《第14-15課時《一元二次方程》小結(jié)與復(fù)習優(yōu)秀獲獎教案

1、 按照新課程標準要求，學科核心素養(yǎng)作為現(xiàn)代教育體系的核心理論，提高學生的興趣、學習的主動性，是當前教育教學研究所注重的重要環(huán)節(jié)之一。2021 年 4 月，教育部發(fā)布文件，對教育機構(gòu)改革進行了深入和細致的解讀。從中我們不難看出，作為一線教師，教育教學手段和理論知識水平是下一步需要進一步提高的重要能力。本課作為課本中比較重要的一環(huán)，對核心素養(yǎng)進行了貫徹，將課堂環(huán)節(jié)設(shè)計進行了細致剖析，力求達到學生樂學，教師樂教的理想狀態(tài)。第 14-15 課時 第一元二次方程目標3、能運用一元二次方程的根的判別式判定方程的根的情況；4、能簡單運用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決相關(guān)問題；5、構(gòu)造一元二次方程解決簡單的

2、實際問題；重點：運用知識、技能解決問題。難點：解題分析能力的提高教學重難點教法學法合作，探究，討論2教學過程ax 是二次項，a是二次項系數(shù)，bx是一次項，b是一次項系數(shù)，2c 是常數(shù)項。3、一元二次方程的解法：直接開方法、配方法、公式法、因式分解法4 、一元二次方程 ax+bx+c=0(a0)的根的判別式是 =2b-4ac，當>0 時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0 時，25、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：（韋達定理）當=b-4ac0 時，一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的求根22-b ± b2 - 4ac2a公式為x=；若一元二次方程ax+bx+c=0(a0)2bc-

3、121a12a2 px q若一元二次方程 + + =0 的兩根為x 、x ，則： =x xx121-p ， xx= q 。12 6、一元二次方程的應(yīng)用。二、基本知識訓(xùn)練1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是【 】1ax2 + bx + c = 0Bx2D x224、咸寧市 2009 年平均房價為每平方米 2000 元連續(xù)兩年增長后，2011 年平均房價達到每平方米 2420 元，設(shè)這兩年平均房價年平均增長率為 x，依題意可列方程為 2000（1+x） =2420，此2方程適宜用直接開平方法解。5、用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2x3=0，配方后2A（x1）=4 B（x+1）=4 C（x1）

4、=16 D（x+1）2226、若一元二次方程x122 - 2 = 2 +1x4x+2=0 xxx2【例 2】已知x是一元二次方程x+2x-80 的根，求代數(shù)式252-x【例 3】關(guān)于x的一元二次方程x3xm-10 的兩個實數(shù)212（1）求m的取值范圍；（2）若 2 (x+x)+ xx+10=0，求m的值.122121xp，x·xq請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：212（1）已知關(guān)于x的方程xmxn0 (n0)，求出一個一2元二次方程，使它的兩根別是已知方程兩根的倒數(shù)；ab（2）已知a、b滿足a15a50，b15b50，求22 a（3）已知 a、b、c 均為實數(shù)，且 abc0，abc16

5、，求正數(shù)c的最小值【例 5】菜農(nóng)李偉種植的某蔬菜計劃以每千克 5 元的單價對外批發(fā)銷售，由于部分菜農(nóng)盲目擴大種植，造成該蔬菜滯銷。李偉為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克 3.2 元的單價對外批發(fā)銷售。（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）小華準備到李偉處購買 5 噸該蔬菜，因數(shù)量多，李偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：方案一：打九折銷售；1、下列方程，是一元二次方程的是。3x+x=20， 2x-3xy+4=0， x，222 - 3 - 4 = 0x x=0， x22、方程(m-2)x +3m x+1=0 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則|m|m=。3、已知關(guān)于x的方程x-kx-

6、6=0 的一個根為 -2，則實數(shù)k2C2D-24、關(guān)于x的二次方程(a-1)x+x+a-1=0 的一個根是 0，則a22C、1 或-1的解是6、已知關(guān)于x 的一元二次方程的一個根是 1，寫出一個符合D、0.52 - 3 +1 = 0x5、方程x7、如果方程ax+2x+1=0 有兩個不等實數(shù)根，則實數(shù) a 的取28、已知、是一元二次方程x-4x-3=0 的兩實數(shù)根，則2代數(shù)式（-3）（-3）=2a的取值范圍是10、用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋簒-2x-3=0x(x-2)+x-2=02（x+1）(x-1)+2(x+3)=811、先化簡，再求值：x-3x-1=02 æöça

7、è12、已知關(guān)于x的一元二次方程(k-2)x+(2k+1)x+1=0 有兩2 2個不相等 的實數(shù)根，求k的取值范圍。x13、已知x、x是方程 2x+14x16=0 的兩實數(shù)根，求2212122x x1212值，并求出此時方程的兩根15、閱讀下面的材料，回答問題：解方程x5x+4=0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的42特點，它的解法通常是：設(shè)x=y，那么x=y，于是原方程可變?yōu)閥5y+4=0 ，解422得y=1，y=412當y=1時，x=1，x=±1；2當y=4時，x=4，x=±2；2原方程有四個根：x=1，x=1，x=2，x=2124法達到_ _ _的目的，體

8、現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想（2）解方程（x+x） 4（x+x）12=0222料，試設(shè)計一種砌法，使矩形花園的面積為 300m2一元二次方程的應(yīng)用學生練習作業(yè)教材第 56-58 頁：復(fù)習題教學反思教學反思 學生對展開圖通過各種途徑有了一些了解，但仍不能把平面與立體很好的結(jié)合；在遇到問題時，多數(shù)學生不愿意自己探索，都要尋求幫助。在今后的教學中，我會不斷的鉆研探索，使我的課堂真正成為學生學習的樂園。本節(jié)課的教學活動，主要是讓學生通過觀察、動手操作，熟悉長方體、正方體的展開圖以及圖形折疊后的形狀。教學時，我讓每個學生帶長方體或正方體的紙盒 ，每個學生都剪一剪，并展示所剪圖形的形狀。由于剪的方法不同，展開圖的形

9、狀也可能是不同的。學生在剪、拆盒子過程中，很容易把盒子拆散了，無法形成完整的展開圖，就要求適當進行指導(dǎo)。通過動手操作，動腦思考，集體交流，不僅提高了學生的空間思維能力，而且在情感上每位學生 都獲得了成功的體驗，建立自信心。一元二次方程根的判別式教學目標【知識與技能】能運用根的判別式，判別方程根的情況和進行有關(guān)的推理論證.【過程與方法】經(jīng)歷思考、探究過程，發(fā)展總結(jié)歸納能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.【情感態(tài)度】積極參與數(shù)學活動，對其產(chǎn)生好奇心和求知欲.【教學重點】能運用根的判別式，判別方程根的情況和進行有關(guān)的推理論證.【教學難點】從具體題目來推出一元二次方程 ax +bx+c=0（a0）

10、的 b -4ac 的情況與根的情況的關(guān)22系.教學過程一、情景導(dǎo)入，初步認知同學們，我們已經(jīng)學會了怎么解一元二次方程，對嗎？那么，現(xiàn)在老師這兒還有一手絕活，就是：我隨便拿到一個一元二次方程的題目，我不用具體地去解它，就能很快知道它的根的大致情況，不信呀！同學們可以隨便地出兩個題考考我.【教學說明】這樣設(shè)計，能馬上激發(fā)學生的學習興趣和求知欲，為后面發(fā)現(xiàn)結(jié)論創(chuàng)造一個最佳的心理狀態(tài). 二、思考探究，獲取新知1.問題：什么是求根公式？它有什么作用？b ± b 4ac2=2.觀察求根公式 x回答下列問題：2a（1）當 b -4ac>0 時，一元二次方程 ax +bx+c=0（a0）有幾個

11、根？22（2）當 b -4ac=0 時，一元二次方程 ax +bx+c=0（a0）有幾個根？22（3）當 b -4ac<0 時，一元二次方程 ax +bx+c=0（a0）有幾個根？223.綜上所知，一元二次方程 ax +bx+c=0（a0）的根的情況是由 b -4ac 來判斷的.22【歸納結(jié)論】我們把 b -4ac 叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示.2即：=b -4ac2當 =b -4ac>0 時，一元二次方程 ax +bx+c=0 （ a 0 ）有兩個不相等實數(shù)根即22b + b 4acb b 4ac22x =1=， x.2a2a2當=b -4ac=0 時，一元二

12、次方程 ax +bx+c=0（a0）有兩個相等實數(shù)根.22當=b -4ac<0 時，一元二次方程 ax +bx+c=0（a0）沒有實數(shù)根.224.不解方程判定下列方程的根的情況.(1)3x +4x-3=02(2)4x =12x-92(3)7y=5(y +1)2解：(1)因為=b -4ac=4 -4×3×（-3）22=52>0所以，原方程有兩個不相等的實數(shù)根.（2）將原方程化為一般形式，得4x -12x+9=02因為=b -4ac=(-12)2-4×4×92=0所以，原方程有兩個相等的實數(shù)根.（3）將原方程化為一般形式，得5y -7y+5=02

13、因為=b -4ac=(-7) -4×5×522 =-51<0所以，原方程沒有實數(shù)根.【教學說明】學生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學生從感性認識上升到理性認識，真正體驗自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的成功樂趣.三、運用新知，深化理解1.已知方程 x +px+q=0 有兩個相等的實根，則 p 與 q 的關(guān)系是2【答案】 p -4q=022.若方程 x +px+q=0 的兩個根是-2 和 3，則 p，q 的值分別為.2【答案】 -1，-63.判斷下列方程是否有解：（1）5x -2=6x（2）3x +2x+1=022解析：演算或口算出 b 4ac，從而判斷是否有根2解：（1）有（2）

14、沒有4.不解方程，判定方程根的情況.（1）16x +8x=-3（2）9x +6x+1=022（3）2x -9x+8=0（4）x -7x-18=022分析：不解方程，判定根的情況，只需用b -4ac 的值大于 0、小于 0、等于 0 的情況進2行分析即可解：（1）化為 16x +8x+3=02這里 a=16，b=8，c=3，b -4ac=64-4×16×3=-128<02所以，方程沒有實數(shù)根（2）a=9，b=6，c=1，b -4ac=36-36=0，2方程有兩個相等的實數(shù)根（3）a=2，b=-9，c=8b -4ac=（-9）2-4×2×8=81-64

15、=17>02方程有兩個不相等的實根（4）a=1，b=-7，c=-18b -4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>02方程有兩個不相等的實根 5.若關(guān)于 x 的一元二次方程（a-2）x -2ax+a+1=0 沒有實數(shù)解，求ax+3>0 的解集（用含2a 的式子表示）分析：要求 ax+3>0 的解集，就是求 ax>-3 的解集，那么就轉(zhuǎn)化為要判定 a 的值是正、負或 0因為一元二次方程（a-2）x -2ax+a+1=0 沒有實數(shù)根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）2<0 就可求出 a 的取值范圍解：關(guān)于 x 的一元二次方程（a

16、-2）x -2ax+a+1=0 沒有實數(shù)根2（-2a） -4（a-2）（a+1）=4a -4a +4a+8<0222a<-2ax+3>0 即 ax>-3,x<-3/a所求不等式的解集為 x<-3/a6.已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x +2x+m=02（1）當 m=3 時，判斷方程的根的情況；（2）當 m=-3 時，求方程的根分析：（1）判斷一元二次方程根的情況，只要看根的判別式=b 4ac 的值的符號即可2判斷：當0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0，方程沒有實數(shù)根.（2）把 m 的值代入方程，用因式分解法求解即可.解：（1）

17、當 m=3 時，=b -4ac=2 -4×3=-80，22原方程無實數(shù)根.（2）當 m=-3 時，原方程變?yōu)?x +2x-3=0，2（x-1）（x+3）=0，x-1=0，x+3=0.x1=1，x =-3.27.已知一元二次方程 x +px+q+1=0 的一根為 22(1)求 q 關(guān)于 p 的關(guān)系式；(2)求證：拋物線 y=x +px+q 與 x 軸有兩個交點2分析：（1）根據(jù)一元二次方程的解的定義，把 x=2 代入已知方程即可求得 q 關(guān)于 p 的關(guān)系式；（2）由關(guān)于 x 的方程 x +px+q=0 的根的判別式的符號來證明拋物線 y=x +px+q 與 x 軸有22兩個交點解：（1）一元二次方程 x +px+q+1=0 的一根為