數(shù)形結合數(shù)學思想

1、數(shù)形結合數(shù)學思想數(shù)形結合思想然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解.數(shù)形結合的數(shù)學思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).數(shù)形結合思想解決的問題常有以下幾種：(1)構建函數(shù)模型并結合其圖象求參數(shù)的取值范圍.(2)構建函數(shù)模型并結合其圖象研究方程根的范圍.(3)構建函數(shù)模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系.(4)構建函數(shù)模型并結

2、合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式.(5)構建立體幾何模型研究代數(shù)問題.(6)構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題.(7)構建方程模型，求根的個數(shù).(8)研究圖形的形狀、位置關系、性質(zhì)等.應注意以下幾點：(1)準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域.(2)用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的方程)的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式(有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖),熱點一利用數(shù)形結合思想討論方程的根【例1(2014山東)已知函數(shù)f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根,則實數(shù)k的

3、取值范圍是()A.(0,；)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,+8)解先作出函數(shù)f(x)=|x-2|+1的圖象，如圖所示，當直線g(x)=kx1與直線AB平行時斜率為1,當直線g(x)=kx過A點時斜率為2，故f(x)=g(x)有兩個不相等的實根時，k的范圍為己，1).思維升華用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時，需要作適當變形車t化為兩個熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù).x2+bx+c,x<0,變式訓

4、練(1)設函數(shù)f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,則關于x的方程12,x>0,f(x)=x的解的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案解析由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,數(shù)形結合數(shù)學思想熱點二利用數(shù)形結合思想解不等式、求參數(shù)范圍例2已知奇函數(shù)f(x)的定義域是X|XW0,xCR,且在(0,+8)上單調(diào)遞增，若f(l)=0,則滿足Xf(x)<0的X的取值范圍是解得解作出符合條件的一個函數(shù)圖象草圖即可，由圖可知xf(x)<0的x的取值范x2+4x+2,x<0,b=4,c=2,f(x)=£2,x>0.作出函數(shù)y=f(x)及y=x的函數(shù)

5、圖象如圖所示,圍是(一1,0)U(0,1).思維升華求參數(shù)范圍或解不等式問題時經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式由圖可得交點有3個.、一x一(2)萬程sin2x的解的個數(shù)是4A.5B.6C.7D.8解在同一平面直角坐標系中畫出y=sin一xx和y=4的圖象，如下圖JiinTTJt中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關系轉化數(shù)量關系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運算，獲得簡捷的解答.變式訓練(1)設人=(乂，y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|x+y+m>0,則使A?B成立的實數(shù)m的取值范圍是解集合A是一個圓x2+(y1)2=1上的點的集合，集合B是

6、一個不等式+y+m>0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點的集合,要使A?B,則應使圓被平面區(qū)域所包含(如圖)，即直線x+y+m=0應與圓相切或相離(在圓的下方),而當直線與圓相切時有yLi,又m>0,所以m=J21,觀察圖象可知y=sinxn和y2=的圖象在第一象限有3個交點，根據(jù)對稱性可知，在第三象限故m的取值范圍是m>J21.也有3個交點，在加上原點，共7個交點，所以方程sinx:有7個解.數(shù)形結合數(shù)學思想(2)若不等式9<k(x+2)，2的解集為區(qū)間a,解令yi=-x2,y2=k(x+2)->/2,在同一個坐標系中作出其圖象，因一成的解集為a,b且ba=2.結合圖象知b=

7、3,a=1,即直線與圓的交點坐標為(4)(2013課標全國I)已知函數(shù)f(x)=*x?+2x,xW0,若|f(x)|>ax,則a的取值范圍是()ln(x+1>x>0.A.(8,0B.(巴1C.-2,1D,-2,0解函數(shù)y=|f(x)|的圖象如圖.當a=0時，|f(x)|>ax顯然成立.當a>0時，只需在x>0時,又因為點(一2,m)在直線上,ln(x+1)nax成立.2V2+J2所以k=匚=啦.1+2比較對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)y=ax的增長速度.(3)不等式|x+3|-|x-1|<a2-3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()顯然不存在a>0

8、使ln(x+1)Rax在x>0上恒成立.A.(8,1U4,+8)b.(8,2U5,+8)當a<0時，只需在x<0時，x22x>ax成立.C.1,2D.(巴1U2,+oo)即a>x2成立，所以a>-2.-4(x<3)解f(x)=|x+3|-|x-1|=22x+2如圖，可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4,故只要(-3<x<1(x*)綜上所述：2WaW0.故選D.(5)設關于。的方程J3cos。+sin。+a=0在區(qū)間(0,2兀內(nèi)有相異的兩個實根a、1或a>4.正確選項為A.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求a+3的值.-、一兀a.一.兀解(

9、1)原萬程可化為sin(葉&)=,作出函數(shù)y=sin(x+g)(xC(0,2兀助)圖象.22ITTTz?由圖知，方程在(0,2冠有相異實根”，3的充要條件1-1<-a<1,2是彳廠即一2vav43或一3Vav2.aw亞22，,一.一a一(2)由圖知：當一V3<a<2,即一萬6.ji,.a.兀,直線y=j與二角函數(shù)y=sin(x+4)的圖象23數(shù)形結合數(shù)學思想|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直直線l時，S四邊形PACB應有唯一的最小值，|3X1

10、+4X1+8|此時|PC|=J22=3,3+4從而|PA|=|PC|2|ACf2=2j2.所以(S四邊形PACB)min=2X'X|PA|X|AC|=2.交于c、D兩點，它們中點的橫坐標為,所以丁=£所以葉片y.d2=|3-0-1|2)(.2)2=2.當一2vav弧即一趣61，寸，直線y=微與三角函數(shù)y=sin(x+3)的圖象有兩交點A、B,.a+37r_tt一.tt.77r由對稱性知，不一=5所以葉綜上所述，葉片9或r26333熱點=利用數(shù)形結合思想解最值問題【例3(1)已知P是直線l:3x+4y+8=0上的動點，PA、PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A、

11、B是切點，C是圓心，則四邊形PACB面積的最小值為.(2)已知點P(x,y)的坐標x,y滿足F2y、序0'則x2+y26x+9的取值范圍是()l|x|-y1w0,A.2,4B.2,16C.4,10D.4,16解)畫出可行域如圖，所求的x2+y26x+9=(x3)2+y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x-y-1=0(x>0)的距離d的平方，最大值為|QA|2=16.P沿直線3x+4y+8=0向左上方或11PAC的面積SrFpac=2A|AC|=2，取值范圍是2,16解從運動的觀點看問題，當動點右下方無窮遠處運動時，直角三角形數(shù)形結合數(shù)學思想x-

12、y+K0,變式訓練(1)若實數(shù)x、y滿足x>0,收2,則y的最小值是可行域如圖所示.又"勺幾何意義是可行域內(nèi)的點與坐標原點連線的斜率k.x由圖知，過點A的直線OA的斜率最小.x-y+1=0,2-0y聯(lián)立,得A(1,2),所以koA=2.所以的最小值為2.y=2,1-0x解析./AOB=90°,.點O在圓C上.設直線2x+y4=0與圓C相切于點D,則點C與點O間的距離等于它到直線2x+y-4=0的距離，點C在以O為焦點，以直線2x+y4=0為準線的拋物線上,當且僅當O,C,D共線時，圓的直徑最小為|OD|.12X0+0-414又OD|=一證圓C的最小半徑為答案當/AOB

13、=(2) (2013重慶)已知圓Ci：(x2)2+(y3)2=1,圓C2：(x3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓Ci,C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為()A.5亞-4B.V17-1C.6-2亞D.歷解設P(x,0),設C1(2,3)關于x軸的對稱點為G'(2,3),那么|PC1|十|PC2|=|PC1'|十|PC2|刁CC2|=aJ(2-32+(-3-4f=5點而|PM|十|PN|=|PC1|+|PC2|4'524.(3) (2014江西)在平面直角坐標系中，A,B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y4=0相切，則圓C面積的最小值為()A.4兀B.3兀C.(6-25)TtD.5兀544圓C面積的最小值為71)2=:5兀,(4) (2013江西)過點(寸2,0)引直線l與曲線y=>/1x2相交于A、B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取最大值時，直線l的斜率為.111解析,.SaAOB="OA|OB|sinZAOB="sinZAOB<".,SaAOB面積最大.此時O到AB的距離d=4.設