91常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和基本性質(zhì)ppt課件

1、無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是研討函數(shù)的工具無(wú)窮級(jí)數(shù)是研討函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研討函數(shù)性質(zhì)研討函數(shù)性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)第九章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與根本性質(zhì)一、級(jí)數(shù)的概念一、級(jí)數(shù)的概念二、級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)二、級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件一尺之椎，日取其半，永世不竭一尺之椎，日取其半，永世不竭 . ,21,212,213,21n, , , , n21 32212121 一、級(jí)數(shù)的概念一、級(jí)數(shù)的概念1. 級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)的定義:稱為稱為(實(shí)實(shí))常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù) . 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱(實(shí)數(shù)項(xiàng)實(shí)數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) .

2、 )(Rai ,1 nna記為記為. )()2(或或通通項(xiàng)項(xiàng)叫叫做做級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)項(xiàng)項(xiàng)第第nan123naaaannnaaaaa 3211即即 123,na a aa(1)一般的，如果給定一個(gè)數(shù)列由這數(shù)列構(gòu)成的無(wú)窮和式(4) sn 稱為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列稱為級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列 .稱為級(jí)數(shù)的前稱為級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)部分和項(xiàng)部分和 . 121(3)nnniisaaaa問(wèn)題：上述級(jí)數(shù)定義中的問(wèn)題：上述級(jí)數(shù)定義中的“和式只是方式上的，和式只是方式上的，該如何了解無(wú)窮多個(gè)數(shù)量相加呢？該如何了解無(wú)窮多個(gè)數(shù)量相加呢？2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:(1) 假設(shè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列假設(shè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列

3、 sn 有極限有極限 s , ,limssnn 即即(有限數(shù)有限數(shù)),1收斂收斂稱級(jí)數(shù)稱級(jí)數(shù) nna,為級(jí)數(shù)的和為級(jí)數(shù)的和并稱并稱 s.1 nnas記為記為(2) 假設(shè)部分和數(shù)列假設(shè)部分和數(shù)列sn沒(méi)有極限沒(méi)有極限 , .1發(fā)散發(fā)散稱級(jí)數(shù)稱級(jí)數(shù) nnanns lim常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂存在存在 (不存在不存在)(發(fā)散發(fā)散)1,nnas若級(jí)數(shù)(3) 余項(xiàng)余項(xiàng)nss .11的的余余項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)稱稱 nniinaa)0lim( nnr 21nnaa nr顯然，級(jí)數(shù)收斂那么其每個(gè)余項(xiàng)收斂；顯然，級(jí)數(shù)收斂那么其每個(gè)余項(xiàng)收斂； 級(jí)數(shù)是以級(jí)數(shù)是以“和的方式出現(xiàn)的一個(gè)特殊數(shù)列和的方式出現(xiàn)的一

4、個(gè)特殊數(shù)列(部分部分和數(shù)列和數(shù)列)的極限，本質(zhì)上是一個(gè)極限的極限，本質(zhì)上是一個(gè)極限. ssn 討論級(jí)數(shù)討論級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性, 可以先求可以先求 sn , 再求再求 . 1nnanns lim例例 1 1 討討論論等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)( (幾幾何何級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的的收收斂斂性性. . 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1|,1|0qqaqnn例例 1 1 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)( (幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收斂性的收斂性. . 解解,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 級(jí)數(shù)發(fā)散; ns ,0,為為偶偶數(shù)

5、數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)nna,lim不不存存在在nns 級(jí)數(shù)發(fā)散;,1|時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q12 nnaqaqaqas,1)1(qqan ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,1limqasnn ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,lim nns 級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散. 綜上 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1|,1|0qqaqnn的收斂性的收斂性 . . )12()12(1531311nn例例2 2 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)判別無(wú)窮級(jí)數(shù)解解)12)(12(1 nnan),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21

6、n,21 .21, 和和為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂技巧技巧 可利用將通項(xiàng)可利用將通項(xiàng) an an 拆項(xiàng)以求出拆項(xiàng)以求出 sn . sn . 解解311ln nan,ln)1ln(3nn 33311ln211ln2ln nsnln)1ln(32ln3ln32ln3nn 1311lnnn例例3 3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)判別無(wú)窮級(jí)數(shù) 的收斂性的收斂性 . . )1ln(3n nnslim.級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散技巧技巧 可利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求出可利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求出 sn . sn . 11nn例例4 4 證明調(diào)和級(jí)數(shù)證明調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散. . 課本課本 Page 230 例例3 證明證明 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和級(jí)

7、數(shù)收斂于 S , S , 那么有那么有0)(lim2 nnnSSnn2 nnnn21312111 但但 nnSS2矛盾矛盾! 所以假設(shè)不真所以假設(shè)不真 .21 11nn故調(diào)和級(jí)數(shù)故調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)發(fā)散散. . 解解,223222132nnns 12nnn練習(xí)：練習(xí)： 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)判別無(wú)窮級(jí)數(shù) 的收斂的收斂性性 . . ,221222121132 nnnnnsnnnsss2121 132221212121 nnn,22111 nnn,22121nnnns ),2212(limlim1nnnnnns ,2 .2, 和和為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂02lim,02ln21lim2lim nnxxxxnxnns

8、lim技巧技巧 可利用等比數(shù)列求和公式求出可利用等比數(shù)列求和公式求出 sn . sn . 二、級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)二、級(jí)數(shù)的根本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1 1 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1nna與任一余項(xiàng)級(jí)數(shù)與任一余項(xiàng)級(jí)數(shù) 1knna)1( k 有相同的斂散性有相同的斂散性. . 證明證明 nkkkaaa21nkkknaaa 21 ,kknss knknnnnss limlimlim 則則.kss 在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性. 1knna性質(zhì)性質(zhì) 2 2 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1nna收斂收斂, ,其和為其和為 s, ,則對(duì)任意常數(shù)則對(duì)任意常數(shù) k, , 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1

9、nnka亦收斂且其和為亦收斂且其和為 ks. . 結(jié)論結(jié)論: : 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)非零常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)非零常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性性質(zhì)質(zhì) 3 3 設(shè)設(shè)兩兩收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)sann 1, , 1nnb, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnnba收收斂斂, ,其其和和為為 s. . 結(jié)論結(jié)論: : 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減. .思索思索:1 1. . 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nna與與 1nnb一一個(gè)個(gè)收收斂斂一一個(gè)個(gè)發(fā)發(fā)散散, ,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnnba斂斂散散性性如如何何? ? 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1)(nnnba必發(fā)散必發(fā)散. . 2 2. . 若若級(jí)級(jí)

10、數(shù)數(shù) 1nna與與 1nnb均均發(fā)發(fā)散散, ,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnnba斂斂散散性性如如何何? ? .)(1可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnba留意留意收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.1( 1) ,(1 1)(1 1)nn例如加括號(hào)后的級(jí)數(shù)1( 1)1 1 1 1nn 但 收斂 發(fā)散推論推論 假設(shè)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散假設(shè)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散 , 那么原來(lái)那么原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散級(jí)數(shù)也發(fā)散.性質(zhì)性質(zhì)4 收斂級(jí)數(shù)恣意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)依然收斂級(jí)數(shù)恣意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)依然收斂于原來(lái)的和收斂于原來(lái)的和.例例1 判別以下級(jí)數(shù)的斂散性判別以下級(jí)

11、數(shù)的斂散性 . ,3221)1(1 nnn.41101)2(1 nnn注注 當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為假設(shè)干項(xiàng)之和時(shí)當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為假設(shè)干項(xiàng)之和時(shí), , 可分別思索可分別思索以以 其中每一項(xiàng)為通項(xiàng)的級(jí)數(shù)的斂散性其中每一項(xiàng)為通項(xiàng)的級(jí)數(shù)的斂散性, , 再利用級(jí)再利用級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加數(shù)逐項(xiàng)相加( (減減) )的性質(zhì)的性質(zhì). . ( (收斂收斂) )( (發(fā)散發(fā)散) )例例2 判別以下級(jí)數(shù)的斂散性判別以下級(jí)數(shù)的斂散性 . 141141131131121121解解 思索加括號(hào)后的級(jí)數(shù)思索加括號(hào)后的級(jí)數(shù) )141141()131131()121121(1111 nnan12 nnna 2發(fā)散發(fā)散, , 從而原級(jí)數(shù)發(fā)散從而原

12、級(jí)數(shù)發(fā)散 . .nn121 三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1nna收斂收斂, ,則則 0lim nna. . 證明證明,1 nnas設(shè)設(shè),1 nnnssa則則1limlimlim nnnnnnssass . 0 例例 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)100(nna收收斂斂, ,則則 _lim nna. . 100可見(jiàn)可見(jiàn): 假設(shè)級(jí)數(shù)的普通項(xiàng)不趨于假設(shè)級(jí)數(shù)的普通項(xiàng)不趨于0 , 那么級(jí)數(shù)必發(fā)那么級(jí)數(shù)必發(fā)散散 . 1433221nn例如例如 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散.1 nnan, 1 n留意留意0lim nna并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件. .,01limlim nann

13、n有有 nnn13121111例例如如調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)但此級(jí)數(shù)發(fā)散但此級(jí)數(shù)發(fā)散. .例例1 判別以下級(jí)數(shù)的斂散性判別以下級(jí)數(shù)的斂散性 . ;101)1(1 nn;)1()2(1 nnnnn;1)1()3(12 nnnn( (三個(gè)級(jí)數(shù)均發(fā)散三個(gè)級(jí)數(shù)均發(fā)散) )注注,lim來(lái)判斷收斂性較困難來(lái)判斷收斂性較困難若通過(guò)求若通過(guò)求nns .,0lim;,0lim.則該級(jí)數(shù)發(fā)散則該級(jí)數(shù)發(fā)散若若性性則用其他方法判斷收斂則用其他方法判斷收斂若若限限可先分析級(jí)數(shù)通項(xiàng)的極可先分析級(jí)數(shù)通項(xiàng)的極 nnnnaa(4) 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性 . 2ln1nnn( (發(fā)散發(fā)散) )四、小結(jié)四、小結(jié)1. 當(dāng)當(dāng)0

14、lim nna,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的根本概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的根本概念級(jí)數(shù)的根本審斂法級(jí)數(shù)的根本審斂法2. 由由定定義義,若若ssnn lim,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; 3. 按根本性質(zhì)按根本性質(zhì). 雜例：雜例： 11)(nnnaa判判別別例例1,limmann 已已知知的收斂性的收斂性 . . 11)11(nnnbb判判別別例例2,lim nnb已已知知的收斂性的收斂性 . . . )(11 nnnaa求求例例3,1sann 已知已知.1 nna求求例例4,5,2)1(11211 nnnnnaa已已知知練習(xí)練習(xí);!)1(1 nnnnne解解: (1) 令令.231)2(123 nnn

15、n,!nnnnneu 那那么么 nnuu1nne)1(1 ),2,1(1 n故故euuunn 11從而從而,0lim nnu這闡明級(jí)數(shù)這闡明級(jí)數(shù)(1) 發(fā)散發(fā)散.111)1 ()1 (nnnne11)1(! )1( nnnnennnne!判別以下級(jí)數(shù)的斂散性判別以下級(jí)數(shù)的斂散性, 假設(shè)收斂求其和假設(shè)收斂求其和:123231)2(nnnn因因nnn23123 )2)(1()2(21 nnnnn )2)(1(1)1(121nnnn),2,1( n nknkkkS123231 nkkkkk1)2)(1(1)1(121進(jìn)展拆項(xiàng)相消進(jìn)展拆項(xiàng)相消,41lim nnS這闡明原級(jí)數(shù)收斂這闡明原級(jí)數(shù)收斂 ,.4

16、1)2)(1(1 nnn其和為其和為 )2)(1(121121nn(2) 一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,則則 51nna= =_；2 2、 若若nnnna! , ,則則 51nna= =_；3 3、 若級(jí)數(shù)為若級(jí)數(shù)為 642422xxxx則則 na_；4 4、 若級(jí)數(shù)為若級(jí)數(shù)為 97535432aaaa則則 na_；5 5、 若級(jí)數(shù)為若級(jí)數(shù)為 615413211 則當(dāng)則當(dāng) n_時(shí)時(shí) na_；當(dāng)；當(dāng) n_時(shí)時(shí) na_；6 6、 等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù) 0nnaq, ,當(dāng)當(dāng)_時(shí)收斂；當(dāng)時(shí)收斂；當(dāng)_時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散 . .練習(xí)題練習(xí)題三、由定義判別級(jí)數(shù)三、由定義判別級(jí)數(shù) )12)(12(1751531311nn的收斂性的收斂性. .四、判別下列級(jí)數(shù)的收斂性四、判別下列級(jí)數(shù)的收斂性: :1 1、 n31916131；2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn；3 3、 nn101212014110121 . .五、利用柯西收斂原理判別級(jí)數(shù)五、利用柯西收斂原理判別級(jí)