一輪復(fù)習(xí)配套講義：第2篇第5講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)最新考綱1 . 了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.1 一3的指數(shù)32 .理解有理數(shù)指數(shù)幕的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握幕的運(yùn)算.13 .理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會回底數(shù)為2,3,10,萬,函數(shù)的圖象.4 .體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.診斷基礎(chǔ)知識由淺入深有基固本知識梳理1 .根式(1)根式的概念根式的概念符號表示備注如果xn=a,那么x叫做a的n次力根n>1且 n C N當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù),負(fù) 數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個,它們互 為相反數(shù)ina負(fù)數(shù)沒有偶次方根(

2、2)兩個重要公式a, n為奇數(shù)，n為偶數(shù).n/On=<；a, a>0,|a|=La, a<0(n/a)n=a.2 .有理數(shù)指數(shù)幕(1)幕的有關(guān)概念零指數(shù)幕：a° = 1(aw0).負(fù)整數(shù)指數(shù)幕：ap = $(aw0, pCN*);m正分?jǐn)?shù)指數(shù)吊： an=y1(a>0, m, n N ,且n>1)；負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：a1n = man1* 口=(a>0, m, nCN ,且 n>1)；n ma0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕無意義.(2)有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)aras= ar s(a> 0, r, sC Q)；(ar)s= ars(a&g

3、t;0, r, sC Q)；(ab)r = arbr(a>0, b>0, rCQ).3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)xy二 aa>10<a< 1圖象O 1 K 4K一二產(chǎn)-定義域R值域(0, 十°0)性質(zhì)過定點(diǎn)(0,1)當(dāng) x>0 時，y> 1; x<0 時，0y1當(dāng) x>0 時，0<y< 1; x< 0 時，_y 1在(oo, +QQ )上是增函數(shù)在(OO, +OO )上是減函數(shù)辨析感悟1 .指數(shù)幕的應(yīng)用辨析(1)(4/2)4=-2.(X) (2)(教材探究改編)(nOn) = a.(x)2.對指數(shù)函數(shù)的理解(3)函數(shù)

4、y=3 2x是指數(shù)函數(shù).(X)(4)y=是R上的減函數(shù) (X)*卜(5)指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)的大小關(guān)系如圖，一章三一；無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小.(X)(6)(2013金華調(diào)研改編)已知函數(shù)f(x)=4+ax1(a>0且aw 1)的圖象包過定點(diǎn) P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,5). (V)感悟提升1. 場”與“。廠 的區(qū)別 當(dāng)n為奇數(shù)時，或當(dāng)n為偶數(shù)且a>0時，膽=2,當(dāng)n為偶數(shù)，且a<0時，n/an= a,而（n/a）n = a包成立.如中勺一2不成立，（2）中，（2）2 =年2中3 -2.2.兩點(diǎn)注意 一是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

5、是底數(shù) a的大小決定的，因此解題時通常對底數(shù)a按0<a<1和a >1進(jìn)行分類討論，如（4）；二是指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象與底數(shù)的大小關(guān)系，在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，在y軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大.如 （5）.學(xué)生用書第22頁以倒求法舉一反三突破高頻考點(diǎn)指數(shù)幕的運(yùn)算【例11計(jì)算:3卜8>9）0.5(0.008 )3Y0.02)2W 0.32)2 |£062 5°.25;1(2)若 x2 +1x 2=3,的值.解 （1）原式=149 221000 %127113嚕,潟)4 714/2" 1”25*運(yùn) 10

6、J17-? +2=911. x2+x 2+2=49,3322 x2 + x 2 = 47. x2 +x 2 =131遂2 十x23x2+x(2)由 x2 + x 2=3，得 x+ x +2 = 9,x+ x= 27 9=18, .原式=旌=2.47+3 5規(guī)律方法 進(jìn)行指數(shù)幕運(yùn)算時，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時兼顧運(yùn)算的順序.需注意下列問題：對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式表示；（2）應(yīng)用平方差、完全平方公式及 apa p= 1(aw 0)簡化運(yùn)算.2 1X X / 1 J_【訓(xùn)練1】化簡：(戶戶) ( -3產(chǎn)行)+(*百叼=(A. 6aB,

7、 -a C. -9aD. 9d解析, a- 6 ) , ( - 3a 2 b 3 -r | a6 6 6 I = ( - 3cz6 6三 ( -a 6 ) = -9a,故選 C.答案C考點(diǎn)二 指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用【例2】(1)(2014關(guān)陰忖K擬)已知函數(shù)f(x)=2x 2,則函數(shù)y=|f(x)|的圖象可能是().下列各式比較大小正確的是().A. 1.72.5>1.73 B. 0.6 1>0.62C. 0.8 0.1>1.250.2 D. 1.70.3<0.93.1向下平移把x軸下方解析(1)y=2x> y=2x 2 > y=|f(x).2個單位的部分翻

8、折上去(2)A中，二函數(shù)y=1.7x是增函數(shù),2.5<3,1.72.5<1.73.B 中，= y= 0.6x是減函數(shù)，一1<2,0.6 1>0.62.C 中，(0.8)1=1.25,.問題轉(zhuǎn)化為比較1.250.1與1.250.2的大小. y= 1.25x 是增函數(shù),0.1<0.2, . 1.2尸<1.250.2,即 0.8 0.1<1.250.2D 中,1.70.3>1,0.93.1<1,1.70.3>0.93.1.答案(1)B (2)B規(guī)律方法(1)對指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等)的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)

9、的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象，然后數(shù)形結(jié)合使問題得解.一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.【訓(xùn)練2】已知實(shí)數(shù)a, b滿足等式2 011a = 2 012b,下列五個關(guān)系式：0<b<a；a<b<0;0<a<b；b<a<0； a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有().A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個解析 設(shè)2 011a=2 012b=t,如圖所示，由函數(shù)圖象，可得(1)若 t>1,則有 a>b>0; '(2)若 t=1,則有 a=b = 0； (3)若 0Vt<1,

10、則有 a< b<0.故可能成立，而不可能成立.答案B考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)=211+ 2*3.(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)求證:f(x)>0.x113審題路線由2x1*0可求f(x)的定義域？分別求g(x) = 2%+ 1與h(x) = x3的奇偶性？可利用g( x) =g(x)=0判斷g(x)的奇偶性？利用"奇 ><奇=偶，奇乂偶=奇”判斷f(x)的奇偶性？先證x>0時，f(x) >0?再證 x< 0 時，f(x)>0.解(1)由2x1*0可解得xw0, 定義域?yàn)?/p>

11、x|xw0.,11.3(2)令 g(x) = 2x31 + 2，h(x) = x.x111121則 h(x)為司函數(shù)，g( x)+g(x) = 2 x1 +2 + 2xZ7 + 2=二7+齊7 +1=0.；g(x)為奇函數(shù),故f(x)為偶函數(shù).v11 Q(3)證明 當(dāng) x>0 時，2x1>°，.71+2X3>0,即f(x)>0.又:”)是偶函數(shù),當(dāng) x<0 時，f(x) = f( x)>0, f(x)在(一oo, 0)U(0, +oo)上恒大于零.f(x)>0.規(guī)律方法(1)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較同底數(shù)幕值的大小.(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的

12、指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性的求解方法，與前面所講一般 函數(shù)的求解方法一致，只需根據(jù)條件靈活選擇即可 .學(xué)生用書第23頁+2x+b .【訓(xùn)練3】 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=2x+： + a是奇函數(shù).(1)求a, b的值;b= 1,所以-2x+1f(x)=*ra解關(guān)于t的不等式f(t22t) + f(2t21)<0.心一，I 、，I,一一1- 1 + b4,一解(1)因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0) = 0,即不一=0,解得2+ a-1+1一，八一2+121又由 f(1)= -f(1)知771 =一.解得 a=2.4 十 a 1 t a-2x+111(

13、2)由(1)知 f(x)=2x+1 + 2 = 2+ 2xT1.由上式易知f(x)在(一8, +oo )上為減函數(shù)(此外可用定義或?qū)?shù)法證明函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)).又因?yàn)?f(x)是奇函數(shù)，所以不等式 f(t22t) + f(2t21)<0 等價于 f(t22t)< f(2t21) = f( 2t2+1) .因?yàn)?f(x)是減函數(shù)，由上式推得t2 2t> 2t2+1,即3t22t1>0,解不等式可得jt t>1或t<1 ：.I課堂小結(jié)I1 .判斷指數(shù)函數(shù)圖象的底數(shù)大小的問題，可以先通過令x=1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較.2 .對和復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題，要弄清

14、復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成.3 .畫指數(shù)函數(shù)v= ax(a>0,且a*1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(diǎn)：(1, a), (0,1), 1,4 .熟記指數(shù)函數(shù)v= 10x, v= 2x, y=10), v=在同一坐標(biāo)系中圖象的相對位置，由此掌握指數(shù)函 數(shù)圖象的位置與底數(shù)大小的關(guān)系.培養(yǎng)解題能力教你解題提升能力易錯辨析2忽略討論及驗(yàn)證致誤【典例】(2012山東卷)若函數(shù)f(x)=ax(a>0, aw 1)在1,2上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)g(x) = (14m)W在0, +00)上是增函數(shù)，則a =.解析若a>1,有a2 = 4, a 1 = m,止匕時a = 2,

15、m=2，止匕時g(x)= JX為減函數(shù)，不合題意.若0<a,1211<1,有a =4, a =m,故a=4，m=而，檢驗(yàn)知符合題息.1答案4易錯警示(1)誤以為a> 1,未進(jìn)行分類討論從而求得錯誤答案.對條件“g(x)在0, +8)上是增函數(shù)”不會使用，求得結(jié)果后未進(jìn)行檢驗(yàn)得到兩個答案.防范錯施(1)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不確定時，單調(diào)性不明確，從而無法確定其最值，故應(yīng)分a>1和0Va<1 兩種情況討論.(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的常用方法之一，熟練掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù) 的單調(diào)性是求解的基礎(chǔ).【自主體驗(yàn)】當(dāng)xC2,2時，ax<2(a>

16、;0,且a*1),則實(shí)數(shù)a的范圍是().A. (1,也)B.限 1)C.懼 1 IU (1,峋 D, (0,1)U(1,柩解析 xC 2,2時，ax<2(a>0,且 aw1),若a>1, y= ax是一個增函數(shù)，則有a2<2,可得a<V2,故有1<a<J2；若0<a<1, y=ax是一個減函數(shù)，則有a 2<2,可得a>米,故有烏<a<1.綜上知a倍,1 ju (1,正).答案C階插訓(xùn)練煉出高分對應(yīng)學(xué)生用書P235課時題組訓(xùn)練基礎(chǔ)鞏固題組（建議用時：40分鐘）、選擇題1 .函數(shù)y= ax-（a>0, a* 1）的

17、圖象可能是（）.a解析 當(dāng)a>1時單調(diào)遞增，且在y軸上的截距為時，故A, B不正確;當(dāng)0<a<1時單調(diào)遞減，且在y軸上的截距為11<0,故C不正確；D正確. a答案D2 . （2014陜西質(zhì)檢三）函數(shù)y= 2x 2一、是（）.A.奇函數(shù)，在區(qū)間（0, +8）上單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，在區(qū)間（0, +8）上單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，在區(qū)間一,0）上單調(diào)遞增D .偶函數(shù)，在區(qū)間（ 8, 0）上單調(diào)遞減解析 令f（x） = 2x2： 則f（ x）=2x 2x= f（x）,所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除 C, D.又函數(shù)y= 2x, y =2一x都是R上的增函數(shù)，由增函數(shù)加增函數(shù)還是增函數(shù)的結(jié)論

18、可知f（x） = 2x 2一x是R上的增函數(shù).答案A3 . （2014 濟(jì)南一模）若 a=30.6, b=log30.2, c=0.63,則（）.A . a>c>b B. a>b>cC. c>b>a D. b>c>a解析 30.6>1, log30.2<0,0< 0.63<1,所以 a>c> b,選 A.答案A4 .設(shè) 2a=5b=m,且 1+1= 2,則 m 等于（）.a bA.Vw B. 10 C. 20 D. 100解析 . 2a = 5b=m, .a=log2m, b=log5m,.+ =+；= log

19、m2+ logm5= logm10=2.a b log2m log5mg gm= 10.ab的取值范圍為().答案A5,函數(shù)v= ax-b(a>0且a* 1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則A. (1, +°°) B. (0, +00)C. (0,1) D.無法確定解析函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，所以函數(shù)單調(diào)遞減且圖象與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上.而當(dāng)x= 0 時,y= a°b 1 b,由題意得0< a< 1, 解得，J-b< 0,'0< a< 1b> 1,所以abe (0,1).答案C 二、填空題3 a6. (a>0)的

20、值是g 5/a4解析3ag 5/a417a行1a2a3，一一25 4 a 517a而.7. (2013鹽城模擬)已知函數(shù)f(x) =a x(a>0,且aw1),且f( 2)>f(3),則a的取值范圍是解析因?yàn)閒(x)=a x=X,且f(2)>f( 3),所以函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增，所以->1, aa解得0Va< 1.答案(0,1)8.函數(shù) f(x)=ax(a>0,aw 1)在1,2中的最大值比最小值大|,則a的值為解析當(dāng)0<a<1時,2 a1 ,、人，a-a =2, .2 = 2或2= 0(舍去).當(dāng) a>1 時，a2 a = 2,

21、3 a= 2或 a= 0(舍去).1 3綜上所述,a = 2或；.答案2或2解答題x e a9.設(shè)f(x)=T+x是是定義在R上的函數(shù). a e(1)f(x)可能是奇函數(shù)嗎?若f(x)是偶函數(shù)，求a的值.解(1)假設(shè)f(x)是奇函數(shù)，由于定義域?yàn)?R,xe x，f(x)=f(x),即: + |x=一3+7i,整理得 ja+1 (ex+e x) = 0,即a+1=0,即a2+1 = 0,顯然無解. a.f(x)不可能是奇函數(shù).因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(x) = f(x),即e+ a- +A,整理得(a_(ex_e x) = 0,a e a e1a.p''又二對任意x R都成立

22、，有a1=0,彳4a=Ma10.設(shè)a>0且awl,函數(shù)y=a2x+2ax1在1,1上的最大值是14,求a的化解 令 t=ax(a>0且 aw 1),則原函數(shù)化為y= (t+1)22(t>0).當(dāng) 0<a< 1 時，x -1,1, t=axC la, J,此時f(t)在a, a 上為增函數(shù).所以 f(t)max=f(尸(+ 1 j- 2= 14.所以。+ 1 2= 16,所以 a= 1 或 a=1.a53又因?yàn)閍>0,所以a= 1.3當(dāng) a>1 時，x -1,1, t = axC g a1,此時f(t)在、，21是增函數(shù).所以 f(t)max=f(a)

23、= (a+1)22=14,解彳# a= 3(a= - 5舍去).綜上得a=:或3.3能力提升題組(建議用時：25分鐘)、選擇題1. (2014惠州質(zhì)檢)設(shè)f(x)=|3x1|, c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),則下列關(guān)系式中一定成立的是().A. 3c>3b B. 3b>3aC. 3c+3a>2 D. 3c+3a<2解析 作f(x)=|3x1的圖象如圖所示，由圖可知，要使c< b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，則有c<0且a>0, .3c< 1<3a, ."(© = 13c, f(a)=3a1,廣又 f(c)>f(a), . 1 3c>3a1,-7即3a+3c<2,故選D.1平)答案D(1-3ax+10a, x<7,2. (2014杭州質(zhì)檢