第十四章壓桿穩(wěn)定

1、湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院第十四章壓桿穩(wěn)定湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院14.1. 概 述14.2 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力14.3 其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界壓力14.4 歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗(yàn)公式14.5 壓桿的穩(wěn)定校核壓桿的穩(wěn)定校核湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院14.1. 概概 述述湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院搖臂挺桿氣閥 內(nèi)燃機(jī)挺桿湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院工作臺活塞桿細(xì)長杠件受壓 磨床活塞桿湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院內(nèi)燃機(jī)連桿活塞連桿湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院細(xì)長桿受壓失穩(wěn) 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 對細(xì)長壓桿，當(dāng)壓力逐漸增加，但小于某一極限值時，桿件一直保持直線形狀的平衡。這表明壓桿

2、直線形狀的平衡是穩(wěn)定的。 當(dāng)壓力逐漸增加到某一極限時，壓桿的直線平衡變?yōu)椴环€(wěn)定，將轉(zhuǎn)變?yōu)榍€形狀的平衡。這時如再用微小的側(cè)向干擾力使其發(fā)生輕微彎曲，干擾力解除后，它將保持曲線形狀的平衡，不能恢復(fù)原有直線形狀。上述壓力的極限值稱為臨界壓力或臨界力，記為Pcr。壓桿喪失其直線形狀，稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)，也稱為屈曲(buck)。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院薄壁容器失穩(wěn) 梁或板條失穩(wěn) 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院14.2 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院兩端鉸支的細(xì)長壓桿 截面x處的內(nèi)力(此處壓力P取絕對值，而v與M的符號與梁的內(nèi)力符號一致)PvM(a)湘

3、潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 對微小的彎曲變形，撓曲線的近似微分方程為（6.5）式，即 EIMdxvd22由于兩端是球鉸，允許桿件在任意縱向平面內(nèi)發(fā)生彎曲變形，因而桿件的微小彎曲變形一定發(fā)生于抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)。所以，上式中的 I 應(yīng)是橫截面最小的慣性矩。代(a)入(b) EIPvdxvd22(b)(c)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院引用記號 EIPk 2于是(c)式可以寫成 0222vkdxvdkxBkxAvcossin以上微分方程的通解為 式中A、B為積分常數(shù)。(d)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院桿件的邊界條件是x=0 和x=l時，v=0當(dāng)x=0 ，v=0時0B則kxAvsin當(dāng)x=l ，v=0

4、時0sinklA()湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 由(*)知A0，否則v0，這與假定壓桿處于臨界狀態(tài)不符。故必有0sinkl由此求得), 2 , 1 , 0(nlnk湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院222lEInP回代到式(d)則有因?yàn)閚是0、1、2、等整數(shù)中的任一個整數(shù)，故上式表明，使桿件保持為曲線平衡的壓力，理論上是多值的。在這些壓力中，使桿件保持微小彎曲的最小壓力，才是臨界壓力Pcr。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 如取n=0，則Pcr=0，表示桿件上并無壓力，自然不是我們所需要的。 如取n=2，則lxAv2sin湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院lxAv3sin 如取n=3，則顯然對于n2，如果在曲線拐

5、點(diǎn)處沒有支座，其變形是不可能實(shí)現(xiàn)的。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院lxAvsin 如取n=1，則這是可能出現(xiàn)的。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院故臨界力大小為22lEIP這是兩端鉸支細(xì)長壓桿臨界力的計(jì)算公式，也稱為兩端鉸支壓桿的歐拉(Euler)公式。 (14.1)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院例1 柴油機(jī)的挺桿是鋼制空心圓管，外徑和內(nèi)徑分別為12mm和10mm，桿長383mm，鋼的E=210GPa。根據(jù)動力計(jì)算，挺桿上的最大壓力P=2290N。規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=35。試校核挺桿的穩(wěn)定性。 解：挺桿橫截面的慣性矩是 484444m100526. 001. 0012. 06464dDI湘潭大學(xué)土木工

6、程與力學(xué)學(xué)院由公式（14.1）算出挺桿的臨界力為N7400383. 0100526. 010210289222crlEIP 臨界壓力與實(shí)際最大壓力之比，為壓桿的工作安全系數(shù)，即23. 322907400crPPn規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)為nst=35，所以挺桿滿足穩(wěn)定要求。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 前面我們求取了壓桿的臨界力，但是表達(dá)式lxAvsin中的系數(shù)A并沒有得到。壓桿過渡為曲線平衡后，軸線彎成半個正弦波曲線。A為為桿件中點(diǎn)（即l/2處）的撓度。它的數(shù)值很小，但卻是未定的，若以橫坐標(biāo)表中點(diǎn)的撓度d，縱坐標(biāo)表壓力P。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院n 當(dāng)P小于Pcr時，桿件的直線平衡是穩(wěn)定的，d=0

7、， P與d 的關(guān)系是垂直的直線OA。n 當(dāng)P達(dá)到Pcr時，直線平衡變?yōu)椴环€(wěn)定，過渡為曲線平衡后， P與d 的關(guān)系為水平直線AB 。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院14.3 其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界壓力其他支座條件下細(xì)長壓桿的臨界壓力湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院千斤頂螺桿 千斤頂螺桿就是一根壓桿(如右圖)，其下端可簡化成固定端，面上端因可與頂起的重物共同作微小的位移，所以簡化成自由端。這樣就成為下端固定、上端自由的壓桿。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 把變形曲線延伸一倍，如圖中假想線所示?？梢娨欢斯潭?、另一端自由且長為l的壓桿的撓曲線，與兩端鉸支、長為2l的壓桿的撓曲線的上

8、半部分相同。所以，對于一端固定、另一端自由且長為l的壓桿，其臨界壓力等于兩端鉸支長為2l的壓桿的臨界壓力，即 22cr2lEIP一端固定、一端自由的壓桿(14.2)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院兩端固支壓桿 兩端固支壓桿 22cr2lEIP 把長為l/2的中間部分CD看作是兩端鉸支的壓桿，其臨界力為 (14.3)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院一端固支一端簡支壓桿 對這種情況，可近似地把大約長為0.7l 的CB部分看作是兩端鉸支壓桿。于是計(jì)算臨界壓力的公式可寫成 22cr)7 . 0(lEIP一端固支一端簡支壓桿 (14.4)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院公式(14.1)、(14.2)、(14.3)和(14

9、.4)可以統(tǒng)一寫成 22cr)( lEIP這是歐拉公式的普遍形式。式中l(wèi) 表示把壓桿折算成兩端鉸支桿的長度，稱為相當(dāng)長度，稱為長度系數(shù)。 (14.5)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院壓桿的約束條件 長度系數(shù) 兩端鉸支 = 1 一端固定，另一端自由 = 2 兩端固定 = 0.5 一端固定，另一端鉸支 = 0.7表表14.1 壓桿的長度系數(shù)壓桿的長度系數(shù)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院例例2 由壓桿撓曲線的微分方程，導(dǎo)出一端固定、另一端鉸支桿件的Euler公式。 PPxyv解：一端固定、另一端鉸支的壓桿失穩(wěn)后，計(jì)算簡圖如圖示。為使桿件平衡，上端鉸支座應(yīng)有橫向反力Q。于是撓曲線的微分方程應(yīng)為 xlEIQEIPv

10、EIxMdxvd22湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院引用記號 EIPk 2，上式可以寫成 xlEIQvkdxvd222以上微分方程方程的通解為xlPQkxBkxAvcossin湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院由此求出v的一階導(dǎo)數(shù)為PQkxBkkxAkdxdvsincos桿件的邊界條件是x=0時0, 0dxdvvx=l 時0v湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院考慮以上邊界條件，得 0cossin00klBklAPQAklPQB這是關(guān)于A、B和Q/P的齊次線性方程組。因?yàn)樗鼈儾荒芙缘扔诹?，即要求以上齊次線性方程組必須有非零的解，所以其系數(shù)行列式應(yīng)等于零。故有 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院00cossin1010klkl

11、kl展開得 klkl tan上列超越方程可用圖解法求解。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 以kl為橫坐標(biāo)，作直線y=kl和曲線y=tankl，其第一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 49. 4kl由此求得 2222cr7 . 016.20lEIlEIEIkP圖解超越方程 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院14.4 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 經(jīng)驗(yàn)公式經(jīng)驗(yàn)公式湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 前面已經(jīng)導(dǎo)出了計(jì)算臨界壓力的公式(14.5)，用壓桿的橫截面面積A除Pcr，得到與臨界壓力對應(yīng)的應(yīng)力為 AEIAP2crcrcr稱為臨界應(yīng)力。把橫截面的慣性矩 I 寫成 AiI2式中i為截面的慣性半徑。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院如

12、此，臨界應(yīng)力可以寫成22crilE湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院引用記號l是一個沒有量綱的量，稱為柔度或長細(xì)比。它集中反映了壓桿的長度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對臨界應(yīng)力cr的影響。由于引用了柔度l ，計(jì)算臨界應(yīng)力的公式可以寫成 ill(14.6)22crlE(14.7)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 公式(14.7)是歐拉公式(14.5)的另一種表達(dá)形式，兩者并無實(shí)質(zhì)性的差別。歐拉公式是由彎曲變形的微分方程導(dǎo)出的，而材料服從虎克定律又是上述微分方程的基礎(chǔ)，所以，只有臨界應(yīng)力小于比例極限P時，公式(14.5)或(14.7)才是正確的。EIMxv22dd湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院令cr小于P ，得

13、p22lE或p2lE于是歐拉公式的適用范圍為取p21lE(14.8)1ll(14.9)湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 公式（14.8）表明，l1與材料的性質(zhì)有關(guān)，材料不同，l1的數(shù)值也就不同。以鋼為例，E=206GPa，P=200GPa，于是10010200102066921l所以，用A3鋼制成的壓桿，只有當(dāng)l1 100時，材料可以使用歐拉公式。滿足條件ll1的壓桿，稱為大柔度壓桿。前面經(jīng)常提到的“細(xì)長”壓桿就是指大柔度壓桿。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院 若壓桿的柔度ll1，則臨界應(yīng)力大于材料的比例極限，這時歐拉公式已不能使用，屬于超過比例極限的壓桿穩(wěn)定問題。常見的壓桿，如內(nèi)燃機(jī)連桿、千斤頂螺桿等，

14、其柔度就往往小于l1。 對超過比例極限后的壓桿穩(wěn)定問題，也有理論分析的結(jié)果。但工程中對這類壓桿的計(jì)算，一般使用以試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式。在這里我們介紹兩種經(jīng)常使用的經(jīng)驗(yàn)公式：直線公式 和 拋物線公式。 湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院直線公式 lba cr(14.10)式中a與b是與材料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。例如對鋼制成的壓桿，a=304MPa，b=1.12MPa。在表14.2中列入了一些材料的a與b的數(shù)值。湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院表表14.2 直線公式的系數(shù)直線公式的系數(shù)材料(MPa)abA3b3723041.12s=235優(yōu)質(zhì)碳鋼b4714612.568s=306鉬鋼b5105783.744s=353