大學物理 12-4 自感和互感

1、自感自感磁場能量磁場能量互感互感 如果回路中電流為如果回路中電流為 ，且回路幾何，且回路幾何形狀、尺寸不變，周圍無鐵磁性物質，形狀、尺寸不變，周圍無鐵磁性物質，則回路磁通量為：則回路磁通量為：L自感系數(shù)自感系數(shù) 自感現(xiàn)象自感現(xiàn)象由于回路自身電流的變化，在回由于回路自身電流的變化，在回路中路中產(chǎn)生感應電動勢產(chǎn)生感應電動勢的現(xiàn)象。的現(xiàn)象。 I單位：單位：亨利亨利（H）一、自感一、自感對于對于N 匝線圈：匝線圈：磁通鏈數(shù)磁通鏈數(shù)LI 寫成等式：寫成等式：LIN12-4 自感和互感自感和互感I2 2、自感電動勢：、自感電動勢： 若回路幾何形狀、尺寸不變，周圍無鐵磁性物質，則：若回路幾何形狀、尺寸不變，

2、周圍無鐵磁性物質，則：dtdNLdtNd)(dtddtLId)(dtdLIdtdIL0dtdLdtdILL自自 感感 自感系數(shù)在數(shù)值上等于回路中通過單位電流自感系數(shù)在數(shù)值上等于回路中通過單位電流時，通過自身回路所包圍面積的磁通鏈數(shù)。時，通過自身回路所包圍面積的磁通鏈數(shù)。L 的意義：的意義：若若I = 1A，則，則 L = 自感系數(shù)是一個與線圈大小、形狀及匝數(shù)有自感系數(shù)是一個與線圈大小、形狀及匝數(shù)有關的量，與線圈內(nèi)通有的電流關的量，與線圈內(nèi)通有的電流 I無關，一般由實無關，一般由實驗確定。驗確定?！居懻摗浚骸居懻摗浚篖I (1) tILdd(2) 1 1、 L L 的定義：可用下兩式之一定義的定

3、義：可用下兩式之一定義IL dtdIL 自自 感感 3、 L 的大小反映的大小反映阻礙阻礙電流變化的能力，電流變化的能力，L 是電磁是電磁慣性的一種表現(xiàn)。慣性的一種表現(xiàn)。 2 2、 L的計算：可用上兩式之一計算的計算：可用上兩式之一計算, ,一般由一般由 計算。計算。4、利弊、利弊應用：鎮(zhèn)流器，扼（抑）流圈，諧振電路，應用：鎮(zhèn)流器，扼（抑）流圈，諧振電路， 害處：上電遲延，斷電影響，分布參數(shù)，害處：上電遲延，斷電影響，分布參數(shù)， IL自感自感求自感的計算步驟求自感的計算步驟：mSdBmmN LI LlIldHB 求自感電動勢的關鍵，在于知道線圈的自感系數(shù)大小，求自感電動勢的關鍵，在于知道線圈的

4、自感系數(shù)大小，一般通過實驗測得一般通過實驗測得;規(guī)則線圈也可以計算得出。規(guī)則線圈也可以計算得出。設電路電流為設電路電流為I自感自感Sl例例1:試計算直長螺線管的自感試計算直長螺線管的自感,已知：匝已知：匝數(shù)數(shù)N，橫截面積橫截面積S,長度長度l ，磁導率，磁導率。自感系數(shù)計算舉例自感系數(shù)計算舉例mSdBmmN LI LlIldHB設電路電流為設電路電流為IBLSSdBSlNIBSnIBlNISlINN2SllSlNIL22Vn2自感系數(shù)計算舉例自感系數(shù)計算舉例解：解： lNIldHNIrH2rNIH 2rNIB 2hdrrNISdBdm2hN2R1RIh2R1RrdrhdrrNISdBdm2 2

5、12RRmmrdrNIhd)ln(212RRNIh )ln(2122RRIhNNm )ln(2122RRhNIL 212RrRrIBdrrIlSdBdm2 例例2. 同軸電纜由半徑為同軸電纜由半徑為R1 和和R2的兩無限長同軸的兩無限長同軸圓筒圓筒狀導狀導體組成，其間的磁導率為體組成，其間的磁導率為的磁介質，電纜上流有大小相等，方的磁介質，電纜上流有大小相等，方向相反的電流向相反的電流 I，求，求單位長度單位長度電纜的自感系數(shù)。電纜的自感系數(shù)。21 , 0RrRrBII2R1Rdrlrl自感系數(shù)計算舉例自感系數(shù)計算舉例單位長度的自感為：單位長度的自感為：)ln(212RRlLLo)ln(212

6、RRlIL212RRmrdrIlSdB)ln(212RRIlII2R1Rdrlr自感系數(shù)計算舉例自感系數(shù)計算舉例二、互感二、互感 若兩回路幾何形狀、尺寸及相對若兩回路幾何形狀、尺寸及相對位置不變，周圍無鐵磁性物質，則第位置不變，周圍無鐵磁性物質，則第二個線圈的磁通量為：二個線圈的磁通量為： 互感現(xiàn)象互感現(xiàn)象兩個獨立回路，由于一回路電流發(fā)生變化，兩個獨立回路，由于一回路電流發(fā)生變化，在另一回路中產(chǎn)生感應電動勢的現(xiàn)象。在另一回路中產(chǎn)生感應電動勢的現(xiàn)象。12-4 自感和互感自感和互感12121121IMII2I11221設線圈設線圈1中通有電流中通有電流1I互互 感感21212212IMI同理，若線

7、圈同理，若線圈2中通有電流中通有電流2I 若兩回路幾何形狀、尺寸若兩回路幾何形狀、尺寸及相對位置不變，周圍無鐵磁及相對位置不變，周圍無鐵磁性物質，則第一個線圈的磁通性物質，則第一個線圈的磁通量為：量為：I2I112=M12M21實驗和理論都可以證明：實驗和理論都可以證明：若兩線圈的匝數(shù)分別為若兩線圈的匝數(shù)分別為N1 ,N2則有：則有：I2I11221122121MIN211212MIN2、互感電動勢：、互感電動勢：dtdIMdtd21212或dtdIMdtd12121互互 感感1、 M 的定義：可用下兩式之一定義的定義：可用下兩式之一定義21M I(1) dtdIM21(2) 【討論】【討論】

8、 互感系數(shù)：互感系數(shù)：在數(shù)值上等于當?shù)诙€回路電流變在數(shù)值上等于當?shù)诙€回路電流變化率為每秒一安培時，在第一個回路所產(chǎn)生的互感電化率為每秒一安培時，在第一個回路所產(chǎn)生的互感電動勢的大小。動勢的大小。2、 M 的計算：可用上兩式之一計算的計算：可用上兩式之一計算,一般用（一般用（1）式。）式。12IMdtdIM21互感互感I2I112213、 互感系數(shù)和兩回路的幾何形狀、尺寸，它們的互感系數(shù)和兩回路的幾何形狀、尺寸，它們的相對位置，以及周圍介質的磁導率有關。相對位置，以及周圍介質的磁導率有關。4、 互感系數(shù)的大小反映了兩個線圈磁場的相互影互感系數(shù)的大小反映了兩個線圈磁場的相互影響程度。響程度。5

9、、 M 存在的利與弊存在的利與弊在電子線路中：在電子線路中：M 越大，相互干擾越大。越大，相互干擾越大。在變壓器中：在變壓器中：M 越大，能量損失越小。越大，能量損失越小。互互 感感計算互感系數(shù)的一般步驟計算互感系數(shù)的一般步驟（1）.設其中一個電路的電流為設其中一個電路的電流為1I（2）.寫出該電流的磁場分布寫出該電流的磁場分布B（3 3）. .計算出另一個電路的全磁通計算出另一個電路的全磁通2（4 4）. .12IM22B1I1M例例3. 如圖所示如圖所示,在磁導率為在磁導率為 的均勻無限大磁介質中的均勻無限大磁介質中,一一無限長直載流導線與矩形線無限長直載流導線與矩形線圈一邊相距為圈一邊相

10、距為a，線圈共，線圈共N匝匝,其尺寸見圖示。其尺寸見圖示。ablIdr求求它們的互感系數(shù)。它們的互感系數(shù)?；ジ邢禂?shù)計算舉例互感系數(shù)計算舉例設直導線中通有自下而上的電流設直導線中通有自下而上的電流I,它通過矩形它通過矩形線圈的磁通鏈數(shù)為線圈的磁通鏈數(shù)為解解: smSdBNN abaNIlldrrINbaaln22abaNlIM ln2 由互感系數(shù)定義可得互感為由互感系數(shù)定義可得互感為: 互感系數(shù)僅取決于兩回路的形狀互感系數(shù)僅取決于兩回路的形狀,相對位置相對位置,磁介質的磁導率磁介質的磁導率ablIdrlN2NS0 例例4. 兩共軸密繞長直螺線管，兩共軸密繞長直螺線管，C1 和和 C2 ， C1

11、為原線圈，為原線圈，匝數(shù)為匝數(shù)為N1 ，C2 為副線圈，匝數(shù)為為副線圈，匝數(shù)為N2 ，兩者長均為，兩者長均為l , 線圈面線圈面積均為積均為S。管內(nèi)介質的磁導率為。管內(nèi)介質的磁導率為，求求兩螺線管的自感兩螺線管的自感L1 和和 L2 ； 互感互感 M；互感互感 M與自感與自感L1 ，L2 的關系。的關系。1212B2I222222IlNInBSIlNSBSdB22212lSINNN22112112解：解：計算互感系數(shù)計算互感系數(shù) 互感系數(shù)計算舉例互感系數(shù)計算舉例K10 稱稱K 為耦合系數(shù)為耦合系數(shù) 在此例中，線圈在此例中，線圈1的磁通全部通過線圈的磁通全部通過線圈2，稱為無，稱為無磁漏磁漏。V

12、nLVnL22221121LLM21LLKM lSlNNIM221212Vnn21互感互感 M與自感與自感L1 ，L2 的關系。的關系?；ジ邢禂?shù)計算舉例互感系數(shù)計算舉例在一般情況下：在一般情況下：aabb例題例題12-5 .兩線圈的自感分別為兩線圈的自感分別為L1 和和 L2 ,互感為互感為M。求求（1）兩線圈串聯(lián)時，等效自感；）兩線圈串聯(lián)時，等效自感； （2）兩線圈反串聯(lián)時的等效自感。）兩線圈反串聯(lián)時的等效自感。互感系數(shù)計算舉例互感系數(shù)計算舉例aabb解：解：（1）a 與與 b 相聯(lián)相聯(lián)dtdIL 兩線圈的磁場方向相兩線圈的磁場方向相同，彼此加強，自感和互同，彼此加強，自感和互感電動勢的方向

13、也相同，感電動勢的方向也相同，所以總感應電動勢為：所以總感應電動勢為：兩式比較得，等效自感：兩式比較得，等效自感： L = L1 + L2 + 2MdtdIMdtdILdtdIL221dtdIMLL)2(21互感系數(shù)計算舉例互感系數(shù)計算舉例等效自感電動勢為：等效自感電動勢為：(2) a 與與 b相聯(lián)相聯(lián)aabb 兩線圈的磁場方向兩線圈的磁場方向相反，彼此減弱，兩線相反，彼此減弱，兩線圈的自感電動勢方向相圈的自感電動勢方向相同，互感電動勢與自感同，互感電動勢與自感電動勢方向相反，所以電動勢方向相反，所以總感應電動勢為：總感應電動勢為：互感系數(shù)計算舉例互感系數(shù)計算舉例dtdIL兩式比較得，等效自感

14、：兩式比較得，等效自感： L = L1 + L2 - 2MdtdIMdtdILdtdIL221dtdIMLL)2(21等效自感電動勢為：等效自感電動勢為： 當接通電路時，線圈中產(chǎn)生了磁場，也就有當接通電路時，線圈中產(chǎn)生了磁場，也就有了磁場能。線圈由無電到有電的過程，就是電能了磁場能。線圈由無電到有電的過程，就是電能轉換為磁場能的過程。轉換為磁場能的過程。電池BATTERYRL一、磁能的產(chǎn)生和存儲過程一、磁能的產(chǎn)生和存儲過程12-5 12-5 磁場的能量磁場的能量電池BATTERYRL 分析開關合上后的一分析開關合上后的一段時間內(nèi)，電路中的電流段時間內(nèi)，電路中的電流增長過程。增長過程。由歐姆定律

15、得：由歐姆定律得：IRdtdIL解該微分方程得：解該微分方程得：)1(tLReRI)1(0tLReI磁場的能量磁場的能量I0It0IRdtdIL左右兩邊乘以左右兩邊乘以 I dt 再積分得：再積分得：電池BATTERYRL分析線圈中電流變化過程中能量轉換狀況分析線圈中電流變化過程中能量轉換狀況RdtIdtIIdtdtdILI200002020021LIRdtIdtI電源所作的功電源所作的功電阻上的熱損耗電阻上的熱損耗磁場的能量磁場的能量磁場的能量磁場的能量221LIWm以螺線管為例分析：以螺線管為例分析：磁場能量密度：單位體積中儲存的磁場能量。磁場能量密度：單位體積中儲存的磁場能量。VnL2n

16、HInIH221LIWmVHnHVn22221)(21221HwmHBBHB2121212計算空間磁場能量：計算空間磁場能量：VmmdVwWlS二、磁場的能量密度二、磁場的能量密度 例例12-6 有一根無限長同軸電纜，由有一根無限長同軸電纜，由半徑為半徑為R1 和和R2 兩同軸圓筒兩同軸圓筒狀導體組成，狀導體組成，內(nèi)外圓筒上分別流有大小相等，方向相反內(nèi)外圓筒上分別流有大小相等，方向相反的電流的電流I。 drrlR2R1IIVVmmdVHdVwW221rIH2解：解：rldrdV2rldrrIRR2)2(21221)/ln(4122RRlI磁場的能量計算舉例磁場的能量計算舉例 求：求：長為長為 l 的一段電纜內(nèi)儲存的磁能。的一段電纜內(nèi)儲存的磁能。 磁場能量公式給出了計算自感的另一種方法：磁場能量公式給出了計算自感的另一種方法：因為因為所以所以三、電磁場的能量三、電磁場的能量)(21HBDEwwwmeVmewdVWWW221LIWm)/ln(4122RRlI22IWLm)/ln(212RRl磁場的能量磁場的能量+ + + + + +