數(shù)學建模最優(yōu)組隊問題

1、數(shù)學建模課程設計報告課程設計題目：最佳組隊問題摘要針對問題1,我們知道題目中六個指標對建模的影響顯然是不同的，但是我們只能從定性的角度來分析哪些因素對建模能力素質影響較大。于是，我們建立出求加權平均成績的函數(shù)模型1然后經(jīng)過Excel計算排序之后，得到加權平均水平統(tǒng)計表，進行了人員的直接篩選。但這種方法是占很大主觀因素的，也缺乏一定的公平性。針對問題2,我們運用層次分析法，依次求解出目標層（12名選拔出的學生）、準則層（7項評價水平）、方案層（18名學生）之間的權重，最終根據(jù)每位同學所占的權重大小來篩選出優(yōu)秀的學生。針對問題3,我們首先確定出三人組隊選拔的最低標準。每三個人的每項能力的最大值都必

2、須大于設定的最低標準，這樣三個人才準許組成一隊，因為三個人作為一整體，決定他們的能力水平的是這三人每項能力的最高水平，而不是取決于每隊的最低水平。所以每一組的能力由團隊中在這方面最優(yōu)的選手決定，所以在組隊的過程中，每隊的三名選手至少有兩項能力在整體平均能力以上，根據(jù)這一原則以及綜合水平盡可能高進行組隊。然后通過計算機算法，對這一問題進行實現(xiàn)。關鍵字：層次分析法動態(tài)規(guī)劃問題建模一問題重述2014年美國大學生數(shù)學建模競賽將于美國東部時間2014年2月6日晚上8點舉行，任何一個參賽院校都會遇到如何選拔最優(yōu)秀的隊員和科學合理地組隊問題這是一個最實際的，而且首先需要解決的數(shù)學模型問題.現(xiàn)假設有18名隊員

3、準備參加競賽，根據(jù)隊員的能力和水平要選出12名優(yōu)秀隊員分別組成4個隊,每個隊3名隊員去參加比賽，選拔隊員主要考慮的條件分別為有關學科成績（平均成績）、智力水平（反映思維能力、分析問題能力和解決問題能力等卜動手能力（計算機的使用和其他方面實際操作能力）寫作能力、外語能力、協(xié)作能力（團結協(xié)作能力）和其他特長.每個隊員的基本條件量化后如下表所示，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型，試回答如下三個問題：1）選擇哪12名優(yōu)秀隊員參加競賽？2）確定一個最佳的組隊使競賽技術水平最高；3）給出由12名隊員組成4個隊的組隊方案，使整體競賽技術水平最高，并給出每個隊的競賽技術水平。附表18名隊員各種能力分值表*件學科智力

4、動手寫作外語協(xié)作其它成績水平能力能力水平能力隊員、(1)(3)(4)(5)(6)A8.69.08.28.07.99.56B8.28.88.16.57.79.12C8.08.68.58.59.29.68D8.68.98.39.69.79.78E8.88.48.57.78.69.29F9.29.28.27.99.09.06G9.29.69.07.29.19.29H7.08.09.86.28.79.76I7.78.28.46.59.69.3.5J8.38.18.66.98.59.44K9.08.28.07.89.09.55L9.69.18.19.98.79.76M9.59.68.38.19.09.3

5、7N8.68.38.28.19.09.05O9.18.78.88.48.89.45P9.38.48.68.88.69.56Q8.48.09.49.28.49.17R8.78.39.29.18.79.28二模型假設(1)題目所給各項指標數(shù)據(jù)真實客觀反映選手水平。(2)選拔過程中遵循確定標準公平，公正，公開。(3)各隊競賽水平由各個單項指標衡量，并取在這方面最突出的選手的水平作為整隊競賽水平。(4)每位學生的綜合水平主要由各指標分數(shù)決定。Xi三符號說明依次為學習成績、智力水平、動手能力、寫作能力、其它特長的得分(i=123,4,5,6,7)Yi每組成員中取每項成績的最高分(i=1,2,3,4,5,

6、6,7)bi分別表示降低0.5,1,1.5,2分(i=123,4)Pi對應的7項水平的權重。依次為0.250.21340.17860.14290.10710.07140.0357(i=1,2,3,4,5,6,7)四問題分析4.1 問題1分析：針對問題1,從各個同學的綜合水平進行考慮，對影響選拔隊員的7個條件進行綜合性比較，采用加權平均的方法4.2 問題2分析根據(jù)常理，題目中7個指標對建模能力的影響顯然是不同的，但是我們只能從定性的角度來分析哪些因素對建模能力素質影響較大，而沒有一個具體的尺度確定某項指標在建模能力中究竟占多大比重。所以根據(jù)相關文獻采用層次分析法來確定各項指標在建模能力中所占多比

7、重。4.3 問題3分析：問題要求尋求各隊整體競賽水平最高的分隊方法，首先應該給每一對的整體競賽水平一個精確標準，根據(jù)經(jīng)濟學原理貿易使每個人生活更好，經(jīng)濟在社會中總是從事自己最有比較優(yōu)勢的工作，即最擅長的工作。所以可以斷言，在一個團隊中每位參數(shù)選手都從事自己最擅長的工作，故團隊某一方面競賽水平（比如動手能力，寫作能力）是由團隊中在這方面最優(yōu)性的選手決定，所以在組隊的過程中，每隊的三名選手至少有兩項能力在整體平均能力以上，根據(jù)這一原則以及綜合水平盡可能高進行組隊。五模型建立與求解5.1 問題1模型與求解針對問題1要根據(jù)18名學生的基本情況，來選擇12名學生參加競賽。根據(jù)擇優(yōu)選取原則，需要排除6名能

8、力較差一些的同學，選擇12名能力較好的同學出來。首先對18名學生進行編號，從各個同學的綜合水平進行考慮，對影響選拔隊員的7個條件進行綜合性比較，通過兩個模型的建立求解，最終得出結論。5.1.1 模型I建立出求加權平均成績的函數(shù)模型：、，7X16X25X34X43X32X2X1Y=7654321然后經(jīng)過Excel計算排序之后，即可得如下加權平均水平統(tǒng)計表。表5.1隊員學科成智力動手能寫作外語水協(xié)作其它平均水平績水平力力匕匕平力匕匕XL9.69.18.19.98.79.769.05M9.59.68.38.199.378.95G9.29.697.29.19.298.946428571D8.68.98

9、.39.69.79.788.928571429R8.78.39.29.18.79.288.771428571P9.38.48.68.88.69.568.732142857O9.18.78.88.48.89.458.703571429F9.29.28.27.99968.685714286Q8.489.49.28.49.178.6071428578.532142857C88.68.58.59.29.68E8.88.48.57.78.69.298.517857143A8.698.287.99.568.425K98.287.899.558.371428571N8.68.38.28.19958.3357

10、1428JI8.38.18.66.98.59.4468.057142857.78.28.46.59.69.3577.982142851HB789.86.28.79.7677.939285718.28.88.16.57.79.1247.8571428575.1.2 模型2在做一些比較和決策的時候，通常考慮的因素會涉及到很多方面，而有些因素的重要性，影響力，或優(yōu)先程度往往難以量化，人的主觀選擇（根據(jù)客觀實際情況看）會起著相當主要的作用，這就給用一般的數(shù)學方法解決問題帶來本質上的困難。層次分析法是一種定性和定量相結合的，系統(tǒng)化，層次化的分析方法，它可以有效地處理這樣一類問題的實用方法11,0基于我們

11、要考慮所選拔出的學生有較強的互補性，使他們能夠更好的配合，我們采用層次分析模型。首先，我們將決策的問題分解為3個層次，最上層為目標層，即選拔的12名學生，最下層為方案層，為18名學生，中間層為準則層，有學習成績，智力水平（反映思維能力、分析問題、解決問題的能力），動手能力（計算機的使用和其它方面的實際操作能力），寫作能力，協(xié)作能力（相互協(xié)作能力）及其他特長，各層次之間的關系用相連的直線表示，如圖一所示。裁解生圖5-1為避免結果的不準確性和不全面性，給出非定性的易于讓人接受的結果，我們進行如下做法：一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對比，二是對比時采用相對尺度，以減少性質不同的諸因素相互

12、比較的困難，提高準確度3在該問題中比較學習成績，智力水平，動手能力，寫作能力，外語水平，協(xié)作能力，其他特長7個準則在選拔學生這一目標中的重要性。每次取兩個因素Xi和Xj,用aij表示“和Xj對上一層因素的影響之比，全部比較成果可用成對比較矩陣A,、C1XjA=(aj)n*n,aij0,aji=TaijXi(1)表示。由于(1)式給出的aij的特點，A稱為正互反矩陣。顯然必有aij=10如果用X1、X7依次表示學習成績、智力水平、動手能力、寫作能力、外C2語水平、協(xié)作能力、其他特長7個準則，我們進行C6次成對比較，運用MATLAB得到成對比較矩陣為A=1.00001.16671.40001.75

13、002.33333.50007.00000.85711.00001.20001.50002.00003.00006.00000.71430.83331.00001.25001.66672.50005.00000.57140.16670.20001.00001.33332.00004.00000.42860.50000.60000.75001.00001.50003.00000.28570.33330.40000.50000.66671.00002.00000.14290.16670.20000.25000.33330.50001.0000我們求取對應于特征根n的，歸一化的特征向量表示各個準則對

14、上層目標的權重。(1)運用MATLAB得到特征值和特征向量如下所示：V-0.5916-0.M79凱耶170.S27318273QL0612O.OOOfl0.5071-11221新G.Q+0.1047i0.0B66-0-0024-0.00000.4226-Q.2745阪0.3330-0,248S10J3S0+1屬猷0.009c-0.0002O.llfl0JBL2(LI56O"颯+o.oori-0.2503-o.oori0.5583口，獻O.OSOOL0翻+0.0fi2G-0,D037-1第00.1256(LOTTS-a.iiS2-0,0023i-0.1452-0.00231-0.249

15、4-D.期4瓦州8的靚7,0項+0.00121-0.07Z6-0.00121-0.1247Ds7.0060000000D0,QQOOQ0000000.0000fl000000L蝴。+0.OOOdi00Q0000O.ObQO-Q.OQOOi00000-d.000000000000(2)一致性檢驗由上面所求的特征根和特征向量可知，7階正互反陣A的最大特征根是7.0000,此時入=n，一致性指標CI=±N=0,故A為一致陣。N-1(3)確定權向量對特征向量進行歸一化即可得到權向量w,w二(0.25,0.2143,0.1786,0.1429,0.1071,0.0714,0.0357)其中各項

16、的元素即對應于7項準則所占有的比重。5.1.3問題1模型2的結論將18名學生的各項成績做成18行7列的矩陣如下所示：8.60009.00008.20008.00007.90009.50006.00008.20008.80008.10006.50007.70009.10002.00008.00008.60008.50008.50009.20009.60008.00008.60008.90008.30009.60009.70009.70008.00008.80008.40008.50007.70008.60009.20009.00009.20009.20008.20007.90009.00009.

17、00006.00009.20009.60009.00007.20009.10009.20009.00007.00008.00009.80006.20008.70009.70006.00007.70008.20008.40006.50009.60009.30005.00008.30008.10008.60006.90008.50009.40004.00009.00008.20008.00007.80009.00009.50005.00009.60009.10008.10009.90008.70009.70006.00009.50009.60008.30008.10009.00009.30007.

18、00008.60008.30008.20008.10009.00009.00005.00009.10008.70008.80008.40008.80009.40005.00009.30008.40008.60008.80008.60009.50006.00008.40008.00009.40009.20008.40009.10007.00008.70008.30009.20009.10008.70009.20008.0000然后e*WT即可得到由各位學生的平均水平組成的18行1列的矩陣N。NT=(8.41697.84928.52448.92058.51028.67748.93777.93207

19、.97468.04988.36409.04198.94138.32828.69588.72468.60008.7640)于是可以得到模型二的結論為:對UT排序得至U7.84927.93207.97468.04988.32828.36408.41698.51028.52448.60008.67748.69588.72468.76408.92058.93778.94139.0419所以第2,8,9,10,11,14,個退出比賽，所選拔學生排名如下表表5-2名次123456編R1213741816成績9.04198.94138.93778.92058.76408.7246名次789101112編R1

20、5617351成績8.69588.67748.60008.52448.51028.41695.2問題2模型與求解5.2.1 確定分組標準在問題1的基礎上，我們如果想對這12個同學進行定性的、合理的分組，則需要保證每組的每項標準的平均水平都較大且不能低于12個人的每項標準的平均水平。因此我們首先要求出所選拔的12個人的每項標準的平均水平，如表三所示。作為三人組隊選拔最低標準。每三個人的每項能力的最大值都必須大于設定的最低標準，這樣三個人才準許組成一隊，因為三個作為一整體，決定他們的能力水平的是這三人每項能力的最高水平，而不是取決于每隊的最低水平。表5-3剩余12人每項能力的平均成績學習成績智力水

21、平動手能力寫作能力外語水平協(xié)作能力其它特長8.9166678.8166678.5916678.5333338.8083339.3666677.083333考慮到，每項能力所占有的權重是不一樣的，這樣就不可能對每一項能力升高同樣的標準，這是不符合客觀事實的，所以在升高選拔每項能力的最低標準時，對第一次的最低標準進行略加改動，改動后的最低標準為：Xi-bi*Pb分別表示升高1,1.5,2,2.5分(i=1,2,3,4)。這樣就可以達到預期的效果，所占權重越大的水平項，在升高標準時，所升高的標準就相應的升高越多，占權重越小的水平項，在升高標準時，所升高的標準就相應的升高的越少，這樣越重要的水平項對總

22、分的影響就相應的越重要，這樣就可以進行合理的篩選，不斷的升高最低標準，依次升高了1分,1.5分,2分,2.5分，分別得到如下表四的最低標準:表5-4升高的分數(shù)組隊最低標準學習成績智力水平動手能力寫作能力外語水平協(xié)作能力其它特長18.66678.60338.41348.39048.70129.29537.04761.58.54178.49668.32388.31908.64779.25967.029828.41678.3899P8.23458.24758.59419.22397.01192.58.29178.28328.14528.17618.54069.18826.94415.2.2進行合理分

23、組對每一組的三名同學，我們分別取每一項準則的最大值作為該組在這一準則下的成績。分別求出這一組在各項指標下的成績。采用如下公式進行篩選7“Yi*Pi1求出每一組每項能力的最高分的總和以及加權總和，以保證在可能存在的隊數(shù)較多時，選取加權總分相對較高的那一組，在加權總分相同時，選擇總分較高的哪一組，這樣更加符合客觀事實，以便讓整體的水平較高。通過以最低成績作為最低標準，選拔隊伍所執(zhí)行的程序，結果顯示可以選擇的組太多，不容易篩選出整體水平都很高的4組，并且不能保證這4組的整體水平趨于一致，所以必須升高選拔的最低標準，這樣才能尋找出既滿足：7、Y*Pii1值較大的4組。5.2.3確定最終分組在通過MATLAB執(zhí)行程序后我們得到了詳細的組隊情況，詳細數(shù)據(jù)見附錄。下面將每組按照他們的每項能力的總分進行從高到底的排序，在遵循每個人不重復的原則下，從中間成績的組依次向兩邊選取，以保證每組的整體水平在較小的范圍內波動，使他們的總成績趨于一致，這樣在人數(shù)一定的情況下，可以使得每隊的水平都盡可能的高。通過程序運算結果比較，得到的最佳分隊情況如下表5-5隊員學科成績智力水平動手能力寫作能力外語水平協(xié)作能力其它特長L9