( cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 僅在點(diǎn)僅在點(diǎn)z = 0處滿足處滿足C-R方程，故方程，故。處處可可導(dǎo)導(dǎo)，但但處處處處不不解解析析僅僅在在02 zzw(3) 設(shè)設(shè)z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則則 0022 yvxvyyuxxu解解 由由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得得u = x2, v = xy, 所以所以2 ,0,xyxyu

32、xuvyvx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x = y = 0時(shí)時(shí),xyyxuvuv 因而函數(shù)僅在因而函數(shù)僅在z = 0可導(dǎo)可導(dǎo), 但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析不解析.例例2 2 判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo)判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo), , 在何處解析在何處解析: :Re( )wzz例例3 設(shè)設(shè) 2222( )(),f zxaxybyi cxdxyy其中其中 a, b, c, d是常數(shù)，問它們?nèi)『沃禃r(shí)是常數(shù)，問它們?nèi)『沃禃r(shí), 函數(shù)函數(shù) f (z) 在復(fù)平面上解析在復(fù)平面上解析. 解：顯然，解：顯然， 22,uxaxyby在全平面可微，且在全平面可微，且 22vcxdxyy2, 2 .vvcxdy

33、dxyxy2, 2,uuxayaxbyxy 容易看出容易看出, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù)2, 1, 1, 2abcd ( , ), ( , )u x yv x y滿足柯西滿足柯西-黎曼方程黎曼方程, 這時(shí)函數(shù)這時(shí)函數(shù) 在全平面解析在全平面解析. ( )f z& 1. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)& 2. 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)& 3. 冪函數(shù)冪函數(shù)& 4. 三角函數(shù)三角函數(shù) 本節(jié)將實(shí)變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)本節(jié)將實(shí)變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的推廣到復(fù)變函數(shù)情形，研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說明它的解析性。性質(zhì)，并說明它的解析性。內(nèi)內(nèi) 容容 簡(jiǎn)簡(jiǎn)

34、介介定義定義： )sin(cosyiyeeexiyxz1,:00eeeyxzyiyeexiyzsincos:0性質(zhì)： (1)0zzzxeeee定義在全平面上，且， (2)zzzeee在全平面解析，且21,)3(2121zzeeezzzz加法定理：(4)2zei是以為基本周期的周期函數(shù))20,1,2,zeykkp=+=北Arg(L一一. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù):)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf ZkikTzfTzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22為為任任意意整整數(shù)數(shù)事事實(shí)實(shí)上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz A 這個(gè)性質(zhì)是實(shí)

35、變指數(shù)函數(shù)所沒有的。這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 沒沒有有冪冪的的意意義義. .它它的的定定義義為為僅僅僅僅是是個(gè)個(gè)符符號(hào)號(hào) ，)sin(cos ,)1(yiyeexzA )Im(zie求求例例1 ie 141求求例例21 ze解方程解方程例例3xeysin ie 12241, 2, 1, 02 kikz二二. 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義定義 指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，Lnzwzfwzzew 記作記作稱為對(duì)數(shù)函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)把滿足把滿足,)()0()(

36、2,lnZkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令(1) 對(duì)數(shù)的定義對(duì)數(shù)的定義.2,)0(的的一一個(gè)個(gè)整整數(shù)數(shù)倍倍相相差差其其任任意意兩兩個(gè)個(gè)相相異異值值即即虛虛部部無無窮窮多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虛虛部部是是的的模模的的實(shí)實(shí)自自然然對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)；它它實(shí)實(shí)部部是是它它的的的的對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)仍仍為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)這這說說明明一一個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù) zzzz 的的無無窮窮多多值值函函數(shù)數(shù)是是即即zLnzw ,當(dāng)當(dāng)k=0時(shí)，時(shí)，為為L(zhǎng)nz的一單值函數(shù)，稱為的一單值函數(shù)，稱為L(zhǎng)nz的的主值主值。故故ikLniia )12()1(1ln)1ln(1 .(負(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)).(負(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)), ,LnzL

37、nz1)1)復(fù)數(shù)都有意義復(fù)數(shù)都有意義對(duì)一切非零對(duì)一切非零不僅對(duì)正數(shù)有意義不僅對(duì)正數(shù)有意義 wZkikaLnzazLnzaz 2lnlnln0 的的主主值值當(dāng)當(dāng)例例如如ikaLnziazLnzaaz )12(lnlnln)0( 的的主主值值當(dāng)當(dāng)特別特別A (2) 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).,這與實(shí)函數(shù)不同這與實(shí)函數(shù)不同多值性多值性了對(duì)數(shù)函數(shù)的了對(duì)數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致指數(shù)函數(shù)的周期性導(dǎo)致 2)2)21212121,)()1LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn .ln:)2處處處處連連續(xù)續(xù)在在除除去去原原點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外連連續(xù)續(xù)性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln

38、續(xù)續(xù)除除原原點(diǎn)點(diǎn)外外在在其其它它點(diǎn)點(diǎn)均均連連其其中中z.arg 連連續(xù)續(xù)在在原原點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸上上都都不不而而z.ln,在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)除除原原點(diǎn)點(diǎn)及及負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外z0)( eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原點(diǎn)點(diǎn)及及負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外是是解解z .ln:)3平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析在在除除去去原原點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸的的解解析析性性zzLnzLnz1)( 且且負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外均均是是解解析析的的，的的每每個(gè)個(gè)分分支支除除了了原原點(diǎn)點(diǎn)和和.,2ziez求求設(shè)設(shè) 例例4, 1, 0222ln kikiz 三三. 乘冪乘冪 與

39、冪函數(shù)與冪函數(shù) babzq 乘冪乘冪ab, 0, aba且且為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)定義定義.bLnabea 定定義義乘乘冪冪.,0,為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)實(shí)實(shí)變變數(shù)數(shù)情情形形ba A 多值多值一般為多值一般為多值.,它它是是單單值值函函數(shù)數(shù)為為整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)b為為整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) b)0,( qqpqpb且且為為互互質(zhì)質(zhì)的的整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)具具有有一一般般而而論論ba,.無窮多支無窮多支 (2)當(dāng)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù)正整數(shù))時(shí)時(shí)，乘冪乘冪ab與與a 的的 n次根意義一致。次根意義一致。A (1)當(dāng)當(dāng)b=n(正整數(shù)正整數(shù))時(shí)時(shí)，乘冪乘冪ab與與a 的的n次冪次冪 意義一致。意義一致。)2()2(ln22 kikiiii

40、Lniieeei)2 , 1 , 0( k)sin()cos(3434)2()2(ln2322323232 kkkiikiiLniieeei ),2,1,0( k解解.1322的的值值和和、求求iii例例5q 冪函數(shù)冪函數(shù)zb稱稱為為冪冪函函數(shù)數(shù)。得得為為復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)中中，取取在在乘乘冪冪,bbzwza 定義定義當(dāng)當(dāng)b = n (正整數(shù)正整數(shù))w=z n 在整個(gè)復(fù)平面上是單值解析函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上是單值解析函數(shù)為正整數(shù)）為正整數(shù)）nnb(1 nkznnnnizikzizLnzeeeez 2arg1111ln)2arg(ln )2argsin2arg(cosnkzinkzzn )12 , 1 , 0( nknz .解解析析除除原原點(diǎn)點(diǎn)與與負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸外外處處處處的的解解析析性性由由于于Lnz的的反反函函數(shù)數(shù)nwz )()( ,1單值分支單值分支且且解析解析除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸外處處 bbbbzzzwbzw ,一一般般而而論論 除去除去b為正整數(shù)外，為多值函數(shù)，為正整數(shù)外，為多值函數(shù)，當(dāng)當(dāng)b為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，無窮多值。為無理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，無窮多值。 )2(2cos2sin:,sincossincos,0:Ryee