2.1有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)..ppt課件

1、2.10 有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)20211124一、一致連續(xù)性定理一、一致連續(xù)性定理 （康托定理）（康托定理）定理：定理：.,上上一一致致連連續(xù)續(xù)在在則則bafbaCf 證明：證明：上上不不一一致致連連續(xù)續(xù)，在在假假設(shè)設(shè)If.)()(0 nntfsf使得：使得：ntstsnnnn1, ,nknsbas必必有有收收斂斂子子列列由由于于 利用列緊性證明利用列緊性證明, 0*0Nn .,limbassnkn . 01 sskssststnnnnnknkkkk.limstnkn 連連續(xù)續(xù)：由由f但但由由題題設(shè)設(shè)：,0)()( sfsf)()(limnnnkktfsf ,)()(0 nnkktfsf

2、.矛盾矛盾例例1.1. ,)()(,存存在在和和且且 bfafbaCf證明：證明：.)(,)(limlimBxfAxfbxax 令令 )(xfA,ax )(xf),(bax B. bx .),()(,)(內(nèi)也一致連續(xù)內(nèi)也一致連續(xù)在在內(nèi)一致連續(xù)，從而內(nèi)一致連續(xù)，從而在在baxfbaxf.),(內(nèi)內(nèi)一一致致連連續(xù)續(xù)在在即即baf.),(一一致致連連續(xù)續(xù)在在求求證證：baf例例2.2.)()(),(存存在在，內(nèi)內(nèi)一一致致連連續(xù)續(xù)，則則在在 bfafbaf證明：證明：時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng) |),(, 0, 02121xxbaxx),(,21 aaxx.| )()(|,0 ,02121 xfxfaxax有有;

3、)(lim存存在在根根據(jù)據(jù)柯柯西西收收斂斂準(zhǔn)準(zhǔn)則則，xfax aa（ ） 1x2x.| )()(|21 xfxf有有.)(:lim存存在在同同理理xfbx 二、有界性定理二、有界性定理證明：證明：.,)(上上無(wú)無(wú)上上界界在在若若不不然然，設(shè)設(shè)baxf,)(,*nxfbaxNnnn 使使.,lim,baxxbaxnnknkn 有收斂子列有收斂子列.)()(lim,存存在在連連續(xù)續(xù)由由 fxffnkn .,)(lim,)(矛矛盾盾有有但但由由 nnknnkxfnkxf定理：定理： .,上上有有界界在在bafbaCf 例例3.3. .)(lim,存存在在，且且設(shè)設(shè)xfaCfx .),)(有有界界在在

4、求求證證： axf證明：證明：,)(limAxfx 設(shè)設(shè). 1|)(| , AxfNxaN時(shí)時(shí)使使.1|)(|)(| )(|AAAxfAAxfxf .,連續(xù)，必有界連續(xù)，必有界上上在在fNa.| )(|,MxfNax ),|1 axMAL，則對(duì)一切，則對(duì)一切令令.| )(|Lxf 總總有有三、最值定理三、最值定理.,值值必必能能取取到到最最大大值值和和最最小小則則設(shè)設(shè)fbaCf ).(inf),(sup,xfmxfMbaxbax 記記.)(,)(,*mxfMxfbaxx 使使則則必必根據(jù)上確界定義：根據(jù)上確界定義：為有限數(shù)為有限數(shù)故故有界有界由于由于,Mmf使使,*baxNnn ,)(1Mxf

5、nMn 定理：定理：證明：證明： 有有子子列列收收斂斂，,baxn .)(1MxfkMnkn 同同理理可可證證：.,lim*baxxnkn 設(shè)設(shè).)(*Mxfn 可可知知令令.)(,*mxfbax 使使四、零點(diǎn)定理四、零點(diǎn)定理 . 0)(),(, 0)()(, fbabfafbaCf使使，則則且且內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根）在在（即即方方程程),(0)(baxf . 0)(, 0)()( bfaf不妨設(shè)不妨設(shè)用區(qū)間套用區(qū)間套二二等等分分,ba,20,)2(babaf ,2,0)2(11baababaf .,2,0)2(11bbababaf 定理：定理：證明：證明：重復(fù)上述步驟，得閉區(qū)間套

6、：重復(fù)上述步驟，得閉區(qū)間套：,2211 nnbabababa滿足：滿足：0)(, 0)( nnbfaf由閉區(qū)間套定理：由閉區(qū)間套定理：.,limlim1nnnnnnnbaba ，使使得得從而：從而：，且且，令令由由0)(0)()(0)( ffnbfafnn. 02)(limlim nnnnnabab. 0)( f例例4.4.)21, 0(042內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個(gè)個(gè)根根在在證證明明方方程程 xx證明：證明：,42)(xxfx 令令. 022)21(, 01)0( ff., 0)(),21, 0(000是是方方程程的的根根使使xxfx .21, 0)(Cxf 例例5.5.)2 , 3(0142

7、3 在在證證明明方方程程xxx證明：證明：, 14)(23 xxxxf令令, 05)3( f.內(nèi)內(nèi)恰恰有有三三個(gè)個(gè)根根. 05)2( f.2 , 3)( Cxf則則, 01)0( f, 01)1( f.而而方方程程至至多多有有三三個(gè)個(gè)根根.恰有三個(gè)實(shí)根恰有三個(gè)實(shí)根.)2 , 1(),1 , 0(),0 , 3(內(nèi)內(nèi)至至少少各各有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在 例例6.6.實(shí)實(shí)根根證證明明任任意意奇奇次次方方程程必必有有證明：證明：,)(2121212012nnnnnaxaxaxaxxp 設(shè)設(shè))1()(12221221012 nnnnnxaxaxaxaxxp.)(,)(limlim xpxpxx. 0)

8、(, 0)(, bpapba故故存存在在).,()( Cxp可可見(jiàn)見(jiàn). 0)(),( pba使使例例7.7.,1 , 0,1 , 01 , 0 :Cff ,)()(xxfxF 令令1.0, 0)1(0(0)*或或或或若若 xFF),1 , 0(, 0)1(, 0)0(* xFF若若證明：證明：.)(,1 , 0*xxfx 使使求求證證：. 01)1()1( fF.*)(,0)(xxfxF 即即使使, 0)0()0(,1 , 0)( fFCxF易易見(jiàn)見(jiàn)（介值定理）（介值定理）,)()(,之之間間的的任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)與與是是介介于于，設(shè)設(shè)bfafbaCf 定理：定理：.)(),( fba使使求求證

9、證),()(bfaf 不妨設(shè)不妨設(shè),)()( xfxg令令.)(, 0)(),( fgba即即使使證明：證明：, 0)()( afag, 0)()( bfbg推論推論1.1.,之之間間的的任任何何值值和和能能取取到到則則mMfbaCf 推論推論2.,的的值值域域構(gòu)構(gòu)成成區(qū)區(qū)間間則則fbaCf ) )(M, )( ffm ,)(MmIf 例例8.8.),(21bxxxabaCfn . )(1)(),(1 nkkxfnfba 求求證證：,1nxxCf 易易見(jiàn)見(jiàn)Mxfnmnkk 1)(1 . )(1)(),(11 nkknxfnfxx 使使證明：證明：).(max),(min,11xfMxfmnnxxxxxx 令令例例9：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)