空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

1、2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系主要內(nèi)容2.1.1 平 面構(gòu)成圖形的基本元素構(gòu)成圖形的基本元素AABBCCDDA AB BC CD D點(diǎn)、線、面點(diǎn)無大小線無粗細(xì)面無厚薄點(diǎn)點(diǎn)直線直線平面平面可無限延伸的平面是可無限延展的平面的符號(hào)表示平面的符號(hào)表示1. 1. 希臘字母：希臘字母： 平面平面 ， 平面平面 ，平面，平面 平面的表示平面的表示平面的表示平面的表示兩個(gè)相交平面的畫法和表示兩個(gè)相交平面的畫法和表示平面和平面相交于一條直線a被遮住的部分畫虛線aa平面平面=直線a平面的表示,Pl A直線和平面都可以看成點(diǎn)的集合“點(diǎn)P在直線l上”,“點(diǎn)A在平面內(nèi)” 用集合符號(hào)表示用集合符號(hào)表示 點(diǎn)與直線

2、、點(diǎn)與平面、直線點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面、直線與平面的關(guān)系與平面的關(guān)系“點(diǎn)P在直線l 外”,“點(diǎn)A在平面外”直線直線 l 在平面在平面內(nèi)，或者說平面內(nèi)，或者說平面經(jīng)過直線經(jīng)過直線 l直線直線 l 在平面在平面外外. .,llAlP,平面的基本性質(zhì)AB 公理公理1 1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi), ,那么這條直線在此平面內(nèi)那么這條直線在此平面內(nèi). .思考思考1 1：如何讓一條直線在一個(gè)平面內(nèi)？：如何讓一條直線在一個(gè)平面內(nèi)？,Al BlABl 且作用作用：為判斷直線與平面的位置關(guān)系提供依據(jù)：為判斷直線與平面的位置關(guān)系提供依據(jù)集合符號(hào)表示集合符號(hào)表示平面經(jīng)過這條直線平

3、面的基本性質(zhì) 公理公理2 過不在一條直線上的三點(diǎn)過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)有且只有一個(gè)平面平面. 思考思考2：經(jīng)過兩點(diǎn)可以確定一條直線，：經(jīng)過兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么經(jīng)過幾個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面呢？那么經(jīng)過幾個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面呢？作用作用：判斷幾個(gè)點(diǎn)共面或直線在同一個(gè)平面內(nèi)：判斷幾個(gè)點(diǎn)共面或直線在同一個(gè)平面內(nèi)集合符號(hào)表示集合符號(hào)表示A AB BC C“不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面” 已知已知A、B、C三點(diǎn)不共線，則存在惟一平三點(diǎn)不共線，則存在惟一平面面 ，使得，使得A、B、C平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì) 思考思考3 3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，：如果兩個(gè)平面有

4、一個(gè)公共點(diǎn)，那么還會(huì)有其它公共點(diǎn)嗎？如果有這些那么還會(huì)有其它公共點(diǎn)嗎？如果有這些公共點(diǎn)有什么特征？公共點(diǎn)有什么特征？ 公理公理3 3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線. . P Pl,PlPl且P且 作用：判斷兩個(gè)平面位作用：判斷兩個(gè)平面位置關(guān)系的基本依據(jù)置關(guān)系的基本依據(jù)例題 例例1 1 如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面之間的位置關(guān)系. .A B a a l (1)a a b b P P l (2)解：1） A，B，=l，a=

5、A，a=B2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P2.1.2空間中直線與直線空間中直線與直線之間的位置關(guān)系之間的位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系思考思考1 1：同一平面內(nèi)兩條直線有幾種位置關(guān)系？：同一平面內(nèi)兩條直線有幾種位置關(guān)系？空間中的兩條直線呢？空間中的兩條直線呢？abC 1 1）教室內(nèi)）教室內(nèi)日光燈管所在直線與黑板左右兩日光燈管所在直線與黑板左右兩側(cè)所在直線的位置關(guān)系如何？側(cè)所在直線的位置關(guān)系如何？2 2）天安門廣場(chǎng)上，旗桿所在直線與長安）天安門廣場(chǎng)上，旗桿所在直線與長安街所在直線的位置關(guān)系如何？街所在直線的位置關(guān)系如何？兩條直線的位置關(guān)系 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的

6、兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線叫做異面直線.baab異面直線的圖示兩條直線的位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系A(chǔ). A. 空間中既不平行又不相交的兩條直線；空間中既不平行又不相交的兩條直線；B. B. 平面內(nèi)的一條直線和這平面外的一條直線；平面內(nèi)的一條直線和這平面外的一條直線；C. C. 分別在不同平面內(nèi)的兩條直線；分別在不同平面內(nèi)的兩條直線；D. D. 不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線；不在同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線；E. E. 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線. . 關(guān)于異面直線的定義，你認(rèn)為下列哪個(gè)說法關(guān)于異面直線的定義，你認(rèn)為下列哪個(gè)說法最合適？最合適？問

7、題兩條直線的位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系空間中的直線與直線之間有三種位置關(guān)系：空間中的直線與直線之間有三種位置關(guān)系：相交直線相交直線: :平行直線平行直線: :共面直線共面直線異面直線：異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn) 同一平面內(nèi)，有且只有一同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；個(gè)公共點(diǎn)； 同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)； 如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖, ,如果將它還原如果將它還原為正方體，那么為正方體，那么ABAB，CDCD，EFEF，GHGH這四條線段所在直線這四條線段所在直線是異面直線的有多少對(duì)是異面直線的有多

8、少對(duì)? ?探究探究FAHGEDCB直線直線EF EF 和直線和直線HGHG直線直線AB AB 和直線和直線CDCD直線直線AB AB 和直線和直線HGHG答：答：3 3對(duì)對(duì)平行直線平行直線 如圖如圖, , 在長方體在長方體ABCDABCDABCDABCD中中, , BBAABBAA，DDAADDAA，那么，那么BBBB與與DDDD平行平行嗎嗎 ? ?CBCADBAD觀察觀察答：平行答：平行平行直線 公理公理4 4 平行于同一直線的兩條直線互相平行平行于同一直線的兩條直線互相平行. .空間中的平行線具有傳遞性空間中的平行線具有傳遞性如果a/b，b/c，那么a/cAFEDCBABCDEF三條平行線

9、共面三條平行線共面三條平行線不共面三條平行線不共面平行直線平行直線 已知三條直線兩兩平行，任取兩條直線能確定一個(gè)平面，問這三條直線能確定幾個(gè)平面？AFEDCBABCDEF三條平行線共面三條平行線共面三條平行線不共面三條平行線不共面問題問題平行直線 例例2 2 如圖，空間四邊形如圖，空間四邊形ABCDABCD中，中，E E，F(xiàn) F，G G，H H分分別是別是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中點(diǎn)的中點(diǎn). . 求證：四邊形求證：四邊形EFGHEFGH是平行四邊形是平行四邊形. .FGDAEBCH所以 BDEH /，且，且BDEH21同理 BDFG/，且，且BDFG21因?yàn)?FGEH /，且，

10、且FGEH 所以所以 四邊形四邊形EFGH EFGH 是平行四邊形是平行四邊形證明：連接證明：連接BDBD，因?yàn)?EHEH是是 的中位線，的中位線，ABD 在上例中，如果再加上條件AC=BD，那么四邊形EFGH 是什么圖形？探究探究答：四邊形EFGH是菱形FGDAEBCH是菱形所以平行四邊形所以且，因?yàn)镋FGHEHEFBDAC BD21EH AC21EF等角定理 在平面上，我們?nèi)菀鬃C明“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行， 那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”空間中，結(jié)論是否仍然成立？思考1 如圖如圖, ,四棱柱四棱柱ABCD-ABCDABCD-ABCD的底面是平行的底面是平行四邊形，四邊形，ADC

11、ADC與與ADC, ADCADC, ADC與與BADBAD的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何 ?思考思考2:2:BADCABDCBADCABDCADC=ADCADC=ADCADC+BAD=180ADC+BAD=1800 0等角定理 定理定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). .ABCCABABCCABBA ABCAAC/,/異面直線所成的角a ab b思考思考 在同一平面內(nèi)兩條相交直線形成四個(gè)角，常取較小的一組角來度量這兩條直線的位置關(guān)系，這個(gè)角叫做兩條直線的

12、夾角.在空間中怎樣度量兩條異面直線的位置關(guān)系呢？a ab b平面內(nèi)兩條相交直線空間中兩條異面直線abaO O 已知兩條異面直線已知兩條異面直線a a，b b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O O作作直線直線 ，把，把 與與 所成的銳角（或直角）所成的銳角（或直角）叫做叫做異面直線異面直線a a與與b b所成的角所成的角bb aa/,/ab異面直線所成的角 我們規(guī)定兩條平行直線的夾角為0，那么兩條異面直線所成的角的取值范圍是什么？2, 0 如果兩條異面直線所成角為如果兩條異面直線所成角為90900 0，那么這兩，那么這兩條直線垂直條直線垂直. .探究ab記直線記直線a a垂直于垂直于b b為：為

13、：a a b b異面直線所成的角異面直線所成的角探究 （1）在長方體）在長方體 中，有沒有兩條棱中，有沒有兩條棱所在的直線是相互垂直的異面直線？所在的直線是相互垂直的異面直線？DCBAABCD （2）如果兩條平行直線中的）如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線另一條直線是否也與這條直線垂直？垂直？（3）垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？）垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？如：如：,BBAD與BBDA與等等垂直垂直AABBCCDD,BBBCBBAB不一定，如上圖的長方體中不一定，如上圖的長方體中直線直線AB與與BC相交，相交，異

14、面直線所成的角異面直線所成的角 例例3 3 已知正方體已知正方體 DCBAABCDABA BCDCD（1 1）哪些棱所在直線與直線）哪些棱所在直線與直線 是異面直線？是異面直線？AB （2 2）直線）直線 和和 的夾角是多少？的夾角是多少？AB CC （3 3）哪些棱所在的直線與直線）哪些棱所在的直線與直線 垂直？垂直？AA 解解: :（1 1）由異面直線的定義可知，）由異面直線的定義可知，棱棱 所在所在的直線分別與直線的直線分別與直線 是異面直線是異面直線CB CDD DC C DCAD,AB （3 3）直線）直線AD DC CB BA DA CD BCAB,分別與直線分別與直線 垂直垂直A

15、A （2 2）由）由 可知，可知，CCBB/ABB為為異面直線異面直線 與與 的夾角，的夾角， ，所以所以 與與 的夾角為的夾角為 AB CC 45AB CC 45ABB 在如圖所示的長方體中，AB= ，且AA1=1，求直線BA1和CD所成角的度數(shù).3ABC1D1C1AD30O1B練習(xí)練習(xí)1 1本節(jié)小結(jié)（1）空間直線的三種位置關(guān)系（2）平行線的傳遞性（3）等角定理（4）異面直線所成的角基本知識(shí)基本方法 把空間中問題通過平移轉(zhuǎn)化為平面問題.2.1.3空間中直線與平面之間空間中直線與平面之間的位置關(guān)系的位置關(guān)系直線與平面思考？思考？ 1）一支鉛筆所在的直線與一個(gè)作業(yè)本所在的平面，可能有幾種關(guān)系？直

16、線與平面直線和平面的位置關(guān)系有且只有三種(1)直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)a記為：a直線與平面(2)直線與平面相交直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)a記為：a=AA直線與平面（3）直線與平面平行沒有公共點(diǎn)a記為：a/直線與平面直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外記為：aaa a/ aa=AA或或主要內(nèi)容主要內(nèi)容 直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi)直線在平面內(nèi) 直線與平面相交直線與平面相交 直線與平面平行直線與平面平行直線在平面直線在平面外外直線與平面 例1. 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 ( )1）若直線 l 上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則 l/2) 若直線

17、l 與平面平行，則 l 與平面內(nèi)的任意一條直線都平行3）如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行4）若直線 l與平面平行，則 l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).(A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3B主要內(nèi)容主要內(nèi)容 直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi)直線在平面內(nèi) 直線與平面相交直線與平面相交 直線與平面平行直線與平面平行直線在平面直線在平面外外平面與平面之間的位置關(guān)系2.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系思考思考 （1）拿出兩本書，看作兩個(gè)平面，上下、左右移動(dòng)和翻轉(zhuǎn)，它們之間的位置關(guān)系有幾種？兩個(gè)平面的位置關(guān)系兩個(gè)平面的位置關(guān)系兩個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有有且只有兩種兩種 兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面平行沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn) 兩個(gè)平面相交兩個(gè)平面相交有一條公共直線有一條公共直線兩個(gè)平面平行或相交的兩個(gè)