桿梁結(jié)構(gòu)有限元分析(第四章)

1、Finite Element method and ANSYS程程 強強 有限元分析及有限元分析及ANSYS北京工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院北京工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院第四章第四章 桿梁結(jié)構(gòu)的有限元方法桿梁結(jié)構(gòu)的有限元方法4.1 桿梁結(jié)構(gòu)分析的工程概念桿梁結(jié)構(gòu)分析的工程概念4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例4.3 梁件有限元的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例梁件有限元的標(biāo)準(zhǔn)化表征與算例4.4 本章要點回顧本章要點回顧4.1 桿梁結(jié)構(gòu)分析的工程概念桿梁結(jié)構(gòu)分析的工程概念 在機械結(jié)構(gòu)中，桿、梁、板是主要的承力構(gòu)件，關(guān)于它們的在機械結(jié)構(gòu)中，桿、梁、板是主要的承力構(gòu)件，關(guān)于它們的計算分析對于機械結(jié)構(gòu)

2、設(shè)計來說具有非常重要的作用，對桿、梁計算分析對于機械結(jié)構(gòu)設(shè)計來說具有非常重要的作用，對桿、梁、板的建模將充分考慮到實際結(jié)構(gòu)的幾何特征及連接方式，并需、板的建模將充分考慮到實際結(jié)構(gòu)的幾何特征及連接方式，并需要對其進行不同層次的簡化，可以就某一特定分析目的得到相應(yīng)要對其進行不同層次的簡化，可以就某一特定分析目的得到相應(yīng)的的1D、2D、3D模型。模型。 由于在設(shè)計時并不知道結(jié)構(gòu)的真實力學(xué)性能由于在設(shè)計時并不知道結(jié)構(gòu)的真實力學(xué)性能(或許還沒有實驗或許還沒有實驗結(jié)果，或許還得不到精確的解析解結(jié)果，或許還得不到精確的解析解)，僅有計算分析的一些結(jié)果，僅有計算分析的一些結(jié)果，因此，一種進行計算結(jié)果校核或驗證

3、的可能方法，就是對所分析因此，一種進行計算結(jié)果校核或驗證的可能方法，就是對所分析對象分別建立對象分別建立1D、2D、3D模型，來進行它們之間的相互驗證和核模型，來進行它們之間的相互驗證和核對；圖對；圖4-1給出一個建筑結(jié)構(gòu)中的桿梁框架以及建模簡化過程。給出一個建筑結(jié)構(gòu)中的桿梁框架以及建模簡化過程。 4.1 桿梁結(jié)構(gòu)分析的工程概念桿梁結(jié)構(gòu)分析的工程概念圖4-1 建筑結(jié)構(gòu)中的桿梁框架以及建模簡化過程 4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例1 基本力學(xué)原理基本力學(xué)原理 桿件是最常用的承力構(gòu)件，它的特點是連接它的兩端一般都是鉸桿件是最常用的承力構(gòu)件，它的特點是連接它的兩端一般都是鉸接接頭，因此，它主

4、要是承受沿軸線的軸向力，因兩個連接的構(gòu)件在接接頭，因此，它主要是承受沿軸線的軸向力，因兩個連接的構(gòu)件在鉸接接頭處可以轉(zhuǎn)動，則它不傳遞和承受彎矩。鉸接接頭處可以轉(zhuǎn)動，則它不傳遞和承受彎矩。 有一個左端固定的拉桿，其右端承受一外力有一個左端固定的拉桿，其右端承受一外力P。該拉桿的長度為。該拉桿的長度為l，橫截面積為橫截面積為A，彈性模量為，彈性模量為E，如圖，如圖4-2所示，這是一個一維問題，下所示，這是一個一維問題，下面討論該問題的力學(xué)描述與求解。面討論該問題的力學(xué)描述與求解。 圖4-2 一端固定的拉桿 4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例基本變量：基本變量： 由于該問題是沿由于該問題是沿x

5、方向的一維問題，因此只有沿方向的一維問題，因此只有沿x方向的基本變量，方向的基本變量，即定義沿即定義沿x方向移動為位移：方向移動為位移：定義：沿定義：沿x方向移動為位移：方向移動為位移： 沿沿x方向的相對伸長方向的相對伸長(或縮短或縮短)量為應(yīng)變：量為應(yīng)變： 沿沿x方向的單位橫截面上的受力為應(yīng)力：方向的單位橫截面上的受力為應(yīng)力： 基本方程：基本方程： 取出桿件的任意一個截面，可得到平衡方程取出桿件的任意一個截面，可得到平衡方程(無體力無體力)為為 取出桿件取出桿件x位置處的一段長度位置處的一段長度dx，設(shè)伸長為，設(shè)伸長為du，則相對伸長量為，則相對伸長量為 由該材料的拉伸試驗，可得到該材料的虎

6、克定律為由該材料的拉伸試驗，可得到該材料的虎克定律為 邊界條件邊界條件位移邊界條件位移邊界條件BC(u) 力邊界條件力邊界條件BC(p) )(xu)(xx)(xx0)(1dxdcxxx或xdxduxxE0| )(0 xxuxlxpAFx| )(4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例從求解思路來說，可以有兩類方法來對該問題進行求解，即從求解思路來說，可以有兩類方法來對該問題進行求解，即: 直接求解法：直接求解法：可以由可以由3個方程來直接求解個方程來直接求解3個變量個變量; 間接法間接法(試函數(shù)試函數(shù))：選取變量選取變量(位移位移)作為基本的待求變量，將其它變量

7、都作為基本的待求變量，將其它變量都用它來表達，并采用間接的近似求解方法。具體的做法如下用它來表達，并采用間接的近似求解方法。具體的做法如下： 假設(shè)滿足位移邊界條件的位移變量可能解假設(shè)滿足位移邊界條件的位移變量可能解(含待定的系數(shù)含待定的系數(shù))，稱為試，稱為試函數(shù)，讓該受力系統(tǒng)的勢能取最小值來最后確定出可能解函數(shù)，讓該受力系統(tǒng)的勢能取最小值來最后確定出可能解(試函數(shù)試函數(shù))中中的那些待定系數(shù)；也可以讓該受力系統(tǒng)的內(nèi)部變形虛功等于外部施加的那些待定系數(shù)；也可以讓該受力系統(tǒng)的內(nèi)部變形虛功等于外部施加力的虛功，來求出試函數(shù)中的那些待定系數(shù)。力的虛功，來求出試函數(shù)中的那些待定系數(shù)。 4.2 桿件有限元分

8、析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例1D問題的虛功原理求解問題的虛功原理求解 先以一個簡單的結(jié)構(gòu)靜力平衡問題來描述虛功原理的基本思想，先以一個簡單的結(jié)構(gòu)靜力平衡問題來描述虛功原理的基本思想，然后再具體求解一端固定的拉桿問題。然后再具體求解一端固定的拉桿問題。 如圖如圖4-3所示的一個平衡力系，由于該系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，則有所示的一個平衡力系，由于該系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，則有 假想在該平衡力系上作用有微小的擾動假想在該平衡力系上作用有微小的擾動(不影響原平衡條件不影響原平衡條件)，且外力，且外力所作用的位置產(chǎn)生了微小的位移變化，即所作用的位置產(chǎn)生了微小的位移變化，即A，B。該假想的位移

9、如果不。該假想的位移如果不影響原平衡條件，應(yīng)滿足以下幾何關(guān)系影響原平衡條件，應(yīng)滿足以下幾何關(guān)系 ABBAllppABABll4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例 這就是任意擾動的位移應(yīng)滿足的條件，稱為許可位移條件，我們把這就是任意擾動的位移應(yīng)滿足的條件，稱為許可位移條件，我們把滿足許可位移條件的、任意微小的假想位移稱為虛位移滿足許可位移條件的、任意微小的假想位移稱為虛位移。 即：對于一個處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，作用于系統(tǒng)上的所有外力在滿足許即：對于一個處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，作用于系統(tǒng)上的所有外力在滿足許可位移條件的虛位移上所做的虛功總和恒為零?？晌灰茥l件的虛位移上

10、所做的虛功總和恒為零。 現(xiàn)在進一步討論彈性力學(xué)中有關(guān)變形體的虛功原理，這時的虛功應(yīng)現(xiàn)在進一步討論彈性力學(xué)中有關(guān)變形體的虛功原理，這時的虛功應(yīng)包括外力虛功包括外力虛功W和內(nèi)力虛功和內(nèi)力虛功 U，U叫做虛應(yīng)變能。由于彈性體在變形叫做虛應(yīng)變能。由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是抵抗變形所產(chǎn)生的，其方向總是與變形的方向相反，所過程中，內(nèi)力是抵抗變形所產(chǎn)生的，其方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力虛功取負(fù)。由于虛功總和為零，則有以內(nèi)力虛功取負(fù)。由于虛功總和為零，則有 彈性力學(xué)中的虛功原理可表述為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變彈性力學(xué)中的虛功原理可表述為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)給物體以微小虛位移時

11、，外力所做的總虛功等于物體的總虛應(yīng)形體，當(dāng)給物體以微小虛位移時，外力所做的總虛功等于物體的總虛應(yīng)變能變能(即應(yīng)力在由虛位移所產(chǎn)生虛應(yīng)變上所作的功即應(yīng)力在由虛位移所產(chǎn)生虛應(yīng)變上所作的功)。注意這里的虛位移是。注意這里的虛位移是指僅滿足位移邊界條件指僅滿足位移邊界條件BC(u)的許可位移。的許可位移。 0BFAFBA0 UW4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例 下面應(yīng)用虛功應(yīng)力來具體求解如圖下面應(yīng)用虛功應(yīng)力來具體求解如圖4-2所示的一端固定的拉桿問題，所示的一端固定的拉桿問題，設(shè)有滿足位移邊界設(shè)有滿足位移邊界條件條件的位移場的位移場 可以驗證：它滿足位移邊界條件

12、。這是一個待定函數(shù)，也稱為試函數(shù)，可以驗證：它滿足位移邊界條件。這是一個待定函數(shù)，也稱為試函數(shù)，所謂該函數(shù)是待定的，就是因為它中間有一個待定系數(shù)，這就需要通過一所謂該函數(shù)是待定的，就是因為它中間有一個待定系數(shù)，這就需要通過一個原理來確認(rèn)它，下面由虛功原理來進行確認(rèn)?；谑絺€原理來確認(rèn)它，下面由虛功原理來進行確認(rèn)?；谑?4-13)的試函數(shù)，的試函數(shù)，則它的應(yīng)變、虛位移以及虛應(yīng)變?yōu)閯t它的應(yīng)變、虛位移以及虛應(yīng)變?yōu)?其中其中c為待定系數(shù)的增量。計算如圖為待定系數(shù)的增量。計算如圖4-2所示算例的虛應(yīng)變能以及外所示算例的虛應(yīng)變能以及外力虛功為力虛功為 cxxu)(cxxcxucx)(.)()(AlcEc

13、dAdxEdUlAxxxx 0lcFlxuFW)(4-13)4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例 由虛功原理，有由虛功原理，有 消去消去c后，有解后，有解 1D問題的最小勢能原理求解問題的最小勢能原理求解 先介紹最小勢能原理的基本表達式。設(shè)有滿足位移邊界條件先介紹最小勢能原理的基本表達式。設(shè)有滿足位移邊界條件BC(u)的許的許可位移場，計算該系統(tǒng)的勢能為可位移場，計算該系統(tǒng)的勢能為 其中其中U為應(yīng)變能，為應(yīng)變能，W為外力功，對于如圖為外力功，對于如圖4-2所示的算例，有所示的算例，有 lcFlAccEEAFc WUu)()()()(21lxuPWdxuxuUxx4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)

14、化標(biāo)準(zhǔn)與算例 對于包含有待定系數(shù)的試函數(shù)而言，真實的位移函數(shù)應(yīng)使得該系統(tǒng)的對于包含有待定系數(shù)的試函數(shù)而言，真實的位移函數(shù)應(yīng)使得該系統(tǒng)的勢能取極小值，即勢能取極小值，即 下面應(yīng)用最小勢能原理來具體求解如圖下面應(yīng)用最小勢能原理來具體求解如圖4-2所示的一端固定的拉桿問題，所示的一端固定的拉桿問題，如同樣取滿足位移邊界條件的位移場，則計算應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)槿缤瑯尤M足位移邊界條件的位移場，則計算應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)?則計算該系統(tǒng)的勢能為則計算該系統(tǒng)的勢能為 求極值，即求極值，即 則可以求出則可以求出與虛功原理結(jié)果相同與虛功原理結(jié)果相同)(min)()(WUuuBCxucExExcdxduxxxx)()()(lcp

15、lAcEWUu221)(0)(cuEAPc/4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例2 局部坐標(biāo)系的桿單元描述局部坐標(biāo)系的桿單元描述 單元的描述包括單元的幾何及節(jié)點描述、位移場、應(yīng)變場、應(yīng)力單元的描述包括單元的幾何及節(jié)點描述、位移場、應(yīng)變場、應(yīng)力場、勢能，也就是要充分利用描述問題的三大類變量以及三大類方程場、勢能，也就是要充分利用描述問題的三大類變量以及三大類方程來計算單元的勢能，然后，由最小勢能原理來計算單元的勢能，然后，由最小勢能原理(或虛功原理或虛功原理)來得到單元來得到單元的方程。實際上，單元內(nèi)位移場的描述就是它的試函數(shù)的選取。的方程。實際上，單元內(nèi)位移

16、場的描述就是它的試函數(shù)的選取。 (1) 單元的幾何及節(jié)點描述單元的幾何及節(jié)點描述 圖圖4-4所示為一個在局部坐標(biāo)系中的桿單元，由于有兩個端節(jié)點（所示為一個在局部坐標(biāo)系中的桿單元，由于有兩個端節(jié)點（Node 1和和Node 2），則基本變量為節(jié)點位移），則基本變量為節(jié)點位移(向量向量)列陣列陣 將每一個描述物體位置狀態(tài)的獨立變量叫做一個自由度，顯然，以將每一個描述物體位置狀態(tài)的獨立變量叫做一個自由度，顯然，以上的節(jié)點位移為兩個自由度。節(jié)點力上的節(jié)點位移為兩個自由度。節(jié)點力(向量向量)列陣為列陣為 Teuuq214-25TePPP214-264.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的

17、標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例 局部坐標(biāo)系的桿單元描述局部坐標(biāo)系的桿單元描述圖圖4-4 局部坐標(biāo)系中的單元局部坐標(biāo)系中的單元 若該單元承受有沿軸向的分布外載，可以將其等效到節(jié)點上，即表示若該單元承受有沿軸向的分布外載，可以將其等效到節(jié)點上，即表示為如式為如式(4-26)所示的節(jié)點力。利用函數(shù)插值、幾何方程、物理方程以及勢所示的節(jié)點力。利用函數(shù)插值、幾何方程、物理方程以及勢能計算公式，可以將單元的所有力學(xué)參量能計算公式，可以將單元的所有力學(xué)參量(即場變量）用節(jié)點位移列陣及即場變量）用節(jié)點位移列陣及相關(guān)的插值函數(shù)來表示。相關(guān)的插值函數(shù)來表示。 單元位移場的表達單元位移場的表達 設(shè)該單元的位移場為設(shè)該單元的位移場

18、為由由Taylor級數(shù)，它可以表示為級數(shù)，它可以表示為 該函數(shù)將由兩個端節(jié)點的位移該函數(shù)將由兩個端節(jié)點的位移 來進行插值確定，可取式來進行插值確定，可取式(4-27)的前兩項來作為該的前兩項來作為該單元的位移插值模式單元的位移插值模式：)(xu.)(2210 xaxaaxu4-2721uu和4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例單元節(jié)點條件為單元節(jié)點條件為 將節(jié)點條件將節(jié)點條件(4-29)代入式代入式(4-28)，可以求得，可以求得將其代入式將其代入式(4-28)有有 其中其中 N(x)叫做叫做形狀函數(shù)矩陣形狀函數(shù)矩陣，為，為 xaaxu10)(4-28210

19、| )(| )(uxuuxuelxx4-29eluuaua121104-30eeeeqxNulxulxxluuuxu)()()1 ()()(211214-31eelxlxxN1)(4-324.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例叫做節(jié)點位移列陣，即叫做節(jié)點位移列陣，即 單元應(yīng)變場的表達單元應(yīng)變場的表達 由彈性力學(xué)中的幾何方程，有由彈性力學(xué)中的幾何方程，有1D問題的應(yīng)變問題的應(yīng)變 其中其中 其中其中幾何矩陣幾何矩陣 單元應(yīng)力場的表達單元應(yīng)力場的表達 由彈性力學(xué)中的物理方程，有由彈性力學(xué)中的物理方程，有1D問題的應(yīng)力問題的應(yīng)力 其中其中 Teuuq21eq4-33e

20、eeqxBuulldxxdux)()(11()()(21)11()()(eelldxxdNxB4-344-35eeeeqxSqxBExEx)()()()()()()(eeeeelElExBExS4-364-37其中其中應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例 單元勢能的表達單元勢能的表達 基于式基于式(4-34)和式和式(4-36)，有單元勢能的表達式，有單元勢能的表達式 其中其中 叫做單元剛度矩陣，即叫做單元剛度矩陣，即 叫做節(jié)點力列陣，即叫做節(jié)點力列陣，即 eK1111eeeelAEKePeeePPp21)()()(212211uPuPdxx

21、WUeeeeee)()()(22110uPuPdxAqxBxSqeeeeTleTeeeeeeeeeeeeeeeeeeeePPuulAElAElAElAEuuqpqKqTT21212121)(214-394-404-414.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例 4 桿單元的坐標(biāo)變換桿單元的坐標(biāo)變換 在工程實際中，在工程實際中，桿單元可能處于整體坐標(biāo)系中的任意一個位置桿單元可能處于整體坐標(biāo)系中的任意一個位置，如圖，如圖4-6所示，這需要將原來在局部坐標(biāo)系中所得到的單元表達所示，這需要將原來在局部坐標(biāo)系中所得到的單元表達等價變換等價變換到整到整體坐標(biāo)系中，這樣，不同位

22、置的單元才有公共的坐標(biāo)基準(zhǔn)，以便對各個單體坐標(biāo)系中，這樣，不同位置的單元才有公共的坐標(biāo)基準(zhǔn)，以便對各個單元進行元進行集成集成(即組裝即組裝)。局部坐標(biāo)局部坐標(biāo)的節(jié)點位移為的節(jié)點位移為 整體坐標(biāo)整體坐標(biāo)的節(jié)點位移為的節(jié)點位移為 等價變換等價變換關(guān)系關(guān)系 寫成寫成矩陣形式矩陣形式 Teuuq21Tevuvuq2211avauuavauusincossincos222111121121sincos0000sincosvuvuaaaauuqe4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例其中其中為為坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣 下面推導(dǎo)整體坐標(biāo)系下的剛度方程；由于單元的下面推導(dǎo)整

23、體坐標(biāo)系下的剛度方程；由于單元的勢能是一個標(biāo)量勢能是一個標(biāo)量(能能量量)，不會因坐標(biāo)系的不同而改變，因此，不會因坐標(biāo)系的不同而改變，因此其中其中 剛度方程剛度方程aaaaTesincos0000sincoseeTeeeTeeTeTeeeeTeTeeTeeeTeqpqKqqpTqTKTqqpqKq)()(21)()(2121eeeTeTKTK eeTepTp eeepqK得整體坐標(biāo)系中的得整體坐標(biāo)系中的剛度矩陣剛度矩陣節(jié)點力陣節(jié)點力陣4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例空間桿單元的坐標(biāo)變換空間桿單元的坐標(biāo)變換 該桿單元在局部坐標(biāo)系下該桿單元在局部坐標(biāo)系下(的節(jié)

24、點位移的節(jié)點位移還是還是 整體坐標(biāo)系中的節(jié)點位移列陣為整體坐標(biāo)系中的節(jié)點位移列陣為 桿在整體坐標(biāo)中的方向余弦桿在整體坐標(biāo)中的方向余弦 Teuuq21Tewvuwvuq222111lzzzzlyyyylxxxx121212),cos(,),cos(,),cos(22211121),cos(0),cos(),cos(000),cos(00),cos(),cos(wvuwvuzzyyxxzzyyxxuuqe4.2 桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例桿件有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例其中其中坐標(biāo)變換矩陣坐標(biāo)變換矩陣剛度矩陣和節(jié)點力的變換與平面情形相同，即為剛度矩陣和節(jié)點力的變換與平面情形相同，即為 ),c

25、os(0),cos(),cos(000),cos(00),cos(),cos(zzyyxxzzyyxxTe得整體坐標(biāo)系中的得整體坐標(biāo)系中的剛度矩陣剛度矩陣eeeTeTKTK 節(jié)點力陣節(jié)點力陣eeTepTp 4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例 設(shè)有一個受分布載荷作用的簡支梁如圖設(shè)有一個受分布載荷作用的簡支梁如圖4-9所示，由于簡支梁的所示，由于簡支梁的寬度較寬度較小，外載沿寬度方向無變化小，外載沿寬度方向無變化，該問題可以認(rèn)為是一個，該問題可以認(rèn)為是一個xoy平面內(nèi)的問題，可平面內(nèi)的問題，可以有以下兩種方法來建立基本方程。以有以下兩種方法來建立基本方程。

26、 方法方法1：是采用一般的建模及分析方法，即從對象取出是采用一般的建模及分析方法，即從對象取出dxdy微元體進行分微元體進行分析，所用的變量較多，方程復(fù)雜，未考慮到這一具體問題的特征。析，所用的變量較多，方程復(fù)雜，未考慮到這一具體問題的特征。 方法方法2：是針對細(xì)長梁用是針對細(xì)長梁用“特征建模特征建?！?的簡化方法來推導(dǎo)三大方程，其基的簡化方法來推導(dǎo)三大方程，其基本思想是采用工程宏觀特征量來進行問題的描述；本思想是采用工程宏觀特征量來進行問題的描述； 圖圖4-9所示問題的特征為：所示問題的特征為：1梁為細(xì)長梁，因此可梁為細(xì)長梁，因此可只用只用x坐標(biāo)來刻畫坐標(biāo)來刻畫; 2主要變形為垂直于主要變形

27、為垂直于x的撓度，可的撓度，可只用撓度來描述位移場只用撓度來描述位移場； 針對這兩個特征，可以對梁沿高度方向的變形做出以下設(shè)定：針對這兩個特征，可以對梁沿高度方向的變形做出以下設(shè)定：(1)變變形后的直線假定；形后的直線假定；(2)小變形假定。這兩個假定對于細(xì)長梁的實際情況也小變形假定。這兩個假定對于細(xì)長梁的實際情況也是符合的。是符合的。 1.1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線撓度：橫截面形心沿垂直于軸線 方向的線位移，用方向的線位移，用v v表示。規(guī)定：表示。規(guī)定： v （），（），v (v (）。）。 2.2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度，用角度，用 表示。規(guī)定

28、：表示。規(guī)定： （），（）， ( (）。）。 一、撓曲線：彎曲變形后，梁軸線變?yōu)橐?、撓曲線：彎曲變形后，梁軸線變?yōu)閤yxy平面內(nèi)的光滑曲線，該平面內(nèi)的光滑曲線，該三、轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系：三、轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系：二、梁變形的兩個基本位移量二、梁變形的兩個基本位移量 (1) dd ddtgxvxv小變形小變形Pxv yx曲線稱為撓曲線，曲線稱為撓曲線， v =f (x) 撓曲線方程。撓曲線方程。 4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例平面梁的基本變量平面梁的基本變量 平衡方程平衡方程 由由

29、x方向的合力等效，有方向的合力等效，有 其中其中 是以梁的中性層為起點的是以梁的中性層為起點的y坐標(biāo)，坐標(biāo)，M為截面為截面上的彎矩。上的彎矩。 然后由然后由y方向的合力平衡方向的合力平衡其中其中Q為截面上的剪力，再由彎矩平衡為截面上的剪力，再由彎矩平衡則則位移位移: (中性層的撓度中性層的撓度)應(yīng)力：應(yīng)力： (采用采用 ，其它應(yīng)力分量很小，不考慮，其它應(yīng)力分量很小，不考慮)，該變量對，該變量對 應(yīng)于梁截面上的彎矩應(yīng)于梁截面上的彎矩M應(yīng)變：應(yīng)變： (采用采用 ，沿高度方向滿足直法線假定，沿高度方向滿足直法線假定)0,(yxvxx0 xdAyMAxy0)(, 0dxxpdQy有0, 00QdxdM

30、M有dxdMQ 4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例幾何方程幾何方程 考慮梁的純彎變形，如圖考慮梁的純彎變形，如圖4-11所示。由變形后的所示。由變形后的幾何關(guān)系，可得到位于幾何關(guān)系，可得到位于 處纖維層的應(yīng)變處纖維層的應(yīng)變(即相對伸即相對伸長量長量)為為 其中其中R為曲率半徑，而曲率為曲率半徑，而曲率k與曲率半徑與曲率半徑R的關(guān)系為的關(guān)系為 曲率曲率k的計算公式為的計算公式為 這里就圖這里就圖4-11所示的情形，應(yīng)取為所示的情形，應(yīng)取為 則則yRydRdRdyRyx)()(RRdddsdk1)()(1 ()(232xvxvxvk 22dxvdk 22)

31、,(dxvdyyxx4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例物理方程物理方程 利用虎克定律利用虎克定律 并對以上方程進行整理并對以上方程進行整理, 有描述平面梁彎曲問題的基本方程有描述平面梁彎曲問題的基本方程 其中I為梁截面的慣性矩xxE)(0)(44方向平衡yxpdxvdEI)()(22方向平衡xdxvdEIdAyyvEdAyxMAAx)()(22物理方程dxvdyExx)()(22幾何方程dxvdyxx4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例邊界條件邊界條件 圖圖4-9所示簡支梁的邊界為梁的兩端，由于在建立平衡方程時已

32、考慮所示簡支梁的邊界為梁的兩端，由于在建立平衡方程時已考慮了分布外載了分布外載P(x)，因此不能再作為力的邊界條件。，因此不能再作為力的邊界條件。 兩端的位移邊界：兩端的位移邊界： 兩端的力兩端的力(彎矩彎矩)邊界：邊界： 彎矩以撓度的二階導(dǎo)數(shù)來表示彎矩以撓度的二階導(dǎo)數(shù)來表示:簡支梁的微分方程解簡支梁的微分方程解 若用基于若用基于dxdy微體所建立的原始方程（即原平面應(yīng)力問題中的三大類微體所建立的原始方程（即原平面應(yīng)力問題中的三大類方程）進行方程）進行直接求解，不僅過于繁瑣，而且不易求解直接求解，不僅過于繁瑣，而且不易求解，若用，若用基于以上基于以上“特征建模特征建?！?簡化方法所得到的基本方

33、程進行直接求解則比較簡單簡化方法所得到的基本方程進行直接求解則比較簡單，對，對如圖如圖4-9所示的均勻分布外載的情況，其方程為：所示的均勻分布外載的情況，其方程為： 0|, 0|: )(0lxxvvuBC0|, 0|: )(0lxxMMpBC0|, 0|: )(0lxxvvuBC 4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例這是一個常微分方程，其解的形式為這是一個常微分方程，其解的形式為 其中其中 為待定系數(shù)，可由四個邊界條件求出，最后有結(jié)果為待定系數(shù)，可由四個邊界條件求出，最后有結(jié)果 則位于中點處的撓度為則位于中點處的撓度為 0044pdxvdEI0|, 0|

34、: )(0lxxvvuBC0|, 0|: )(0lxxvvuBC 01223340)24(1)(cxcxcxcxpEIxv30.cc)2)(24(1)(3340 xllxxpEIxv40)24(1013020833. 0)21(lpEIlxv4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例計算平面梁彎曲問題有關(guān)能量方面的物理量如下計算平面梁彎曲問題有關(guān)能量方面的物理量如下: 應(yīng)變能應(yīng)變能 外力功外力功 勢能勢能 簡支梁的虛功原理解簡支梁的虛功原理解 同樣以如圖同樣以如圖4-9所示的簡支梁為例，假設(shè)有一個只滿足位移邊界條件所示的簡支梁為例，假設(shè)有一個只滿足位移邊界條件

35、BC(u)的位移場的位移場 ：虛位移場為虛位移場為 該簡支梁的虛應(yīng)變能為該簡支梁的虛應(yīng)變能為 其中其中A為梁的橫截面，對于梁的彎曲問題，幾何方程為為梁的橫截面，對于梁的彎曲問題，幾何方程為dxdxvdEIdAdxdxvdyEdxvdyEdUlxx2222222)(21)(2121dxxvxpWl)().(llzdxxvxpdxdxvdEIWU)()()(21222lxcxvsin)(1lxcxvsin)(1dAdxEdUxxlAxx022)(dxvdyxx4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例該簡支梁的外力虛功為該簡支梁的外力虛功為 由虛功原理由虛功原理(

36、4-12)，即，即W=U，則，則 化簡化簡 11412120222202)(2sin)(sin)()( )(cclEIldxclxllxclEIdxdxvddxvddAyEUllA/ )2()(210114cplcclEIl/ )2(sin1001000cpldxlxcpdxvpWll05414pEIlclxpEIlxvsin4)(0544.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例簡支梁的最小勢能原理解簡支梁的最小勢能原理解 仍以如圖仍以如圖4-9所示的平面簡支梁的彎曲問題為例，為提高計算精度，可所示的平面簡支梁的彎曲問題為例，為提高計算精度，可以選取多項函數(shù)的

37、組合，這里取滿足位移邊界條件以選取多項函數(shù)的組合，這里取滿足位移邊界條件BC(u)的許可位移場：的許可位移場：計算應(yīng)變能計算應(yīng)變能U為為 lxclxcxv3sinsin)(212)3(2)(2)3sin()sin()3(2)3(sin)3()(sin)(21)(2121422421042124222421222llcllcEIdxlxlxlcclxlclxlcEIdxdxvdEIdUllxx4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例相應(yīng)的外力功相應(yīng)的外力功W為為 則總勢能為則總勢能為=U-W，為使取極小值，則有，為使取極小值，則有 則則 3223sinsin2

38、100210lclcpdxlxclxcpWl022)(220411lpllcEIc0322)3(220422lpllcEIclxpEIllxpEIlxv3sin2434sin4)(054054解出解出的具體表達后，有和)(21xvcc4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例 可以看出，該方法得到的可以看出，該方法得到的第一項與前面虛功原理求解出來的結(jié)果相第一項與前面虛功原理求解出來的結(jié)果相同同，與精確解相比，與精確解相比，該結(jié)果比前面由虛功原理得到的結(jié)果更為精確該結(jié)果比前面由虛功原理得到的結(jié)果更為精確，這，這時因為選取兩項函數(shù)作為試函數(shù)，這也是提高計算精度的

39、重要途徑。以時因為選取兩項函數(shù)作為試函數(shù)，這也是提高計算精度的重要途徑。以上求解過程所用的上求解過程所用的試函數(shù)為許可基底函數(shù)的線性組合試函數(shù)為許可基底函數(shù)的線性組合，因此，上述求解，因此，上述求解方法也是方法也是瑞利瑞利-里茲方法里茲方法。 以上的求解，都是基于試函數(shù)的能量方法以上的求解，都是基于試函數(shù)的能量方法(泛函極值法泛函極值法)，基本要點，基本要點是不需求解原微分方程，但需要假設(shè)一個滿足位移邊界條件是不需求解原微分方程，但需要假設(shè)一個滿足位移邊界條件BC(u)的許的許可位移場。因此，如何尋找或構(gòu)建滿足所需要求的許可位移場是一個關(guān)可位移場。因此，如何尋找或構(gòu)建滿足所需要求的許可位移場是

40、一個關(guān)鍵，并且，還期望這種構(gòu)建許可位移場的方法還應(yīng)具有標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范性。鍵，并且，還期望這種構(gòu)建許可位移場的方法還應(yīng)具有標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范性。下面的重點將討論通過基于下面的重點將討論通過基于“單元單元”的位移函數(shù)的構(gòu)建就可以滿足這些的位移函數(shù)的構(gòu)建就可以滿足這些要求要求。 4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例局部坐標(biāo)系中的平面梁單元局部坐標(biāo)系中的平面梁單元 圖圖4-12所示為一局部坐標(biāo)系中的純彎梁單元，其長度為所示為一局部坐標(biāo)系中的純彎梁單元，其長度為l，彈性模量為，彈性模量為E，橫截面的慣性矩為，橫截面的慣性矩為Iz。 單元的幾何及節(jié)點描述單元的幾何及節(jié)點描述

41、 設(shè)有兩個端節(jié)點，節(jié)點位移列陣：設(shè)有兩個端節(jié)點，節(jié)點位移列陣：節(jié)點力列陣：節(jié)點力列陣：其其 中分別為各節(jié)點的撓度和轉(zhuǎn)角中分別為各節(jié)點的撓度和轉(zhuǎn)角單元位移場的表達單元位移場的表達 由于有由于有4個位移節(jié)點條件，可假設(shè)純彎梁單元的位移場撓度為具有四個位移節(jié)點條件，可假設(shè)純彎梁單元的位移場撓度為具有四個待定系數(shù)的函數(shù)模式，即個待定系數(shù)的函數(shù)模式，即 ：Tevvq2211TvveMPMPP22112211vv332210)(xaxaxaaxv4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例由該單元的節(jié)點位移條件由該單元的節(jié)點位移條件 可求出式可求出式4個待定系數(shù)，即個待定系

42、數(shù)，即 重寫位移函數(shù)，有重寫位移函數(shù)，有 其中其中 叫做單元的叫做單元的形狀函數(shù)矩陣形狀函數(shù)矩陣，即，即 單元應(yīng)變場的表達單元應(yīng)變場的表達 由純彎梁的幾何方程，有梁的應(yīng)變表達式由純彎梁的幾何方程，有梁的應(yīng)變表達式 2211)(,)()0(,)0(lxvvlxvxvvxv)22(1),323(1,2211342211231110lvlvlalvlvlaavaeqNlvlvxv)()()23()2()231 ()(223232132132)(,Nlx)()23()2()231 ()(23323232llN4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例其中其中 是以中性

43、層為起點的是以中性層為起點的y方向的坐標(biāo)，方向的坐標(biāo)， 叫做單元的幾何矩陣：叫做單元的幾何矩陣： 其中其中 單元應(yīng)力場的表達單元應(yīng)力場的表達 由梁的物理方程由梁的物理方程 其中其中E為彈性模量，為彈性模量，S(x)叫做單元的應(yīng)力矩陣。叫做單元的應(yīng)力矩陣。 eexxqyxSqyxBEyxEyx),(),(),(),(y)(4321BBBByB)(B)26(1)612(1)46(1),612(1423221lBlBlBlBeexqBqllllydxvdyyx)()26(1)612(1)46(1)612(1(),(22224.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例單

44、元勢能的表達單元勢能的表達 該單元的勢能為該單元的勢能為 其中應(yīng)變能其中應(yīng)變能 剛度矩陣，具體地有剛度矩陣，具體地有 4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例外力功為外力功為 其中其中 單元的剛度方程單元的剛度方程 4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例一般平面梁單元的描述一般平面梁單元的描述 為推導(dǎo)局部坐標(biāo)系中的一般平面梁單元，在圖為推導(dǎo)局部坐標(biāo)系中的一般平面梁單元，在圖4-13所示的純彎梁的基礎(chǔ)所示的純彎梁的基礎(chǔ)上疊加進軸向位移上疊加進軸向位移(由于為線彈性問題，滿足疊加原理由于為線彈性問題，滿足疊加原理)，這時的節(jié)

45、點位移自，這時的節(jié)點位移自由度由度(DOF)共有共有6個，見圖個，見圖4-13。 圖圖4-13所示平面梁單元的節(jié)點位移列陣所示平面梁單元的節(jié)點位移列陣和節(jié)點力列陣和節(jié)點力列陣 ：相應(yīng)的剛度方程：相應(yīng)的剛度方程： 將桿單元剛度矩陣與純彎梁單元剛度矩陣進行組合，可得到剛度矩陣：將桿單元剛度矩陣與純彎梁單元剛度矩陣進行組合，可得到剛度矩陣：4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例受均布載荷平面梁單元的等效節(jié)點載荷受均布載荷平面梁單元的等效節(jié)點載荷 (a) 幾種受均布載荷作用的梁構(gòu)件幾種受均布載荷作用的梁構(gòu)件 (b) 節(jié)點等效載荷節(jié)點等效載荷 4.3 梁單元有限元分

46、析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例圖圖4-15 受均布載荷作用的直接靜力等效的受均布載荷作用的直接靜力等效的節(jié)點載荷節(jié)點載荷(每個節(jié)點分一半每個節(jié)點分一半) 對于對于(a)所示的幾種受均布載荷的情況，若需要采用幾個或一個梁單元，所示的幾種受均布載荷的情況，若需要采用幾個或一個梁單元，均可以建立如圖均可以建立如圖(b)所示的單元。所示的單元。其節(jié)點位移列陣為其節(jié)點位移列陣為節(jié)點力列陣為節(jié)點力列陣為單元的撓度位移單元的撓度位移場場其中其中計算該單元的外力功為計算該單元的外力功為W為為 4.3 梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例梁單元有限元分析的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)與算例將形狀函數(shù)矩陣代入上式，可計算出節(jié)點力將形狀函數(shù)矩陣代入上式，可計算出節(jié)點力討論討論1：若憑一種直覺，直接按照靜力等效的方式來進行計算，即，每個：若憑一種直覺，直接按照靜力等效的方式來進行計算，即，每個節(jié)點各分一半進行靜力等效，見圖節(jié)點各分一半進行靜力等效，見圖4-15，則計算出