數(shù)學(xué)思想之?dāng)?shù)形結(jié)合

1、12 著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)與形，數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)分家萬事休，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，莫分離！聯(lián)系，莫分離！ ” 事實(shí)上，數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老而又事實(shí)上，數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老而又最基本的對(duì)象，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石。最基本的對(duì)象，是數(shù)學(xué)大廈深處的兩塊基石。數(shù)形結(jié)合就是通過這兩者之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來數(shù)形結(jié)合就是通過這兩者之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決問題的。解決問

2、題的。 “數(shù)數(shù)”與與“形形”在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化在一維空間在一維空間，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；關(guān)系；在二維空間在二維空間，實(shí)數(shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立了一，實(shí)數(shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而使函數(shù)的解析式與函數(shù)的圖象一對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而使函數(shù)的解析式與函數(shù)的圖象，方程與曲線建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；，方程與曲線建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；在三維空間在三維空間，空間向量的引入又為用代數(shù)方法研，空間向量的引入又為用代數(shù)方法研究空間點(diǎn)線面關(guān)系提供了可能究空間點(diǎn)線面關(guān)系提供了可能這種用代數(shù)方法研究圖形性質(zhì)，借助圖形性質(zhì)研這種用代數(shù)方法

3、研究圖形性質(zhì)，借助圖形性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系的思想方法就是數(shù)形結(jié)合思想究數(shù)量關(guān)系的思想方法就是數(shù)形結(jié)合思想41.數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它包數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它包含含“以形助數(shù)以形助數(shù)”和和“以數(shù)輔形以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：用大致可以分為兩種情形：一是一是借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即借助形的直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形為手段，數(shù)為目的，如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直以形為手段，數(shù)為目的，如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀說明函數(shù)的性質(zhì)；觀說明函數(shù)的性質(zhì)；二是二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即

4、以數(shù)為手段，形為目的，如應(yīng)用的某些屬性，即以數(shù)為手段，形為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。(2)雙方性原則雙方性原則既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易出應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)錯(cuò)(3)簡單性原則簡單性原則不要為了不要為了“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)而數(shù)形結(jié)合具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要合具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好

5、轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：(1)等價(jià)性原則等價(jià)性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞有時(shí)，由轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯

6、的說明，要注意其帶來形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng)的負(fù)面效應(yīng)6-1 1構(gòu)造途徑構(gòu)造途徑(1)利用“兩點(diǎn)間的距離 224131237f xxxxx求函數(shù)的最小值例例1 1 7- 22222241312372036012,36,1,0(23)4 24 2.f xxxxxxxABP xPAPBAxCPAPBPCPBBCf x 將函數(shù)式變形，得，設(shè)，則上述問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，如圖點(diǎn) 關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，所以的最小值為解析?點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：本題如果直接對(duì)原式進(jìn)行變形，是有一定運(yùn)算量的，效率也不高，但將式子轉(zhuǎn)化為這種點(diǎn)與點(diǎn)距離公式之后，它的幾何意義就凸現(xiàn)出來了，利用數(shù)形結(jié)合

7、的方法，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題9(2)利用“直線的斜率”例例2 2 實(shí)系數(shù)方程f(x)=x2+ax+2b=0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi)，另一個(gè)根在(1,2)內(nèi)，求 的取值范圍21ba 解析： 由根的分布，可寫出a、b所滿足的條件，并作出示意圖；另外，由 的形式，可聯(lián)想斜率公式，利用解析幾何的辦法加以求解21ba10001020fff 021020babab 解析：因方程x2+ax+2b=0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi)，另一個(gè)根在(1,2)內(nèi)，故函數(shù)f(x)=x2+ax+2b的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間(0,1)及(1,2)內(nèi)，于是.，即 點(diǎn)(a，b)所表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D的ABC的內(nèi)部，其中，

8、A(3,1)為直線a+2b+1=0與直線a+b+2=0的交點(diǎn)，B(2,0)為直線a+b+2=0與直線b=0的交點(diǎn)，C(1,0)為直線a+2b+1=0與直線b=0的交點(diǎn)11 由于 表示連結(jié)點(diǎn)(a，b)和點(diǎn)D(1,2)的斜 率，由圖易知，21ba 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：對(duì)于方程根的分布問題，常利用數(shù)形結(jié)合法，從對(duì)稱軸的方程、最值、開口方向、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等方面進(jìn)行考慮；對(duì)于求比例形式的問題，常?？陕?lián)想直線的斜率利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解 112,1,1.441ADCDbkka因故21CDADbkka12(3)利用“點(diǎn)到直線的距離”解析：將函數(shù)表達(dá)式變形得 2|21|22yxx2y的幾何意義表示半圓 x2+y

9、2=1（0y1）上的點(diǎn)P到直線x y+2=0的距離 從而由圖易得 的最小值為 1從而所求函數(shù)的最小值為 2.222y2 2- 1-yxx 求函數(shù)的最小值例例3 313(4)利用“函數(shù)圖象”( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )0( )0f xg xRF xf x g xRF xF xfx g xf x g xF xxF xx因、分別是定義在 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，故函數(shù)是 上的奇函數(shù)由奇函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱知，在原點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性相同又注意到，依據(jù)條件知解析：，在 時(shí)為增函數(shù)，于是在 時(shí)亦為增函數(shù) ( )( )0030.( ) ( )0_f

10、 xg xRxfx g xf x gxgf x g x 且設(shè)、分別是定義在 上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，則不等式 的解集是例4 14因?yàn)間(x)為偶函數(shù)且g(3)=0，故g(3)=0，從而F(3)=F(3)=0.作出滿足條件F(x)的示意圖如圖所示，由圖易知，F(xiàn)(x)0的解集為(，3)(0,3)點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：為什么奇函數(shù)的圖象在原點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性相同，這就是我們成竹在胸，“胸”中有圖：對(duì)奇函數(shù)的圖象特征爛熟于心；為什么在圖中標(biāo)了三個(gè)特殊點(diǎn)：兩個(gè)非F(x)圖象中的點(diǎn)，一個(gè)F(x)圖象中的點(diǎn)即原點(diǎn)：這就是我們對(duì)奇函數(shù)性質(zhì)了如指掌：15 奇函數(shù)若在原點(diǎn)處有定義，則奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)當(dāng)我們作出了滿足全

11、部條件的函數(shù)F(x)的圖象后，不等式F(x)0的解集已經(jīng)躍然圖上了這就是圖形的直觀作用！借助于圖形，省卻了繁瑣的推理與計(jì)算，取而代之的是一幅賞心悅目的優(yōu)美圖案與簡潔明快的解答！16(5)利用“單位圓”2222cossincossin(0)cos.2abcabc abckkabZ 已知，求證：例例5 5證明：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(cos ，sin )與點(diǎn)B(cos ，sin )是直線l：ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個(gè)交點(diǎn)，如圖 222(coscos )(sinsin ) 22cos()AB從而， 17又因單位圓的圓心到直線l的距離 22|,cdab由平面幾何知識(shí)知， 2221()

12、2OAABd，22222214coscdab即，22221cos22coscab所以 ，命題得證.18(6)利用“正余弦定理”構(gòu)圖22sin 20cos 50sin20 cos50 求的值例例6 622222sin 20sin 402sin20sin40 cos12020 40 1201sin20sin40sin1203sin 20sin 402sin20 sin40 cos120sin 120.4 將原式變形為，于是我們可聯(lián)想構(gòu)造一個(gè)三角形：其三個(gè)內(nèi)角分別為、 、，并設(shè)此三角形外接圓直徑為 ，則此三角形三邊長分別為、，由余弦定理可得解析:19點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題中，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，實(shí)現(xiàn)了由三角

13、式向三角形邊角關(guān)系式的轉(zhuǎn)換，使運(yùn)算大為簡捷20(7)利用“平行線間的距離”22240215.abxyabxyaxbyR已知 ， ， ，且，求證：例例8 8 72112121222222()()()240()210/ / .41|-|512-5abxyablxyxylxyllccdABa xb y待證式的左邊可視為點(diǎn) ，與 ， 間的距離的平方已知條件說明點(diǎn) ，在直線 ：上，點(diǎn) ，在直線 ：上，且顯然，平行直線上任意兩點(diǎn)間的距離不小于這兩平行線間的距離，而兩平行線間的距離，所以證明：22點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：對(duì)形如等式ab+cd=k，可以視為點(diǎn)(a，c)在直線bx+dy=k上，或根據(jù)證題需要視為點(diǎn)(a，d)

14、在直線bx+cy=k上242.應(yīng)用方面列舉(1)函數(shù)的圖象與性質(zhì)例例8方程x34x2+4xlog2x=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為_分析：解方程求根是不切實(shí)際的，畫圖是一條重要的途徑253221221112112144log384 0,123220223202 32 3yxxx yxyxxxxyxxxxyxxy令，則令得，在處符合其導(dǎo)函數(shù)的值左負(fù)右正，故時(shí)， 取得極小值，（2,0）是函數(shù)圖象的極小值點(diǎn)； 在處符合其導(dǎo)函數(shù)的值左正右負(fù)，故時(shí)， 取得解析：極大值26 是函數(shù)圖象的極大值點(diǎn)，其函數(shù)圖象如圖所示又在圖中作出函數(shù)y2=log2x的圖象，顯然兩圖象有2個(gè)不同交點(diǎn)，故原方程有2個(gè)不同的實(shí)根2 323 27

15、，27 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：這是一道典型的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合來解決問題的綜合型小題，將三次函數(shù)圖象模型與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象糅合在一起，要求學(xué)生掌握三次函數(shù)的極值，極值點(diǎn)，最值，單調(diào)區(qū)間的求法及函數(shù)圖象的畫法，更要注意在同一坐標(biāo)系中兩圖象的位置關(guān)系28(2)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(0,2 )sincos_10 xxx 在內(nèi)使成立的 取值范圍為例例分析：有些學(xué)生不加分析地盲目利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系與公式，進(jìn)行運(yùn)算與推理，往往造成較高的錯(cuò)誤率，而如果借助三角函數(shù)圖象，以形助數(shù)，則不僅會(huì)正確得出答案，而且過程簡潔直觀sincos(0,2 )5()44yxyx在同一坐標(biāo)系中作出，在上的圖象如圖所示.由圖可知，答案為解析：，

16、9(0,2 )sincos_10 xxx 在內(nèi)使成立的 取值范圍為例例929(3)與解方程、解不等式有關(guān)的問題 2122122()1,12112.11,1xaf xxxaAxf xxxxmmtmxxaAtm R 已知在區(qū)間上是增函數(shù) 求實(shí)數(shù) 的值組成的集合 ；設(shè)關(guān)于 的方程的兩個(gè)非零實(shí)根為 、試問：是否存在實(shí)數(shù) ，使得不等式對(duì)任意及恒成立？若存在，求 的取值范圍；若不存在，試說明理由例例1 130分析： (1)函數(shù)f(x)是區(qū)間-1,1上的增函數(shù)，這個(gè)條件怎樣使用？有兩條思路可走：一是利用函數(shù)單調(diào)性的定義，二是利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)這里我們不妨用第二種方法 2222222222222.2201,120

17、1,1xxaxxaxfxxxfxxxaxx 條件等價(jià)于對(duì)恒成立，即對(duì)解析：恒成立31 221,1()100121101010.2110gxxaxxxO yxyggxaagaxyggxaaga 令， 并 作 出 它 在直 角 坐 標(biāo) 系內(nèi) 的 示 意 草 圖 圖 略 ， 因 其 形 狀 已 經(jīng)深 深 地 烙 在 了 自 己 的 腦 海 中 ，由 圖 易 知 ， 若 對(duì) 稱 軸 方 程所 在 直 線 在軸 的 右 側(cè) ，則為 函 數(shù)的 最 大 值 ，從 而；若 對(duì) 稱 軸 方 程所 在 直 線 不 在軸 的 右 側(cè) ，則為 函 數(shù)的 最 大 值 ，從 而2a2a32 222222121212212

18、20.22021248.xaxaxxxxaxxaxxxxxxx xa 由，得依題意方程的兩實(shí)根與方程的根等價(jià)，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系，可求得|01 | 1| 110AaaaaAaa綜合上面兩種情形的討論可知，即332122212maxmax211,11|(8)3(11)2 01,1mtmxxaA tmtmxxaamtmt 注意到不等式對(duì)任意及恒成立，從而其中，即不等式對(duì)任意恒成立34 222221,1201,112022.12022.h tmtmtyh th tmtmtthmmmmhmmmmmm 令，則函數(shù)的圖象為一條線段于是，當(dāng)對(duì)任意恒成立時(shí)，其線段應(yīng)在 軸的上方，故或從而存在滿足條件的實(shí)數(shù)

19、 ，且 的取值范圍為或35點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)： 本題是一道較難的解不等式問題，但兩問的求本題是一道較難的解不等式問題，但兩問的求解都借助了圖形的直觀，進(jìn)而很簡捷地得到了問題的解都借助了圖形的直觀，進(jìn)而很簡捷地得到了問題的解答與結(jié)論其中，第解答與結(jié)論其中，第(1)問，用的是二次函數(shù)的圖象問，用的是二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸的位置與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)系而得到的；的對(duì)稱軸的位置與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)系而得到的；第第(2)問，先是利用了問，先是利用了主元思想主元思想，視，視m2+tm-2中中t為變量為變量，m為常量，進(jìn)而得出函數(shù)為常量，進(jìn)而得出函數(shù)h(t)=mt+(m2-2)，t-1,1的的圖象為一條線段的直觀結(jié)論，后利用它寫出了圖象為一條線段的直觀結(jié)論，后利用它寫出了m所滿足所滿足的條