91常數(shù)項級數(shù)的概念和基本性質(zhì)ppt課件

1、無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研討函數(shù)的工具無窮級數(shù)是研討函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研討函數(shù)性質(zhì)研討函數(shù)性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)冪級數(shù)付氏級數(shù)付氏級數(shù)第九章 無窮級數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念與根本性質(zhì)一、級數(shù)的概念一、級數(shù)的概念二、級數(shù)的根本性質(zhì)二、級數(shù)的根本性質(zhì)三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件一尺之椎，日取其半，永世不竭一尺之椎，日取其半，永世不竭 . ,21,212,213,21n, , , , n21 32212121 一、級數(shù)的概念一、級數(shù)的概念1. 級數(shù)的定義級數(shù)的定義:稱為稱為(實實)常數(shù)項無窮級數(shù)常數(shù)項無窮級數(shù) . 簡稱簡稱(實數(shù)項實數(shù)項)級數(shù)級數(shù) .

2、 )(Rai ,1 nna記為記為. )()2(或或通通項項叫叫做做級級數(shù)數(shù)的的一一般般項項項項第第nan123naaaannnaaaaa 3211即即 123,na a aa(1)一般的，如果給定一個數(shù)列由這數(shù)列構(gòu)成的無窮和式(4) sn 稱為級數(shù)的部分和數(shù)列稱為級數(shù)的部分和數(shù)列 .稱為級數(shù)的前稱為級數(shù)的前 n 項部分和項部分和 . 121(3)nnniisaaaa問題：上述級數(shù)定義中的問題：上述級數(shù)定義中的“和式只是方式上的，和式只是方式上的，該如何了解無窮多個數(shù)量相加呢？該如何了解無窮多個數(shù)量相加呢？2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散:(1) 假設(shè)級數(shù)的部分和數(shù)列假設(shè)級數(shù)的部分和數(shù)列

3、 sn 有極限有極限 s , ,limssnn 即即(有限數(shù)有限數(shù)),1收斂收斂稱級數(shù)稱級數(shù) nna,為級數(shù)的和為級數(shù)的和并稱并稱 s.1 nnas記為記為(2) 假設(shè)部分和數(shù)列假設(shè)部分和數(shù)列sn沒有極限沒有極限 , .1發(fā)散發(fā)散稱級數(shù)稱級數(shù) nnanns lim常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂存在存在 (不存在不存在)(發(fā)散發(fā)散)1,nnas若級數(shù)(3) 余項余項nss .11的的余余項項級級數(shù)數(shù)為為級級數(shù)數(shù)稱稱 nniinaa)0lim( nnr 21nnaa nr顯然，級數(shù)收斂那么其每個余項收斂；顯然，級數(shù)收斂那么其每個余項收斂； 級數(shù)是以級數(shù)是以“和的方式出現(xiàn)的一個特殊數(shù)列和的方式出現(xiàn)的一

4、個特殊數(shù)列(部分部分和數(shù)列和數(shù)列)的極限，本質(zhì)上是一個極限的極限，本質(zhì)上是一個極限. ssn 討論級數(shù)討論級數(shù) 的斂散性的斂散性, 可以先求可以先求 sn , 再求再求 . 1nnanns lim例例 1 1 討討論論等等比比級級數(shù)數(shù)( (幾幾何何級級數(shù)數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的的收收斂斂性性. . 發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng),1|,1|0qqaqnn例例 1 1 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)( (幾何級數(shù)幾何級數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收斂性的收斂性. . 解解,1時時當(dāng)當(dāng) q,1時時當(dāng)當(dāng) q nasn 級數(shù)發(fā)散; ns ,0,為為偶偶數(shù)

5、數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)nna,lim不不存存在在nns 級數(shù)發(fā)散;,1|時時當(dāng)當(dāng) q12 nnaqaqaqas,1)1(qqan ,1時時當(dāng)當(dāng) q,1limqasnn ,1時時當(dāng)當(dāng) q,lim nns 級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散. 綜上 發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng),1|,1|0qqaqnn的收斂性的收斂性 . . )12()12(1531311nn例例2 2 判別無窮級數(shù)判別無窮級數(shù)解解)12)(12(1 nnan),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21

6、n,21 .21, 和和為為級級數(shù)數(shù)收收斂斂技巧技巧 可利用將通項可利用將通項 an an 拆項以求出拆項以求出 sn . sn . 解解311ln nan,ln)1ln(3nn 33311ln211ln2ln nsnln)1ln(32ln3ln32ln3nn 1311lnnn例例3 3 判別無窮級數(shù)判別無窮級數(shù) 的收斂性的收斂性 . . )1ln(3n nnslim.級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散技巧技巧 可利用對數(shù)運算性質(zhì)求出可利用對數(shù)運算性質(zhì)求出 sn . sn . 11nn例例4 4 證明調(diào)和級數(shù)證明調(diào)和級數(shù) 發(fā)散發(fā)散. . 課本課本 Page 230 例例3 證明證明 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和級

7、數(shù)收斂于 S , S , 那么有那么有0)(lim2 nnnSSnn2 nnnn21312111 但但 nnSS2矛盾矛盾! 所以假設(shè)不真所以假設(shè)不真 .21 11nn故調(diào)和級數(shù)故調(diào)和級數(shù) 發(fā)發(fā)散散. . 解解,223222132nnns 12nnn練習(xí)：練習(xí)： 判別無窮級數(shù)判別無窮級數(shù) 的收斂的收斂性性 . . ,221222121132 nnnnnsnnnsss2121 132221212121 nnn,22111 nnn,22121nnnns ),2212(limlim1nnnnnns ,2 .2, 和和為為級級數(shù)數(shù)收收斂斂02lim,02ln21lim2lim nnxxxxnxnns

8、lim技巧技巧 可利用等比數(shù)列求和公式求出可利用等比數(shù)列求和公式求出 sn . sn . 二、級數(shù)的根本性質(zhì)二、級數(shù)的根本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1 1 級數(shù)級數(shù) 1nna與任一余項級數(shù)與任一余項級數(shù) 1knna)1( k 有相同的斂散性有相同的斂散性. . 證明證明 nkkkaaa21nkkknaaa 21 ,kknss knknnnnss limlimlim 則則.kss 在級數(shù)前面加上或去掉有限項不影響級數(shù)的斂散性在級數(shù)前面加上或去掉有限項不影響級數(shù)的斂散性. 1knna性質(zhì)性質(zhì) 2 2 如果級數(shù)如果級數(shù) 1nna收斂收斂, ,其和為其和為 s, ,則對任意常數(shù)則對任意常數(shù) k, , 級數(shù)級數(shù) 1

9、nnka亦收斂且其和為亦收斂且其和為 ks. . 結(jié)論結(jié)論: : 級數(shù)的每一項同乘一個非零常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個非零常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性性質(zhì)質(zhì) 3 3 設(shè)設(shè)兩兩收收斂斂級級數(shù)數(shù)sann 1, , 1nnb, ,則則級級數(shù)數(shù) 1)(nnnba收收斂斂, ,其其和和為為 s. . 結(jié)論結(jié)論: : 收斂級數(shù)可以逐項相加或逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加或逐項相減. .思索思索:1 1. . 若若級級數(shù)數(shù) 1nna與與 1nnb一一個個收收斂斂一一個個發(fā)發(fā)散散, ,級級數(shù)數(shù) 1)(nnnba斂斂散散性性如如何何? ? 級數(shù)級數(shù) 1)(nnnba必發(fā)散必發(fā)散. . 2 2. . 若若級級

10、數(shù)數(shù) 1nna與與 1nnb均均發(fā)發(fā)散散, ,級級數(shù)數(shù) 1)(nnnba斂斂散散性性如如何何? ? .)(1可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù) nnnba留意留意收斂級數(shù)去括號后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括號后所成的級數(shù)不一定收斂.1( 1) ,(1 1)(1 1)nn例如加括號后的級數(shù)1( 1)1 1 1 1nn 但 收斂 發(fā)散推論推論 假設(shè)加括號后所成的級數(shù)發(fā)散假設(shè)加括號后所成的級數(shù)發(fā)散 , 那么原來那么原來級數(shù)也發(fā)散級數(shù)也發(fā)散.性質(zhì)性質(zhì)4 收斂級數(shù)恣意加括號后所成的級數(shù)依然收斂級數(shù)恣意加括號后所成的級數(shù)依然收斂于原來的和收斂于原來的和.例例1 判別以下級數(shù)的斂散性判別以下級

11、數(shù)的斂散性 . ,3221)1(1 nnn.41101)2(1 nnn注注 當(dāng)級數(shù)的通項為假設(shè)干項之和時當(dāng)級數(shù)的通項為假設(shè)干項之和時, , 可分別思索可分別思索以以 其中每一項為通項的級數(shù)的斂散性其中每一項為通項的級數(shù)的斂散性, , 再利用級再利用級數(shù)逐項相加數(shù)逐項相加( (減減) )的性質(zhì)的性質(zhì). . ( (收斂收斂) )( (發(fā)散發(fā)散) )例例2 判別以下級數(shù)的斂散性判別以下級數(shù)的斂散性 . 141141131131121121解解 思索加括號后的級數(shù)思索加括號后的級數(shù) )141141()131131()121121(1111 nnan12 nnna 2發(fā)散發(fā)散, , 從而原級數(shù)發(fā)散從而原

12、級數(shù)發(fā)散 . .nn121 三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件如果級數(shù)如果級數(shù) 1nna收斂收斂, ,則則 0lim nna. . 證明證明,1 nnas設(shè)設(shè),1 nnnssa則則1limlimlim nnnnnnssass . 0 例例 若若級級數(shù)數(shù) 1)100(nna收收斂斂, ,則則 _lim nna. . 100可見可見: 假設(shè)級數(shù)的普通項不趨于假設(shè)級數(shù)的普通項不趨于0 , 那么級數(shù)必發(fā)那么級數(shù)必發(fā)散散 . 1433221nn例如例如 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散.1 nnan, 1 n留意留意0lim nna并非級數(shù)收斂的充分條件并非級數(shù)收斂的充分條件. .,01limlim nann

13、n有有 nnn13121111例例如如調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)但此級數(shù)發(fā)散但此級數(shù)發(fā)散. .例例1 判別以下級數(shù)的斂散性判別以下級數(shù)的斂散性 . ;101)1(1 nn;)1()2(1 nnnnn;1)1()3(12 nnnn( (三個級數(shù)均發(fā)散三個級數(shù)均發(fā)散) )注注,lim來判斷收斂性較困難來判斷收斂性較困難若通過求若通過求nns .,0lim;,0lim.則該級數(shù)發(fā)散則該級數(shù)發(fā)散若若性性則用其他方法判斷收斂則用其他方法判斷收斂若若限限可先分析級數(shù)通項的極可先分析級數(shù)通項的極 nnnnaa(4) 判別級數(shù)判別級數(shù) 的斂散性的斂散性 . 2ln1nnn( (發(fā)散發(fā)散) )四、小結(jié)四、小結(jié)1. 當(dāng)當(dāng)0

14、lim nna,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; 常數(shù)項級數(shù)的根本概念常數(shù)項級數(shù)的根本概念級數(shù)的根本審斂法級數(shù)的根本審斂法2. 由由定定義義,若若ssnn lim,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂; 3. 按根本性質(zhì)按根本性質(zhì). 雜例：雜例： 11)(nnnaa判判別別例例1,limmann 已已知知的收斂性的收斂性 . . 11)11(nnnbb判判別別例例2,lim nnb已已知知的收斂性的收斂性 . . . )(11 nnnaa求求例例3,1sann 已知已知.1 nna求求例例4,5,2)1(11211 nnnnnaa已已知知練習(xí)練習(xí);!)1(1 nnnnne解解: (1) 令令.231)2(123 nnn

15、n,!nnnnneu 那那么么 nnuu1nne)1(1 ),2,1(1 n故故euuunn 11從而從而,0lim nnu這闡明級數(shù)這闡明級數(shù)(1) 發(fā)散發(fā)散.111)1 ()1 (nnnne11)1(! )1( nnnnennnne!判別以下級數(shù)的斂散性判別以下級數(shù)的斂散性, 假設(shè)收斂求其和假設(shè)收斂求其和:123231)2(nnnn因因nnn23123 )2)(1()2(21 nnnnn )2)(1(1)1(121nnnn),2,1( n nknkkkS123231 nkkkkk1)2)(1(1)1(121進展拆項相消進展拆項相消,41lim nnS這闡明原級數(shù)收斂這闡明原級數(shù)收斂 ,.4

16、1)2)(1(1 nnn其和為其和為 )2)(1(121121nn(2) 一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,則則 51nna= =_；2 2、 若若nnnna! , ,則則 51nna= =_；3 3、 若級數(shù)為若級數(shù)為 642422xxxx則則 na_；4 4、 若級數(shù)為若級數(shù)為 97535432aaaa則則 na_；5 5、 若級數(shù)為若級數(shù)為 615413211 則當(dāng)則當(dāng) n_時時 na_；當(dāng)；當(dāng) n_時時 na_；6 6、 等比級數(shù)等比級數(shù) 0nnaq, ,當(dāng)當(dāng)_時收斂；當(dāng)時收斂；當(dāng)_時發(fā)散時發(fā)散 . .練習(xí)題練習(xí)題三、由定義判別級數(shù)三、由定義判別級數(shù) )12)(12(1751531311nn的收斂性的收斂性. .四、判別下列級數(shù)的收斂性四、判別下列級數(shù)的收斂性: :1 1、 n31916131；2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn；3 3、 nn101212014110121 . .五、利用柯西收斂原理判別級數(shù)五、利用柯西收斂原理判別級