第五章 多元函數(shù)積分學物理應(yīng)用

1、第五章一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉(zhuǎn)動慣量四、物體的轉(zhuǎn)動慣量 五、物體的引力五、物體的引力 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)積分學的應(yīng)用 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個質(zhì)點, ),(kkkzyx其質(zhì)量分別, ),2, 1(nkmk由力學知, 該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11設(shè)物體占有空間域 ,),(zyx有連續(xù)密度函數(shù)則 公式 ,分別位于為為即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導出其質(zhì)心 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

2、束 將 分成 n 小塊, ),(kkk將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小區(qū)域的最大直徑,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的質(zhì)心坐標就近似該物體的質(zhì)心坐標.的質(zhì)點,即得此質(zhì)點在第 k 塊上任取一點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常數(shù)時當zyx則得形心坐標：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若物體為占有xo

3、y 面上區(qū)域 D 的平面薄片, ),(yx為yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常數(shù)時,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 為 D 的面積)得D 的形心坐標:則它的質(zhì)心坐標為MMyMMx其面密度 xMyM 對 x 軸的 靜矩 對 y 軸的 靜矩機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4例例1. 求位于兩圓sin2rsin4r和的質(zhì)心. 2D解解: 利用對稱性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之間均勻薄片0dsin3143212oyxC機動 目錄 上

4、頁 下頁 返回 結(jié)束 Vzyxzzddd例例2. 一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線的方程為, 30,)3(922zzzx內(nèi)儲有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解解: 利用對稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，,0 yx采用柱坐標, 則爐壁方程為,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重, 求它的質(zhì)心.oxzh若爐不計爐體的其坐標為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、物體的轉(zhuǎn)動

5、慣量四、物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx該物體位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()(22因此物體 對 z 軸 的轉(zhuǎn)動慣量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點的轉(zhuǎn)動慣量機動 目錄 上頁

6、 下頁 返回 結(jié)束 如果物體是平面薄片,面密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 則轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 rraddsin0302例例3.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑解解: 建立坐標系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圓薄片的質(zhì)量221aM 2212oxyDaa的轉(zhuǎn)動慣量.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )sinsincossin(222222rr解解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,:22

7、22azyx則zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球體的質(zhì)量334aM dsin03rrad04例例4.4.求均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)球 所占域為(用球坐標) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222zyxr G 為引力常數(shù)五、物體的引力五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,，連續(xù)),(zyx物體對位于原點的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)rzxvdyFd引力元素在三坐標軸上的投影分別為),(zyx

8、FFFF 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3對 xoy 面上的平面薄片D ,它對原點處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力分量為,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 aaR1122xyzoR例例5. 設(shè)面密度為 ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點解解: 由對稱性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(da

9、yx2322)(darrr機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Rxyzo例例6. 求半徑 R 的均勻球2222Rzyx對位于)(), 0 , 0(0RaaM的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.解解: 利用對稱性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr點zDazyxyx23222)(dd0MazD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 RRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRazrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 為球的質(zhì)量機動 目錄 上

10、頁 下頁 返回 結(jié)束 )(th( t 為時間) 的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程,)()(2)(22thyxthz設(shè)長度單位為厘米, 時間單位為小時, 設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ), 問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時? (2001考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題提示提示:yxzo記雪堆體積為 V, 側(cè)面積為 S ,則)(:221220thyxD)()(:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx )(2thrrrthd16)(2202)(th)(12132th)(43thyxdd(