數(shù)列型不等式放縮技巧九法

1、數(shù)列型不等式的放縮技巧九法證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下九種:一利用重要不等式放縮均值不等式法設(shè)Sn12.23%.n(n1).求證n(n1)SZSn(n1)22解析此數(shù)列的通項為akk(k1)Snkk12n(n1)2注：應(yīng)注意把握放縮的k(k1,2(n1)21),k1,2,Sn,n.1(k萬)，“度”2:上述不等式右邊放縮用

2、的是均值不等式ab若放成;k(k1)k1則得S(k1)2(n1)(n3)(nD,就放過“度”了!根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里1a1其中，na1ana1an1nan22a1annn2,3等的各式及其變式公式均可供選用。一-，144例2已知函數(shù)f(x),若f(1)-,且f(X)在0,1上的最小值為1a2bx5求證：f(1)f(2)f(n)n-.224x間析f(x)x1x17(x14X14x2?2x1111(1七)(1-)n-(1122222n42n1例3求證C：C；Cn3C：n2(n簡析不等式左邊c：C：C；C：2n(02年全國聯(lián)賽山東預(yù)賽題)0)f(1)f(n)(11、

3、11)n2：12：121,nN).112222n1n1nh2222TT=n2,故原結(jié)論成立2.利用有用結(jié)論例4求證(11)(11)(11)351(1-2nl.簡析本題可以利用的有用結(jié)論主要有:法1利用假分?jǐn)?shù)的一個性質(zhì)b3aam462n3572n113352n12462n24(246-2)22n1即(11)(11352n1法2利用貝努利不等式(1x)n1(ba0,m0)可得2n1(2n2n1)11R(1N(135nx(nN,n12n12,x.2n1.1,x0)的一個特例12(2k1)1,2k1注：例4是122k12k12k1(此處n2,xn1(1)k12k1，)得2k1n2k12n1.1985年

4、上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是:證明(11)(11)(1(112已知函數(shù)f(x)lg13n23x)：二布區(qū).(可考慮用貝努利不等式n3的特例)求證：簡析f(2x)2f(x)(x0)對任意n(n1)xnN且nxan,0a1,給定nN,n2.2恒成立。(90年全國卷壓軸題)不等式本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評分標(biāo)準(zhǔn);這里給出運用柯西(Cauchy)(abi)1nn22aibi的簡捷證法:f(2x)2f(x)i1i12x2x,123lg2x(n1)n2xnxx1232lgxx(n1)an1(n1)

5、x而由Cauchy不等式得(111x2n2xn?13x2x32xn(n1)2x2xn(1212)?122xn?122x32x32x已知a11,an1(1(n1)2x-2)annn(n1)2xan2x(n1)xn2x(xa1),xan)0時取等一得證!.(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明2nan2(n2)；(II”ln(122題)解析x)x對x0都成立，證明ane2(無理數(shù)e2.71828,)(05年遼寧卷第(II)結(jié)合第(I)問結(jié)論及所給題設(shè)條件ln(1x)x(x0)的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路:an1(1-g)ann2lnan1ln(1lnanlnan1lnann1(lnaii1lnai)(i7)lnanl

6、na112nn,12n1(2)n111-2lnanI,即lnanlna12注：題目所給條件放縮方向的作用；當(dāng)然,1anln(12e.x)x(x本題還可用結(jié)論an1(1)ann(n1)1n(nln(an11)ln(an1)ln(10)為一有用結(jié)論,2nn(n1)(n可以起到提醒思路與探索2)來放縮：n1ln(ai11)i2即ln(an1)11)1n(nn1anln(ailn31例7已知不等式121)i23e1)_1i(T1(11n(n1)(an1)1)n(n1)ln(an1)2e.1,2log2n,n1)ln(a21)1N,n2.log2n表示不超過log2n的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列an滿足：ab

7、（b0）,annan1,n2.an1求證an竺,n3.（05年湖北卷第（22）題）blog2n簡析2時a”ak1一)ak1nan1nan11二早西.k1nan1anan13時有工an注：本題涉及的和式an1a11-log2nananan12b2blog2n以利用所給題設(shè)結(jié)論12131n為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可nlog2n來進行有效地放縮；引入有用結(jié)論在解題中即時應(yīng)用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個顯著特點,有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識。1例8設(shè)an(1-)n數(shù)列an單調(diào)遞增且an4.解析引入一個結(jié)論：若0則bn1an1(n1)bn(ba)整理上式得bn(n1)anb.(），以

8、a（證略）1代入（）n式得(1,)n1n1(11).即an單調(diào)遞增。以a1,b此式對一切正整數(shù)n工代入（2nn都成立,)式得1(1即對一切偶數(shù)有遞增，所以對一切正整數(shù)n有（11)nn注：上述不等式可加強為2(11)nn利用二項展開式進行部分放縮:an(1只取前兩項有an1c：Cn二n1k!故有ann11222上述數(shù)列是正整數(shù)，且1年全國卷理科第簡析對第12n(1)2n4.,又因為數(shù)列an單調(diào)3.簡證如下:1)nnC：Cn2Cn工n2.對通項作如下放縮:n12n11k!12卜1.an的極限存在,mn.(1)證明20題)為無理數(shù)niAmm12e；_n11(1/2)3.11/2同時是下述試題的背景:

9、mia：；(2)證明(1nm)(1已知i,m,n、m.n).(01（2）問：用1/n代替n得數(shù)列bn:bn11(1n)7是遞減數(shù)列;借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列（1n）n遞減，且1i即（1m）n（1n）m。當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有1mn,故(1m)m(11n)*10多種，如使用上述例提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文1。部分放縮解析設(shè)an12a1an（只將其中一個2k變成313a1,日an11222例10設(shè)數(shù)列an滿足1a,an11n2.求證:an2.122進行部分放縮），13211.n1又k2kk(k1),k2(

10、12an12)nan11a21(211k213)nk(k1)1anN1一21(-n,當(dāng)1k-1)na13時證明對所有（02年全國高考題）n1,解析（i）用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n1時顯然成立，假設(shè)當(dāng)nk時成立即akk2,則當(dāng)nk1時ak1ak（akk）1ak（k2k）1（k2）21k3,成立。（ii）利用上述部分放縮的結(jié)論ak12ak1來放縮通項，可得ak112(ak1)ak12k1(a11)2k142k1117-k1.ak1211ainX11(2)1*41I-2注：上述證明（i）用到部分放縮,當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：81)(n2)2n3n簡析觀察（尸的結(jié)構(gòu)，注意到（一）n32(i2)ni

11、(112)C11C2工C3±CnCn2Cn3222(n1)(n2),得證.展開得n(n1)(n1)(n2)688例12設(shè)數(shù)列斗滿足&2,an1an(n1,2,).(1)證明anJ2n1對an、一切正整數(shù)n成立；（n）令bn天（n1,2,），判定0與1的大小，并說明理由（n04年重慶卷理科第（22）題）簡析本題有多種放縮證明方法，這里我們對（I）進行減項放縮，有法1用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）a2k1a22122k122（k1）1;ak、一111法2an1an22an2ak1ak2,k1,2,n1.an則a；a122（n1）a；2n22n1a0,2n11（k2）（k2k）1k3

12、；證明（ii）就直接使用了部分放縮的結(jié)論ak12ak1。三添減項放縮上述例4之法2就是利用二項展開式進行減項放縮的例子。例11設(shè)n1,nN,求證(2)n一3(n四利用單調(diào)性放縮1.構(gòu)造數(shù)列如對上述例1,令&嚶則-如TnTni,遞減，有Tn/J220,故0111一人(1僅1o)(1)(1一;)mTn1再如例4,令T352n1則n：/2n1Tn2)(n2n321)22n2,2n1.2n3即TnTn1,Tn遞增，有TnT1注：由此可得例4的加強命題(12171,得證！-31111)(1fa!(1-1-)352n1造成為探索性問題：正整數(shù)k的最大值;求對任意n1使(11)(11)(11)(1k

13、、:2n1恒成立的352n1同理可得理科姊妹題的加強命題及其探索性結(jié)論，讀者不妨一試！321.111例13已知函數(shù)f(x)ax二x的最大值不大于，又當(dāng)x己,時f(x).(1)26428、11求a的值；(n)設(shè)0a1,an1f(an),nN，證明an.(04年遼寧卷第21題)2n1解析(I)a=1；(n)由an1f(an),得an1an3a；-(an1)2-22366且an0.用數(shù)學(xué)歸納法(只看第二步)：ak1f(ak)在ak113121ak1f(ak)f()().k1k12k1k2(0,，)是增函數(shù)，則得k1例14數(shù)列xn由下列條件確定:Xia0,Xn1-Xn,nN.證2Xn證明：對n2總有x

14、a，易知f(x)在、Q,x明：對n2總有xnVa；(II)解析構(gòu)造函數(shù)f(x)1x2xn1(02年北京卷第(19)題)是增函數(shù)。)遞增，故xk1f(Ja)可公當(dāng)nk1時Xk11Xk在h'a,2XkX(II)有XnXn1函數(shù)，故有XnXn11 x亙，構(gòu)造函數(shù)f(x)1x2 xnx2J八n1 xnf(石)0,得證。2 Xn)上是增旦的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對此數(shù)列本Xn06年湖南卷理科第19題：注：本題有著深厚的科學(xué)背景：是計算機開平方設(shè)計迭代程序的根據(jù)；同時有著高等數(shù)學(xué)背景一數(shù)列Xn單調(diào)遞減有下界因而有極限：anVa(n).f(x)1x亙是遞推數(shù)列xn11xn2x2質(zhì)屬性的揭示往往具有重要

15、的指導(dǎo)作用。類題有f(an),n1,2,3,L已知函數(shù)f(x)xsinx,數(shù)列an滿足：0a11,an113證明：(1)0an1an1；(11)an1-an.(證略)6五換元放縮例15求證11J(nN,n2).,n1簡析令anVn1hn,這里hn0(n1),則有n(1hn)n叫1)h：0hn：-27(n1)，從而有1an1hn1J-2-2nn1n1注：通過換元化為哥的形式，為成功運用二項展開式進行部分放縮起到了關(guān)鍵性的作用。例16設(shè)a1,n2,nN,求證an簡析令ab1,則b0,a1b,an(b1)nC0bnC；bn1C：bn2222nN,則n(n1)b2±b-(證明從略)24六遞推

16、放縮22n(a1).4應(yīng)用二項式定理進行部分放縮有C；C：bn2皿21,注意到22,2,因此ann(a1)4遞推放縮的典型例子，可參考上述例10中利用(i)部分放縮所得結(jié)論ak12ak111一進行遞推放縮來證明(ii),同理例6(II)中所得inan1lnan二和nn2nln(an11)ln(an1)1一、例7中工1、例12(I)之法2所得n(n1)anan1n22ak1ak2都是進行遞推放縮的關(guān)鍵式。七轉(zhuǎn)化為加強命題放縮難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以如上述例10第(ii)問所證不等式右邊為常數(shù),111a11a?通過從特值入手進行歸納探索、或運用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強命題:就容易多了(

17、略)。1 1-X再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強命題,n1.1an22例17設(shè)0a1,定義a1解析用數(shù)學(xué)歸納法推nk1a,an1an1時的結(jié)論an1a,求證：對一切正整數(shù)1,僅用歸納假設(shè)akn有an1.1及遞推式1ak1a是難以證出的，因為ak出現(xiàn)在分母上！可以逆向考慮:aka一工a1ak故將原問題轉(zhuǎn)化為證明其加強命題：k1k.ak1a對一切正整數(shù)an例18數(shù)列xn滿足亡1一,Xn12.(證明從略)xn2證明X20011001.(01年中國西部數(shù)學(xué)n奧林匹克試題)簡析將問題一般化：先證明其加強命題xn1.用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步:22Xk1Xk雪上工(-)1-1-1U.因此對一切xN有Xn-k2k2

18、24223例19已知數(shù)列an滿足：a1=,且an=3nan-(n2,nN)(1)求數(shù)列an的通項公式；（2）證明：對一切正整數(shù)22an1n1'n有a1？a2?an2?n!（06年江西卷理科第22題）解析：（1）將條件變?yōu)椋?2and）,因此1L為一個等比數(shù)歹u,an-1an其首項為1-1a1(2)1,1,據(jù)此得3nan=空(n1)3n-1證：據(jù)1得，a1?a2?,an=n!為證a1?a2?an2?n!,只要證n111N時有(1)?(1)(1-)3323n顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明一個加強不等式:111對每個nN,有（1-）?（1-）（1-）333111、1-(一+丁+)2n33

19、3（用數(shù)學(xué)歸納法，證略）利用3得，（11）?（1_2）1111-d)n=1-33=121(l)n故2式成立，從而結(jié)論成立。八分項討論例20已知數(shù)列a0的前n項和Sn滿足Sn2an(1)n（I）寫出數(shù)列an的前3項a,a2,a3；(n)求數(shù)列an的通項公式；（出）證明:對任意白整數(shù)m4,有工a41a5簡析（i）略，（n）an1am2n2-237（04年全國卷出）8(1)n1（m）由于通項中含有當(dāng)n3且n為奇數(shù)時1）n,很難直接放縮,考慮分項討論:32n22n13222n32(2an1n2當(dāng)m4且m為偶數(shù)時13/11222324131an12(2n21)(減項放縮)2n1111a4a5am101(

20、12243_222n2n12n12n211(一a5121)a6378811()am1am當(dāng)m4且m為奇數(shù)時1_1由知1_1a4a51ama41am1a5111ama4a57由得證。.8九數(shù)學(xué)歸納法例21(I)設(shè)函數(shù)f(x)xlog2x(1(n)設(shè)正數(shù)Pl,P2,P3,P2n滿足PlPllog2PlP210g2P2P310g2P3x)log2(1P2P3P2nlog2x)(0P2P2n11(添項放縮)amam11),求f(x)的最小值;1,證明n(05年全國卷i第22題)解析這道高考題內(nèi)蘊豐富，有著深厚的科學(xué)背景：直接與高等數(shù)學(xué)的凸函數(shù)有關(guān)!更為深層的是信息科學(xué)中有關(guān)嫡的問題。(I)略，只證(n

21、):法1由g(x)為下凸函數(shù)vP1P2P3得g(P1)g(P2)寸2"P2n19(P2n)P1g(P2P2nT)所以p/og2P1P210g2考慮試題的編擬初衷，P2P3log2P3P2nlog2P2n是為了考查數(shù)學(xué)歸納法,于是借鑒詹森(jensen)不等式(若f(x)為a,b上的下凸函數(shù)，則對任意xia,b,i0(inxn)1f(%)nf(xj特別地，若1,n),11則有nx1xnf()n1f(x1)nf(x).若為上凸函數(shù)則改“)的證明思路與方法有:法2(用數(shù)學(xué)歸納法證明)(i)當(dāng)n=1時,(ii)假定當(dāng)nk時命題成立，即若正數(shù)由(I)P1,P2,則P110g2P1p210g2P

22、2當(dāng)nk1時，若正數(shù)p1,p2,P2k10g2p2k,P2k1滿足P1知命題成立.,p2k滿足P2k.為利用歸納假設(shè)，將(*)式左邊均分成前后兩段:令xP1P2P1P2p2k,q1,q2xx則q1，q2,q2k為正數(shù)，且qq2由歸納假定知q/og2P1P1log2P1P210g2P2P2P2kP2k11,*)10g2x)同理，由(1x)(綜合x(k)P2k1k)(11)xlog2x,P2k2x)log2(1P210g2P2P2kl0g2P2k(1)P2kx).兩式P1log2P1x(1即當(dāng)法3x)(k)xlog2x(1g(x),q2k一.xq2k1.q2k10g2q2kk.x(q1log2q1q210g2q2q?klog2q2k110g2P2k1P2k110g2P2k1(2)P2log2P2x)log2(1x)nk1時命題也成立.根據(jù)(i)、(ii)構(gòu)造函數(shù)g(x)xlog2x(cx)log2(cc10g2(1)log