（精心整理）初三-幾何問(wèn)題之中點(diǎn)題型

1、學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)：初三 課 時(shí) 數(shù)： 3學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師： 授課類型T-同步講解C-專題T-能力提升星 級(jí)教學(xué)目標(biāo)1. 掌握三角形的內(nèi)角和定理；2. 了解三角形三邊的關(guān)系，并且能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；3. 學(xué)習(xí)用三角形邊、角的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明；4. 學(xué)習(xí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容 幾何問(wèn)題之中點(diǎn)題型5. 掌握三角形的內(nèi)角和定理；6. 了解三角形三邊的關(guān)系，并且能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用；7. 學(xué)習(xí)用三角形邊、角的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明；8. 學(xué)習(xí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。一.中點(diǎn)有關(guān)聯(lián)想歸類：1.等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)；2.直角三

2、角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”；3.三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”；4、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形）；5.有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線；6.有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）；7.倍長(zhǎng)中線。二.與中點(diǎn)問(wèn)題有關(guān)的四大輔助線：1.出現(xiàn)三角形的中線時(shí)，可以延長(zhǎng)（簡(jiǎn)稱“倍長(zhǎng)中線”）；2.出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，作斜邊中線；3.出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn)，作中位線；4.出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，構(gòu)造“三線合一” 。三.幾何證明之輔助線構(gòu)造技巧： 1.假如作一條輔助線，能起到什

3、么作用； 2.常作那些輔助線能與已知條件聯(lián)系更緊密，且不破壞已知條件。一、基礎(chǔ)回顧1.線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)。2.若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則： 從線段來(lái)看：； 從點(diǎn)與點(diǎn)的相對(duì)位置來(lái)看：點(diǎn)在點(diǎn)之間，且點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。3.三角形的中線：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中線。 一個(gè)三角形有三條中線； 每條中線平分三角形的面積； 三角形的三條中線交于一點(diǎn)，每條中線被該點(diǎn)（重心）分成的兩段； 三角形的三條中線把三角形分成六個(gè)面積相等的小三角形。2、 如何延長(zhǎng)三角形的中線 1.延長(zhǎng)1倍的中線：如圖，線段是的中線，延長(zhǎng)線段至，使（即延長(zhǎng)1倍的中線）

4、，再連接?？偟膩?lái)說(shuō)，就可以得到一個(gè)平行四邊形和兩對(duì)（中心選轉(zhuǎn)型）全等三角形、，且每對(duì)全等三角形都關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；詳細(xì)地說(shuō)，就是可以轉(zhuǎn)移角：，；可以移邊：，；可以構(gòu)造平行線：，；可以構(gòu)造邊長(zhǎng)與、有關(guān)的三角形：、。（1） 延長(zhǎng)倍的中線：（且）如左（右）下圖，點(diǎn)為中線（延長(zhǎng)線）上的點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接、.在平行四邊形中就可以得到類似（1）中的結(jié)論。注意：通常在已知條件或結(jié)論中測(cè)及到與、有關(guān)的邊與角時(shí)，會(huì)用這種輔助線. 整體做題思路：例題1.如圖，中，是中線.求證：?！咀C明】：延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，聯(lián)結(jié) 是中線 在和中: ； ， 又 點(diǎn)評(píng)：1.比較角度大小，常用兩個(gè)方法：一是利用三角形的角度關(guān)系，將其中一個(gè)角

5、表示為另外一個(gè)角加上第三個(gè)角；二是利同一三角形中大邊對(duì)大角進(jìn)行比較大??； 2.倍長(zhǎng)中線是常用構(gòu)造輔助線方法，并再結(jié)合同一三角形中大邊對(duì)大例題2.如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交 于.求證：。【證明】：延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，聯(lián)結(jié) 是中線 在和中: ； ， 又 例題3.已知中，求邊上的中線的范圍。 【解答】：延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，聯(lián)結(jié) 是中線 在和中: ； 在中，由兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，可得： 點(diǎn)評(píng)：求線段的范圍，一般利用三角形中“兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”。1.如圖1，在中，點(diǎn)為中點(diǎn)，于點(diǎn)，則等于（ ）A B C D2. 如圖，中，為斜邊的中點(diǎn)，、分別為、上的點(diǎn)

6、，且，若，試求的長(zhǎng)。【分析】：如下圖，可以把看作的一條中線。延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、。則；所以，。因?yàn)椋砸驗(yàn)榇怪逼椒?，所以在中，由勾股定理得，所以。AGB DFE1 C2 3. 如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，為的平分線，過(guò)作的平行線，交于，交的延長(zhǎng)線于。求證：【分析】：如下圖，可以把看作的一條中線；延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接。則，所以，。因?yàn)?，所以，；又因?yàn)椋?，所以由此得。所以A2 3GB E D CF1H4. 如圖所示，已知為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求證：。提示】：證法一：如圖1，延長(zhǎng)到,使，連結(jié) 易證。 , , (證法二：如圖2，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、；利用中位線來(lái)證明。) （其余方法略）圖1圖2 1

7、、 出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，作斜邊中線1.如圖，在中，直角所對(duì)的邊稱為的斜邊，由，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，且。，.， 又，2.發(fā)現(xiàn)線段為斜邊上的中線，且等于斜邊的一半。3.作斜邊中線，可以構(gòu)造出等腰三角形，從而得到相等的邊、相等的角。 4. 通常在知道直角三角形斜邊的中點(diǎn)的情況下，想到作斜邊中線這條輔助線。2、 出現(xiàn)三角形邊上的中點(diǎn)，作中位線1.中位線：連接三角形兩邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中位線；也可以過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線；以上是中位線的兩種作法，第一種可以直接用中位線的性質(zhì)，第二種需要說(shuō)明理由為什么是中位線，再用中位線的性質(zhì). 2.中位線的性質(zhì)

8、：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；3.中位線輔助線能起到的作用： 在線段大小關(guān)系上，三角形的中位線是三角形第三邊的一半，起著傳遞線段長(zhǎng)度的功能. 在位置上，三角形的中位線平行三角形的第三邊，起著角的位置轉(zhuǎn)移和計(jì)算角的的功能.4.通常在以下兩種情況下，會(huì)作中位線輔助線： 有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）的中點(diǎn)時(shí)； 有一邊中點(diǎn)，并且已知或求證中涉及到線段的倍分關(guān)系時(shí)。熟悉以下兩個(gè)圖形：例題4.如圖，在四邊形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交的延長(zhǎng)線、。求證：?！咀C明】： 證法一：如圖1：連結(jié)，并取的中點(diǎn)為，連結(jié)、，則是的中位線， ， 由是的中位線， ， ， ， ， ，從而。（證法

9、二：如圖2，延長(zhǎng)到,使，連結(jié)（略）。 或者延長(zhǎng)到,使，連結(jié)也行。（其余方法略）圖2圖1例題5已知：如圖，中，在上取點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若是中點(diǎn)，求證：?！痉治觥浚阂C的，不在同一個(gè)三角形中，而它們所在的三角形又不是同類三角形，無(wú)法證明它們?nèi)龋捎谑堑闹悬c(diǎn)，想到利用中點(diǎn)構(gòu)造中心對(duì)稱圖形或中位線來(lái)移動(dòng)或的位置，把它們集中到同一個(gè)三角形中或把不同類三角形轉(zhuǎn)化為同類三角形，使問(wèn)題得以解決。【證明】：方法一：如圖2，過(guò)作交于，易證,再證。方法二：如圖3，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于。易證,再證： 。方法三：如圖4,在上取點(diǎn),使,連結(jié)。則為的中位線。 再證：。圖2圖3圖4方法四: 如圖5，在的延長(zhǎng)線上取

10、點(diǎn)，使，連結(jié)。則為的 中位線. 再證。方法五: 如圖6, 連結(jié),取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn) ,連結(jié)、。則、 分別為中位線。再證，得。方法六: 如圖7, 連結(jié),取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、。則、 分別為中位線。 再證,得。圖5圖6圖7例題6.已知如圖，中，是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)。求證：。 【證明】：如圖1，過(guò)點(diǎn)做，交于 是邊的中點(diǎn)， 。 同理， 即 例題7例7. 如圖1-1，已知中，在中，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)和，（1）若點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上且與點(diǎn)不重合，如圖1-1，求證：且；（2）將圖1-1中的繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)小于的角，如圖1-2，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，

11、請(qǐng)給予證明。圖1-2圖1-1【分析】：圖1-1中由于點(diǎn)為直角三角形斜邊的中點(diǎn)，顯然要利用斜邊中線的性質(zhì)求解.圖1-2中盡管繞點(diǎn)進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)，但為的中點(diǎn)的條件依然未變，于是仍然可以利用中點(diǎn)還原出中心對(duì)稱基本圖形，使問(wèn)題得解；另一方面，由于旋轉(zhuǎn)之后直角仍然存在，于是仍可以利用斜邊中線及中位線來(lái)解決。 圖2圖3【證明】:（1）如圖2，在和中，為公共斜邊的中點(diǎn), ， 且 （2）成立。方法一：如圖3：延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，延長(zhǎng)交于 易證： , ， 為等腰直角三角形且方法二:如圖4，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，,為中位線,為斜邊中線 。同理，四邊形為平行四邊形.， , 且圖4 5.如圖，中，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，若，求證：【提示】：證法一：如圖1，取的中點(diǎn), 連結(jié)，所以，為中位線，得, 由得,在中，得,于是。（證法二：如圖2，取的中點(diǎn), 連結(jié)，類似法一可證。（其余方法略）圖1圖26.如圖，已知正方形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)。求證：【提示】：證法一，如圖1，延長(zhǎng)、交于，易證，得，為線段的中點(diǎn)，由能證明，因此為直角三角形斜邊中線，所以。圖2(證法二：如圖2，取中點(diǎn)，連結(jié)，用中位線的性質(zhì)證明。) 圖1【橫向拓展】 7.如圖，正方形的邊與正方形的邊在同一直線上（），連結(jié)，取線段的中點(diǎn)。