有兩個約束條件的條件極值ppt課件

1、四川大學數(shù)學學院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156有兩個約束條件的條件極值有兩個約束條件的條件極值推導三元函數(shù)在兩個約束條件推導三元函數(shù)在兩個約束條件下取得極值的必要條件下取得極值的必要條件四川大學數(shù)學學院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156( , , )uf x y z目標函數(shù)目標函數(shù)( , , )0 x y z( , , )0 x y z約束條件約束條件設函數(shù)設函數(shù) u=f(x,y,z) 在點在點 (x, y, z) 處取得滿足兩處取得滿足兩個約束條件的極值。個約束條件的極值。由隱函數(shù)知識，兩個約束條件的方程可以確由隱函數(shù)知識，兩個

2、約束條件的方程可以確定兩個一元函數(shù)定兩個一元函數(shù) y=y(x) 和和 z=z(x)。將這兩個。將這兩個一元函數(shù)代入目標函數(shù)，則一元函數(shù)一元函數(shù)代入目標函數(shù)，則一元函數(shù)u=f(x,y(x),z(x)=u(x) 在點在點 x=x 處取得極值。處取得極值。由極值的必要條件，由極值的必要條件，0(1)xyzdudydzfffdxdxdx四川大學數(shù)學學院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156另一方面，將兩個一元函數(shù)另一方面，將兩個一元函數(shù) y=y(x) 和和 z=z(x) 代入兩個約束條件方程，得兩個恒等式：代入兩個約束條件方程，得兩個恒等式：( , ( ), ( )0 x y

3、 x z x( , ( ), ( )0 x y x z x以上二式兩端對以上二式兩端對 x 求導，得求導，得0(2)xyzdydzdxdx0(3)xyzdydzdxdx四川大學數(shù)學學院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156由由 (1), (2), (3) 式知道，以下三個梯度式知道，以下三個梯度1,dy dzdx dx,xyzffff ,xyz ,xyz 在點在點(x, y, z)處都與向量處都與向量 垂直。垂直。所以這三個梯度在點所以這三個梯度在點 (x, y, z) 處是共面的。處是共面的。這就是函數(shù)這就是函數(shù) u=f(x,y,z) 在在 (x,y,z) 處取得滿足兩處取得滿足兩個約束條件的極值的必要條件。個約束條件的極值的必要條件。四川大學數(shù)學學院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156約束條件約束條件 和和( , , )uf x y z函數(shù)函數(shù) 取得滿足取得滿足( , , )0 x y z( , , )0 x y z,f共面0 xyzxyzxyzffff即它們的混合積為零：即它們的混合積為零：的極值的必要條件是：的極值的必要條件是：命