第7章自由曲線與曲面_2

1、1 ,0,)1()(,tttCtBiniinni)!( !ininCin0.40.60.810.20.40.60.81BEZ (u)0.80.20.60.41BEZ (u)BEZ (u)uu10.80.60.40.2BEZ (u)0.80.20.40.40.20.60.60.811u0.20.40.20.40.60.810.80.6u10.2三次Bzier曲線的四個混合函數(shù))1()(,tBtBninni1 ,0,0)(,ttBni1 ,0,1)(0,ttBnini)()()1()(1,11,ttBtBttBninini)(11)(1)(1,1,1,tBnintBinitBninini11)(1

2、0,ntBnininitB0,)()()()(1,1,1,ttBtBntBninini1 ,0)()(0,ttBPtPniniiP0P1P2P300| )(PtPtntPtP1| )(P0P1P2P3)()()1(!)1(!)!1()1(!)1()1()!1()!1()1)()1()!(!1,1,1)1()1()1(111,tBtBnttininnttininnttintitininBniniiniiniiinininininiiinnnnnnnininiitBPPntBPPtBPPtBPPntBtBPntP11, 111, 111, 1121,0011,1, 10)()()()()()()(

3、)()()()()(|)(010PPntPt)(|)(11nntPPntP1 ,0)()()(11,11ttBPPntPniniiiP0P1P2P3)2)(1()1()2)(1()0()()2()1()(210122,2012 nnnniniiiiiPPPnnPPPPnnPtBPPPPnntP)1 ()1 ()!( !)(,tBttinintBnininininiPPini, 2 , 1 , 0*)()()(,0,0*tBPtBPtQniniinninii*iP)(*tQ令n-i=k,則i=n-k,且i=0時，k=n及i=n,k=0，所以 再將k換成i,則 又因為 所以 )()(,0*tBPt

4、Qnknnkk)()(,0*tBPtQninnii)1 ()(,tBtBninni)()1 (,tBtBninni)1()1()1()(0,0*tQtBPtBPtQniniininii2p3p0p1pP0P2P1MP(0.5)P(1)P(0)210200120122022102001022121)1()(1 ,0)( 2)2()1(2)1()(PPPtttPtPtPPtPPPPtPttPttPi說明二次曲線為拋物線，其矩陣形式為P0P1P2P3P(0)P(1)PMTPPPPttttBtBtBtBPPPPtBPtPBiii3210233 , 33 , 23 , 13 , 03210303 ,10

5、010033036313311)()()()(,)()(kninkPtPtkPPkikiiki,1 ,0,2 ,1)1(0,11193210321032103210238183838181838381000100330363133112141810001003303631331121212121PPPPPPPPPPPPPPPPPP接著我們還需證明，P(u)(0u1/2)即為點P0、P4、P7、P9控制生成的Bezier曲線，而P(u)(1/2u1)即為點P9、P8、P6、P3控制生成的Bezier曲線.設(shè)由P0、P4、P7、P9控制生成的Bezier曲線為：) 10(1001003303631

6、3311)(9740231tPPPPttttP將P0、P4、P7、P9代入)10(1001003303631331121241381232343234381838381181838381412141212110010033036313311)(32100102102210233210210100231tPPPPtttPPPPPPPPPPtttPPPPPPPPPPttttP在曲線P(u)(0u1/2)中，令u=t/2, 則得) 10)(210()(1001003303631331121418121)(1321023tutPPPPPttttPuP同理可證通過上述的分割，我們獲得折線P0P4P7P9

7、P8P6P3它比折線P0P1P2P3更接近曲線，且P9在曲線上，繼續(xù)對由P9分成的兩段曲線作分割，除獲得更接近曲線的折線外，另外還獲得曲線上的兩個點，分割次數(shù)越多，新的折線越逼近曲線。 ) 10)(121(10010033036313311)(3689232tuPPPPttttPuP當(dāng)達到某種精度時，我們可獲得的折線近似地表達Bezier曲線。例：試根據(jù)下列給定的條件，分割作圖畫出有關(guān)曲線的形狀示意圖。已知：圖(a)所示三次Bezier曲線的控制多邊形，共有4個控制點P0P1P2P3;t=1/2P1P0P3P2例：計算以（30,0），（60,10）,(80,30),(90,60),(90,90

8、)為控制頂點的4次Bezier曲線在t=1/2處的值，并畫出de casteljau三角形。由由Bezier曲線函數(shù)表達式曲線函數(shù)表達式 可得：可得：de casteljau三角形：mimiitBEZPtP0,)()(njnijsBEZQsQ0,)()(為了表達復(fù)雜的曲線，通常采用分段設(shè)計，然后將各段曲線相互連接起來，并在結(jié)合處保持一定的連續(xù)條件，下面討論兩段曲線達到不同階級和連續(xù)的條件。給定兩條曲線P(t)和Q(t)，相應(yīng)控制點為Pi(i=0,1,n)和Qj(j=0,1,n)，且令ai=Pi-Pi-1,bj=Qj-Qj-1,如圖，現(xiàn)在討論如何把兩條曲線光滑地連接起來。根據(jù)前節(jié)內(nèi)容可以知道：（

9、1）使它們達到G0連續(xù)的充要條件是Pn=Q0（2）使它們達到G1連續(xù)的充要條件是Pn-1,Pn=Q0,Q1三點共線，即b1= an( 0)(3)使它們達到G2連續(xù)的充要條件是在G1連續(xù)的條件下，滿足方程將 代入并整理，可以得到選擇和的值，可以利用該式確定曲線段Q(t)的特征多邊形頂點Q2，而頂點Q0、Q1已被G1連續(xù)條件所確定；要達到G2連續(xù)的話，只剩下頂點Q2可以自由選取。 )1()1()0(Q2PP )(Q-Q、PQ、)1(、和)1(、)0(Q101n0 nnPPPP221222122112QnnnPPnPn如果上式的兩邊都減去Pn，則等式右邊可以表示為（Pn-Pn-1）和（Pn-1-Pn

10、-2）的線性組合這表明Pn-2、Pn-1、Pn=Q0、Q1和Q2這5點共面。事實上，在接合點兩條曲線段的曲率相等，主法線方向一致，還可以斷定Pn-2和Q2位于Pn-1Q1直線的同一側(cè)。)()(12P-Q21212n2nnnnPPPPn0) 1 (QPm0) 1 (QPm)(0)2(011QQPPmm三點共線，且Q1,Pm-1在連接點的異側(cè)nnnnnnnnnniPQniCPniniCPniCPQPQ.)/(.)/()/1 ()/1 (.1110000例：已知Bezier曲線上的四個點分別是 (6,0)，(3,0)， (0,3)， (0,6)，它們對應(yīng)的參數(shù)分別是0,1/3,2/3,1，反求Bez

11、ier曲線的控制頂點。貝塞爾曲線的函數(shù)式為：1 ,0)()(0,ttBPtPniniiBezier曲線的升階與降階 Bzier曲線的升階 升階是指保持Bzier曲線的形狀與定向不變，增加定義它的控制頂點數(shù)，也即提高該Bzier曲線的次數(shù)。增加了控制頂點數(shù)，不僅增加了對曲線進行形狀控制的靈活性，還在構(gòu)造曲面方面有著重要的應(yīng)用。對于一些由曲線生成曲面的算法，要求那些曲線必須是同次的，應(yīng)用升階的方法可以把低于高次數(shù)的曲線提升到最高次數(shù)，使所有曲線具有相同的次數(shù)。 曲線升階后，原控制頂點會發(fā)生變化。下面來計算曲線提升一階后的新的控制點。 設(shè)給定原始控制頂點，定義了一條n次Bzier曲線 t 0,1增加

12、一個頂點后，仍定義同一條曲線的新控制頂點為，則有對上式左邊乘以，得到比較等式兩邊項的系數(shù)，得到化簡即得iniiniininiiniinttPCttPC1*1010)1 ()1 (iniiniininiiniiniinttPCttttPC1*101110)1 ()1 ()1 (111*iniiniiniCPCPCP) 1, 1 , 0( ;1111*niPniPniPiii011nPP其中此式說明：新的控制頂點，是以參數(shù)值按分段線性插值從原始特征多邊形得到的。（1）升階后的新特征多邊形在原始特征多邊形的凸包內(nèi)。（2）特征多邊形更靠近曲線三次Bzier曲線的升階實例如圖7-8所示。2）Bzier曲

13、線的降階降階是升階的逆過程。給定一條有原始控制頂點 定義的n次Bzier曲線，要求找到一條由新控制頂點 定義的n-1次Bzier曲線來逼近原始曲線。假定 是由 升階得到的，則由公式有：從這個方程可以導(dǎo)出兩個遞推公式：和其中第一個遞推公式在靠近 處趨向生成較好的逼近，而第二個遞推公式在靠近 處趨向生成較好的逼近。), 1 , 0(niPi) 1, 1 , 0(*niPiiP*iP*1*1iiiPniPnnP1, 1 , 0*1*niiniPnPPiii1 , 1,)(*nniiPinnPPiii0PnP例：構(gòu)造一條三次Bezier 曲線，讓它來逼近橢圓在第一象限中的部分，設(shè)定橢圓的長短軸分別為a

14、和b(ab0)。已知P0(0,b),P1(a,b),P2(a,0).解：因為構(gòu)造的是三次曲線，它由四個控制點對應(yīng)，設(shè)為Q0,Q1,Q2,Q3，對原控制點進行升階，根據(jù)升階公式：)1,.,1 ,0()11(11niPniPniQiii)0(3010010PPPPQbbbaaPPQ323132320313231101bbaaaPPQ3203132313231322122323033PPPQ所以可以得到：Q0(0,b),Q1(2a/3,b),Q2(a,2b/3),Q3(a,0)令Qi(i=0,1,2,3)為控制點，生成三次Bezier曲線：102032320000100330363133110001

15、0033036313311)()(222332102330,tbtbatatbbbaaatttQQQQttttBQtQinii例：給定四次Bezier曲線的控制頂點P0（0,0），P1(0,75)，P2(50,50)，P3(100,25)，P4(100,100)，計算降階一次后的控制頂點。解：由降階公式：1,.,1,)(*1nniiPinnPPiii4*44*34)44(4PPPP)0 ,100(3100100251004343)34(443*33*2PPPPP)100,0(201002505042242)24(4*22*22*1PPPPP)0 ,0(100037504341)14(4*11*

16、11*0PPPPP所以降階以后的控制點為P0（0,0），P1（0,100），P2（100,0），P3（100,100） B樣條曲線的數(shù)學(xué)表達式 首先給出n次B樣條函數(shù)的表達式為： 式中 函數(shù) 稱為截尾冪函數(shù)，即：nnjjnjjnxCnxMn)21() 1(!1)(101)!1( !)!1(1jnjnCjnnjnx)21(21, 021,)21()21(njxnjxjnxjnxnn下面討論n=1、2、3時，B樣條函數(shù)的表達式及圖像。當(dāng)n=1時該函數(shù)在各區(qū)間的表達式為：) 1(2) 1() 1()() 1()1() 1(! 11)( 1221202202xxxxCxCxCjxCxMjjj0)(,

17、11)(, 101)(, 010)(, 11111xMxxxMxxxMxxMxM1(x)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間(-1,1)被分為兩段，每段都是x的一次式，在此區(qū)間之外函數(shù)值均為0.-111xM1(x)0當(dāng)n=2時，該函數(shù)在各區(qū)間的表達式為：222230232)23()21(3)21(3)23(21)23() 1(! 21)(xxxxjxCxMjjj0)(,2389232)(,232143)(,212189232)(,21230)(,2322222222xMxxxxMxxxMxxxxMxxMxM2(x)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間(-3/2,3/2)被分為三段，每段都是x的二次式，在此區(qū)間之外

18、，函數(shù)值均為0.-3/2-1/21/23/20M2(x)3/4當(dāng)n=3時該函數(shù)在各區(qū)間的表達式為：3333340343)2() 1(4)(6) 1(4)2(61)2() 1(! 31)(xxxxxjxCxMjjj0)(,23426)(,21322)(,103223)(,013426)(,120)(,232332332332333xMxxxxxMxxxxMxxxxMxxxxxMxxMxM3(x)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間(-2, 2)被分為四段，每段都是x的三次式，在此區(qū)間之外，函數(shù)值均為0.-2-1120M3(x)2/3歸納起來，可知n次B樣條函數(shù)在區(qū)間(-(n+1)/2,(n+1)/2)中被

19、分為n+1段，每段都是x的n次式，在此區(qū)間之外函數(shù)值均為0.在參數(shù)表示中，通常將參數(shù)t的變化范圍取為(0-1)，為此作參數(shù)變換t=x-(L-(n+1)/2)，則第L段（L=0,1,2,，n）的表達式為或用L=n-k代替，則順序顛倒，得到以t為參數(shù)的均勻節(jié)點B樣條基函數(shù)為njnljjnljnxCnxM)21() 1(!1)(10,10, 1 , 0)() 1(!1)(10,tnljltCntMnjnljjnl10, 2 , 1 , 0)() 1(!1)(10,tnkjkntCntFnjnknjjnk通常給定m+n+1個頂點，Pi（i0,1,，m+n）以上式為基底定義的n次參數(shù)曲線為：10)()(

20、,0,ttFPtPnlnilini稱為n次均勻節(jié)點B樣條第i段曲線，而以i=0,1,m所構(gòu)造的m+1段曲線的全體就稱為n次均勻節(jié)點B樣條曲線依次以線段Pi+l(l=0,1,2,n)所組成的多邊形稱為樣條在第i段的B特征多邊形。10, 2 , 1 , 0)() 1(!1)(10,tnkjkntCntFnjnknjjnk由于n次B樣條函數(shù)是n-1階連續(xù)。因此整條B樣條曲線也是n-1階連續(xù)。在實際應(yīng)用中，使用最多的是三次B樣條曲線，其次是二次B樣條曲線，這里我們僅討論三次B樣條曲線) 133(61233 , 0tttF)463(61233 , 1ttF) 1333(61233 , 2tttF33 ,

21、 361tF代入函數(shù)式整理得：上式可以寫成矩陣形式)4()33()363()33(61)(21020221033210PPPtPPtPPPtPPPPtP3210230141030303631331161)(PPPPttttP三次B樣條曲線的性質(zhì)（1）當(dāng)t=0時當(dāng)t=1時，對t求一階導(dǎo)數(shù)對t求二階導(dǎo)數(shù)12021032)2(31)4(61)0(PPPPPPP23132132)2(31)4(61)1(PPPPPPP)P-(21)0(P02P)P-(21)1(P13P）P-P（)P-()0(P1012 P）P-P（)P-()1(P2123 P從上面三組式子可以看出，起點P(0)落在P0P1P2的中線P

22、1P1*上，離P1三分之一處，終點落在P1P2P3的中線P2P2*上離P2三分之一處，而兩點的切線矢量分別平行于P0P2和P1P3，且長度為其一半，兩點處的二階導(dǎo)數(shù)向量等于中線矢量的兩倍。P0P2P1P3P4P（0）P（1）P(0)P(1)P(0)P1*P2*P(1)如果在特征多邊形中增加一個頂點P4，則P1P2P3P4決定下一段三次B樣條曲線段，而新曲線段在起點的信息與前一段終點的信息完全相同，從而說明曲線是二階連續(xù)的。（2）直觀性B樣條曲線從形狀上更逼近特征多邊形，所以其形狀更為直觀。(3)曲線的次數(shù)不隨頂點數(shù)的增減而增減B樣條曲線的次數(shù)由特征多邊形的點數(shù)加1而定，但曲線次數(shù)的高低取決于對整條曲線的光滑要求，一旦次數(shù)確定，每增加一個頂點，只不過是增加一段曲線而已。（4）局部可控性改動曲線上某一點，僅影響曲線的局部形狀，通常是該點相鄰兩側(cè)的曲線形狀，不會改變曲線的整體形狀。（5）凸包性如果特征多邊形是凸的，曲線也一定是凸的。（6）對稱性將特征多邊形各頂點順序顛倒過來，曲線仍保