數(shù)列典型大題含答案

1、數(shù)列專題一、解答題()1 .設(shè)數(shù)歹u%J滿足“丁3%+2n-l)an2n-(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.2 .已知數(shù)列%；的前明項(xiàng)和為與，且又=21+mnEN,數(shù)列甩：滿足=4蠅人+3,共V.(I)求外風(fēng);(n)求數(shù)列8n4J的前網(wǎng)項(xiàng)和乩.3 .已知數(shù)列%.；的前n項(xiàng)和為Sn,且舒數(shù)列出J滿足%=41o取+E).(1)求an,bn;求數(shù)列也的前n項(xiàng)和Tn.4 .已知數(shù)列樂的前衛(wèi)項(xiàng)和為§通用;°且滿足/二25”一-；gW).(I)求數(shù)列但的通項(xiàng)公式；(n)求數(shù)列幣的前一項(xiàng)和Q.第1頁，共13頁5 .已知數(shù)列%J中，=2,a1-aJ_i+2=An(neNn2)(1

2、)求數(shù)列g(shù)rJ的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)"=工，求數(shù)列尺乩J的通項(xiàng)公式及其前"項(xiàng)和口.6 .設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知ai=2,對(duì)任意nCN*,都有2Sn=(n+1)an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列1r：的前n項(xiàng)和為Tn,求證：ETn<1.1tl+2”27 .設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知an>0,£+2%產(chǎn)47+3.(1)求an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)勾二a：,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.口國+18 .已知數(shù)列an滿足a1=1,且an=2an-1+2n(n>2,且nCN*).(1)求a2,a3；(2)證明：數(shù)列?；是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列

3、an的通項(xiàng)公式an.第2頁，共13頁9 .已知數(shù)列an滿足ai=1,=1-,其中n割.n+14tiJ(1)設(shè)卜=-,求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式.FI2din-1(2)設(shè)=e,數(shù)列CnCn+2的前n項(xiàng)和為Tn,是否存在正整數(shù)m,使得丁一對(duì)于nCN*恒成立？若存在，求出m的最小值；若“+1|17"加不存在，請(qǐng)說明.10 .已知公差dwo的等差數(shù)列an滿足ai=1,且ai,a2,a4成等比數(shù)列.(1)求an的通項(xiàng)公式；若Sn是an的前n項(xiàng)和，求數(shù)列?的前n項(xiàng)和Tn.11 .已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且a2=0,a4=4.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)

4、設(shè)九二拌J求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.12 .已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列%的前3項(xiàng)和為3.(1)求%，的通項(xiàng)公式；(2)若的¥1,九=1啊1%I,求數(shù)列：；的前n項(xiàng)和七第3頁，共13頁13 .已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)之和.ai=1,2Sn=nan+i,nCN.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè).=(_產(chǎn)；丁,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn,若儲(chǔ)+11|<JL,求正整數(shù)n的最小值.14 .已知數(shù)列an滿足ai=1,且小二nr-1仁+3(1)證明數(shù)列二是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.若g=-,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.15 .已知an為等差數(shù)列，且a3=6,ae=0.(I)求an的通項(xiàng)公式；(

5、n)若等比數(shù)列bn滿足b1=3,b2=a4+a5,求bn的前n項(xiàng)和公式.16 .已知數(shù)列%滿足硝=1,4+1二言i，(REW")耳寸.(1)證明數(shù)列口為等差數(shù)列；17 .(2)求數(shù)列口力的通項(xiàng)公式.已知數(shù)列依是公比為2的等比數(shù)列，且聞網(wǎng)+1,04成等差數(shù)列.(“求數(shù)列的通項(xiàng)公式；第4頁，共13頁(口)記與=%+1噸£/十1，求數(shù)列九的前n項(xiàng)和？鼠18 .已知an是公差不為0的等差數(shù)列，且滿足ai=2,ai,as,a7成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)力=<J+2”求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.19 .已知數(shù)列an滿足：ai=1,an+i=2an+n-1.(1

6、)設(shè)bn=an+n,證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn.(1)求證:r+(1-幻二i；(2)試用倒序相加法求和第5頁，共13頁答案和解析1 .【答案】解：(1)數(shù)列an滿足町+3叼+(*1)4=2工"),當(dāng)月之2時(shí)，的+3出+-±(2n-3)/.i=20i-Dii)，«)-(口)得：(2月一1)%產(chǎn)2.口=_(泮上21|,I11fait-31.當(dāng)n=1時(shí)，ai=2,上式也成立.力-工.,才一rt-i2 2).q=士=_2_.2rt+12h-l)(2n-+1)2n-l2n+1設(shè)數(shù)列2的前門項(xiàng)和為前，則5n=(1一3+-3+QJ-

7、71;；】)=】-【解析】本題考查數(shù)列通項(xiàng)求法及利用裂項(xiàng)相消求和問題因?yàn)榭?+30工+=方，當(dāng)月、2時(shí)，口i+?%+(2n一？)4_=2(n,(i)(ii)即可求彳導(dǎo)結(jié)果.(2)因?yàn)椋?_3一=_1一，利用裂項(xiàng)相消法求和即可2nf1(2n-I)CZn+L)Zn-12nf12 .【答案】解：(I)因?yàn)椋?/lWEN*,當(dāng)n=1時(shí)，%=S=：彳,當(dāng)月22時(shí)，丁1=4h-1,由ln-l=an=Uog2bn+3,(n)由(I)知品兒產(chǎn)(你一1月T,n/V*L所以_I_I,2G=3X2,7X22+-*-F(4n-l)2，1,2(1一片1)兩式相減得：.I-I,JL、!.一'/所以7=(4n-

8、5)X2”+5,hEM*.【解析】本題考查了數(shù)列的求和公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求數(shù)列的和，屬于中檔題./n=1(I)先由冊n>2,求出出J的通項(xiàng)公式，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求出出/的通項(xiàng)公式;(n)由(I)知%二(4hI""",nEN*,利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，即可得出.3 .【答案】解：(1)由Sn=2n2+n,得當(dāng)n=1時(shí)，a=S1=3;第6頁，共13頁當(dāng)n>2時(shí)，an=SnSni=4n1,所以an=4n-1,nON*.由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n1,nCN*.(2)由(1)知anbn=(4n1)2n1，nN*,所以Tn

9、=3+7>2+11浸2+(4n-1)2n-1,2Tn=3X2+7X22+(4n-5)2n1+(4n1)2n,所以2TnTn=(4n1)2n3+4(2+22+2n)=(4n5)2n+5.故Tn=(4n5)2n+5,nCN*.【解析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系及錯(cuò)位相法求和.(1)由an=SnSn-1,可解得an=4n1,nN*,注意驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立，由4n1=an=4log2bn+3,解得bn=2nMnCN*;(2)由(1)知anbn=(4n-1)2nnCN*,通項(xiàng)公式為等差數(shù)列乘以等比數(shù)列的形式，所以用錯(cuò)位相減法求和4 .【答案】解：(I)n=1時(shí)，1a=得a1=1,(2)-(1)得/,

10、1一£+2口"1-幽尸4與十廠田產(chǎn)4冊+1.即.,因?yàn)榧?，所以%.i一42=0,%+廠%=2,由已知,.，J4$£二口=2成立所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，222封+；即一所以'故數(shù)列中的前，頤和丁“二1-零第7頁，共13頁【解析】本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)，考查錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題(I)n=1時(shí)，2_吧_，得ai=1,當(dāng)打之2時(shí)，根據(jù)"一=%，得/+4=2,檢驗(yàn)n=1時(shí)等式是成立的，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公*1-二'122差為2的等差數(shù)列，即可求得結(jié)果；(n)=>+上+:+.”十1根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可7131

11、333”5 .【答案】解：(1)由題意可知打一2,',，土一；，“一上，累加得,I1I=2n+l【解析】本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)的計(jì)算，以及數(shù)列求和，屬于基礎(chǔ)題(1)利用已知條件得=4冗一？，-廠口出£二例6,一，叼一口=6,I*ir9J,15.工IT1修叁工叼=2,累加即可求解裂項(xiàng)相消求和即可6 .【答案】(1)解：-.2Sn=(n+1)an,，當(dāng)n>2時(shí)，2Sn-1=nan-1,可得2an=(n+1)an-nan-1,一.nit-1(2)證明:.an=2n.4相h+2)2n(2>i4-2)nn+1_.LJJ1.I-Tn=。一。+fc-?7I尸1-E二與t+：二舟

12、i>0，(Tn單調(diào)遞增,.'=T1<Tn<1,.尸n<1.【解析】本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.(1) 2sl=(n+1)an,當(dāng)n>2時(shí)，2Sn-1=nan-1,可得j=j,可得an.(2) 次焉=£1彳#一焉利用“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出7.【答案】解：(1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3,兩式相減得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=an+1-an=(an+1+an)(an+1-an),.an>0,

13、an+1-an=2,.a12+2a1=4a1+3,-31=-1(舍)或a1=3,第8頁，共13頁則an是首項(xiàng)為3,公差d=2的等差數(shù)歹U,an的通項(xiàng)公式an=3+2(n-1)=2n+1；(2) .an=2n+1,"bn=(2n+l)(2n+3)=Z.,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【解析】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，屬于中檔題(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法即可求an的通項(xiàng)公式；(2)求出bn=1，利用裂項(xiàng)法即可求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.1口一8 .【答案】解：(1)a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20;(2)證明：.an=2an1+2n(n>2,且nCN*)

14、,.=：+1(nR2,且neN),即白如=1(n“且neN*)爐21Hl7?.數(shù)列I2是首項(xiàng)為=:，公差d=1的等差數(shù)歹U.匕121工(3)由(2),得三=：+(n1)>4=n-1,Lb-IL-.'an=In彳)2n.riaJI【解析】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，構(gòu)造等差數(shù)列求解是關(guān)鍵，屬于中檔題(1)利用遞推關(guān)系分別取n=2,3即可得出.(2)由an=2an-1+2n(n*且nN*),得到總=：+1(n*且nCN*),根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷數(shù)列或是等差數(shù)列(3)由(2),得3=：+(n1)M=n；,可得答案.9 .【答案】解：(1)證明：.an+1=1-最，bn法口，.數(shù)

15、列bn是等差數(shù)列，首項(xiàng)為瓦=白產(chǎn)2,公差為2,bn=2+2(n-1)=2n.2n上1后齊=2n,解得an=-An2(2)由(1)得Cn=m=-兀十JI4?411-cncn+2=itomr2.,數(shù)列CnCn+2的前n項(xiàng)和為,工/1,11,11、11Tn=2(1-3)+(2-4)+(3-5)+(彳一言初L-1=2i；,'<3.第9頁，共13頁假設(shè)存在正整數(shù)m,使得Tn<1對(duì)于neN恒成立，只需1_即吧±i'>3,卜出丁丁二三4解得m44或m>3,又m>0,m>3時(shí)不等式成立，故存在正整數(shù)m,其最小值為3,使得Tn<_!_對(duì)于nCN

16、*恒成立.【解析】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于較難題.(1)由3n+i=1-/,bn=L2_,作差代入bn+1-bn=上=2,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出皿進(jìn)而得出an.4%2nn-1勿I工門町一】(2)g=史上=1可得CnCn+2=1=2_L_V利用“裂項(xiàng)求和”可得：數(shù)列CnCn+2的前n項(xiàng)和為Tn=2l+！_<<3,假設(shè)存在正整數(shù)m,使得Tnv對(duì)于nCN*恒成立，化為曰>3,解出不等式即可.10 .【答案】解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(dwQ,由題可知，a1？a4=a22,即(1+3d)=(

17、1+d)2,解得d=1或0(舍去)，則an=1+(n-1)X1=n.(2)由(1)可知【解析】略11 .【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由口產(chǎn)0,，4=4，得口q-口?=2d=4,解得d=2,所以.=”+(n-2)d=2n-4.(2)由(1)知與虛網(wǎng):“=n(n-3),所以=W缶=則.=i+s：+=1-+-+亡+-1=1-【解析】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的求和公式以及利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題(1)利用a2=0產(chǎn)4=4,求出等差數(shù)列的公差d,進(jìn)一步可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由(1)知，工二9。斗n(n-3),由此可得加TG1,根據(jù)裂項(xiàng)相消法可求出數(shù)列的前n

18、項(xiàng)和丁.12 .【答案】解：(1)設(shè)公比為q,則1+q+q2=3,解得q=1或q=-2,第10頁，共13頁所以an=1或an=(-2)n-.(2)依題意可得bn=log2|an|=n-1,【解析】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，涉及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題（1）設(shè)公比為q,根據(jù)等比數(shù)列an的前3項(xiàng)和為3,則1+q+q2=3,求得q=1或q=-2,即可得到an的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意得bn=log2|an|=n-1,進(jìn)而得到二'二二二|二二二二，利用裂項(xiàng)相消法求即可求出數(shù)列1的前n項(xiàng)和Tn13 .【答案】解：（1）25“三n+i，25乙=5L）的，得：一.1,

19、.,_s_rl"+*"+T%34n.：一,一-一|FLI<J1當(dāng)n=1時(shí)，也符合，所以a=n（n&亙|注亟通心EH，當(dāng)座偶數(shù)時(shí)，4二+G+3（；+3+&+去）=，當(dāng)年可數(shù)時(shí)，rn=一（1+力+6+3）一0+'+一（萬+砧）=一中，皿為偶數(shù)綜上，.十/：=<"+|1+/=；4TH焉nn+汽>2仆1H，n的最小值為2019.為奇數(shù)【解析】本題主要考查，數(shù)列的數(shù)列的概念及簡單表示數(shù)中的列的遞推關(guān)系和數(shù)列的求和，數(shù)列求和方法中的分組轉(zhuǎn)化求和法，屬于基礎(chǔ)題（1）先列出兩個(gè)式子25昨=*%，251=51）%；得出一得：2%=?1%+廠

20、5-1）%,n>2;既而可以算出&二的不=sx3X/£），再結(jié)合首項(xiàng)得出通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)（1）得出-分別當(dāng)n為奇數(shù)和偶數(shù)是利用分組轉(zhuǎn)化求和法，即可計(jì)算出兩邊都加上1,得?14.【答案】解：（1所以數(shù)列旺開|是以!為公差的等差數(shù)列，且首項(xiàng)為所以壯！='即口此=>1；(2)因?yàn)楣?二小2"一所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn=ix1+2x2+3x2*+M2個(gè)，2Sn=lX2】+2乂2?+3x2。+止21由-，-Sn=lx1+1X21+1X2工十+L2"T-m2"=(l=n"11一1，所以Sn=m1)2"+1.【解析

21、】本題考查數(shù)列的遞推，考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列的判定與證明，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法，考查分析與計(jì)算能力，屬于中檔題.，一,I%一”一.*%+叮111_.7U,1一,，（1）由題已知口"1二不二，兩邊都加上1,得6_+1=k爰，可得;<丁丁m=3,所以數(shù)列是以不為公差的等差數(shù)列，再計(jì)算第11頁，共13頁求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式即可；(2)因?yàn)閔=L=m2“T，求得Sn,；2Sn,；運(yùn)用錯(cuò)位相減法計(jì)算求解即可得到答案Ur1%+I一"&15 .【答案】解：(I)=an為等差數(shù)列，且a3=6,ae=0.|%=%+54=0，解得d=-2,a1=i0,.an

22、=10+(n-1)x(-2)=-2n+12.(n).等比數(shù)列bn滿足b1=3,b2=a4+a5=(-8+12)+(-10+12)=6,.q=1=2,bn的前n項(xiàng)和公式為：Sn="g=3X2n-3.1-2【解析】(I)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列方程組求出首項(xiàng)和公差，由此能求出an.(n)求出等比數(shù)列bn的首項(xiàng)和公差，由此能求出bn的前n項(xiàng)和公式.本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.16 .【答案】(1)證明：勺于。，且有%+1=0，(門6小)，0,又與=；,.數(shù)列出j是首項(xiàng)為1,公差為：的等差數(shù)列.(2)解：由(1)知r

23、t1n+【解析】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題.(1)通過對(duì)%八二3(nCN*,n>?兩邊同時(shí)取倒數(shù)、整理得九進(jìn)而可知數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)、g,為公差的等差數(shù)列;(2)通過(1)可知bn="，進(jìn)而求倒數(shù)可得結(jié)論.答案和解析1.【答案】解：Hi由題意可得2(叼+1)=七十%,即，.-.,解得：,數(shù)列J的通項(xiàng)公式為禺三2*2；里產(chǎn)廠=2n-1+n,r*瓦+與+與+-1+bi-(1+2+3+-+n)4-(2°+21+22+2n-1ln（n十1）【解析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了分組求和法，屬于較易題.由題意可得2(%+=+%,由公比為2,把闖、園、網(wǎng)用表示，求得知可得數(shù)列"的通項(xiàng)公式;(U)利用已知條件轉(zhuǎn)化求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后用分組求和法求解數(shù)列的和即可.2 .【答案】解：(I)設(shè)an的公差為d,因?yàn)閍1,a3,a7成等比數(shù)列，第12頁，共13頁所以+2d）2+bd）所以4d2-2aid=0.由dwqai=2得d=1,所以an=n+1.（口由