矩陣教案Ch5P

1、2 矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)定義定義設設冪冪級級數(shù)數(shù)且且當當收收斂斂半半徑徑為為 , r 0kkkzcrzzczfkkk |,)(0則稱收斂的矩陣冪級則稱收斂的矩陣冪級滿足滿足如果如果,)(rArCAnn 即即記記為為的的和和為為矩矩陣陣函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)),(,0AfAakkk 即即冪冪級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于時時),(,|zfrz 一、矩陣函數(shù)的定義一、矩陣函數(shù)的定義常用的矩陣函數(shù)：常用的矩陣函數(shù)：,)(0 kkkAcAfnnkkACAAke ,!1)1(0nnkkkCAAkA ,)!12()1(sin)2(012則得到則得到為參數(shù)為參數(shù)換為換為的方陣的方陣把把,)(tAtAAf.)()(0 kkkAtcA

2、tf1)(,)()4(01 ArAAEkk1)(,1)1()ln()5(01 ArAkAEkkk二、矩陣函數(shù)值的計算二、矩陣函數(shù)值的計算1、利用相似對角化、利用相似對角化:DdiagAPPn ),(211 設設nnkkkCAAkA ,)!2()1(cos)3(02 0)(kkkAcAf 01)(kkkPDPc10 PDcPkkk1001 PccPkknkkkk 11)()( PffPn 同理同理).(,),(),()(21tftftfPdiagAtfn 1例例.,163053064AteA求求設設 :解解2)1)(2()det()1 AE1, 2321 對對應應的的特特征征向向量量：)2T)1

3、 , 1 , 1(:211 TT)1 , 0 , 0(,)0 , 1 , 2(:13232 101011021P ttttttttttttteeeeeeeeeeeee2202022222222212 PeeePetttAt2、Jordan 標準形法標準形法: 1)(kkikiJaJf),(211sJJJdiagJAPP 設設 111)1(111kkikikkimkimkkikkikCCCaii )()()!2(1)()()!1(1)(! 11)()2() 1(iimiiimiiiffmffmffii 01)(kkkPPJaAf10 PJaPkkk1001 PJaJaPkkskkkk11)()(

4、 PJfJfPs2例例.sin,00001000000000AA求求設設 :解解標標準準形形化化為為Jordan)1A 0010,321JJJ iJsin)2 計計算算33210sin00cos! 110sinsin, 0sin, 0sinJJJJ 0000100000000000sin A3、數(shù)項級數(shù)求和法：、數(shù)項級數(shù)求和法：哈密爾頓哈密爾頓-凱萊定理：凱萊定理：nnPA 上上的的一一個個是是數(shù)數(shù)域域設設則則的的特特征征多多項項式式是是矩矩陣陣,|)(,AAEf 0)(0111 EbAbAbAAfnnnEbAbAbAnnn0111 )(0)(11)(1)1(0)1(11)1(11llnlnlnnnnbAbAbAEbAbAbA1100)()( nnnkkkcAcAcEcAcAf )(011EbAbnn11)(111)(111)(00)()()( nllnlnnlllnlllnAbccAbccEbcc三、矩陣函數(shù)的一些性質(zhì)三、矩陣函數(shù)的一些性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：.,BAABBAeeeeeBAAB 則則如如果