南京工業(yè)大學概率統(tǒng)計ppt(全)2-2

1、一一、離散型隨機變量的分布律離散型隨機變量的分布律二二、常見離散型隨機變量的概率分布常見離散型隨機變量的概率分布三三、小結(jié)小結(jié)第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機變量離散型隨機變量 及其分布律及其分布律說明說明 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp., 2, 1,), 2 , 1(的分布律的分布律稱此為離散型隨機變量稱此為離散型隨機變量為為的概率的概率即事件即事件取各個可能值的概率取各個可能值的概率所有可能取的值為所有可能取的值為設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量XkpxXPxXXkxXkkkk 一、離散型隨機變量的分布律一、離散型隨機變量的分布律定義定義離散型隨機變量的分布律也可表示

2、為離散型隨機變量的分布律也可表示為 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21.),(,.21,的分布律的分布律求求相互獨立的相互獨立的設(shè)各組信號燈的工作是設(shè)各組信號燈的工作是號燈的組數(shù)號燈的組數(shù)它已通過的信它已通過的信表示汽車首次停下時表示汽車首次停下時以以車通過車通過的概率允許或禁止汽的概率允許或禁止汽每組信號燈以每組信號燈以組信號燈組信號燈的道路上需經(jīng)過四的道路上需經(jīng)過四設(shè)一汽車在開往目的地設(shè)一汽車在開往目的地XX解解,通過的概率通過的概率為每組信號燈禁止汽車為每組信號燈禁止汽車設(shè)設(shè) p則有則有kpX43210ppp)1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p 例例1

3、代入得代入得將將21 pXkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0二、常見離散型隨機變量的概率分布二、常見離散型隨機變量的概率分布 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 只可能取只可能取0與與1兩個值兩個值 , 它的分它的分布律為布律為Xkp0p 11p則稱則稱 X 服從服從 (01) 分布分布或或兩點分布兩點分布.1.兩點分布兩點分布 實例實例1 “拋硬幣拋硬幣”試驗試驗,觀察正、反兩面情觀察正、反兩面情況況. 隨機變量隨機變量 X 服從服從 (01) 分布分布., 1)(eXX , 0,正面正面當當 e.反面反面當當 eXkp012121其分布律為其分布律為實例

4、實例2 200件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,現(xiàn)從中隨機抽取一件現(xiàn)從中隨機抽取一件,那末那末,若規(guī)定若規(guī)定 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.則隨機變量則隨機變量 X 服從服從(0 1)分布分布.Xkp0120019020010 兩點分布是最簡單的一種分布兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點都屬于兩點分布分布.說明說明兩點分布隨機數(shù)兩點分布隨機數(shù)演

5、示演示將試驗將試驗 E 重復(fù)進行重復(fù)進行 n 次次, 若各次試驗的結(jié)果互若各次試驗的結(jié)果互不影響不影響 , 即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果它各次試驗的結(jié)果, 則稱這則稱這 n 次試驗是次試驗是相互獨立相互獨立的的, 或稱為或稱為 n 次次重復(fù)獨立重復(fù)獨立試驗試驗.(1) 重復(fù)獨立試驗重復(fù)獨立試驗2.二項分布二項分布(2) n 重重伯努利試驗伯努利試驗.1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此時此時設(shè)設(shè)為伯努利試驗為伯努利試驗則稱則稱及及只有兩個可能結(jié)果只有兩個可能結(jié)果設(shè)試驗設(shè)試驗伯努利資料伯努利資料. , 重重伯伯努努利利

6、試試驗驗 nnE復(fù)復(fù)的的獨獨立立試試驗驗為為則則稱稱這這一一串串重重次次獨獨立立地地重重復(fù)復(fù)地地進進行行將將實例實例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將硬若將硬幣拋幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗重伯努利試驗.實例實例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現(xiàn)出現(xiàn) 1 點點”, 就就是是 n重伯努利試驗重伯努利試驗.(3) 二項概率公式二項概率公式,發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)重伯努利試驗中事件重伯努利試驗中事件表示表示若若AnX所有可能取的值為所有可能取的值為則則 X., 2, 1, 0n,)0(時時當當nkkX .次次次試驗中發(fā)生了次試驗中發(fā)生了

7、在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次試驗中發(fā)生次試驗中發(fā)生在在得得knA,種種 kn且兩兩互不相容且兩兩互不相容.nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110稱這樣的分布為稱這樣的分布為二項分布二項分布.記為記為).,(pnbX次的概率為次的概率為次試驗中發(fā)生次試驗中發(fā)生在在因此因此knAknkppkn )1(pq 1記記knkqpkn 的分布律為的分布律為得得 X二項分布二項分布1 n兩點分布兩點分布二項分布的圖形二項分布的圖形二項分布隨機數(shù)二項分布隨機數(shù)演示演示例如例如 在相同條件下相互獨立地進行在相同條

8、件下相互獨立地進行 5 次射擊次射擊,每每次射擊時擊中目標的概率為次射擊時擊中目標的概率為 0.6 ,則擊中目標的次則擊中目標的次數(shù)數(shù) X 服從服從 b (5,0.6) 的二項分布的二項分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp012345二項分布隨機數(shù)二項分布隨機數(shù)演示演示?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一級品的概率是多少一級品的概率是多少只只中恰有中恰有只元件只元件問問只只現(xiàn)在從中隨機地抽查現(xiàn)在從中隨機地抽查品率為品率為級級已知某一大批產(chǎn)品的一已知

9、某一大批產(chǎn)品的一小時的為一級品小時的為一級品用壽命超過用壽命超過某種型號電子元件的使某種型號電子元件的使按規(guī)定按規(guī)定 kk分析分析 這是不放回抽樣這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很但由于這批元件的總數(shù)很大大, 且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小小,因而此抽樣可近似當作放回抽樣來處理因而此抽樣可近似當作放回抽樣來處理.2020,重重伯伯努努利利試試驗驗只只元元件件相相當當于于做做檢檢查查驗驗一一級級品品看看成成是是一一次次試試把把檢檢查查一一只只元元件件是是否否為為例例2解解,20 只只元元件件中中一一級級品品的的只只數(shù)數(shù)記記以以 X),2 .

10、 0,20( bX則則因此所求概率為因此所求概率為.20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP時時當當11,001. 0 kkXP圖示概率分布圖示概率分布.,400,02. 0,率率試試求求至至少少擊擊中中兩兩次次的的概概次次獨獨立立射射擊擊設(shè)設(shè)每每次次射射擊擊的的命命中中率率為為某某人人進進行行射射擊擊解解,X設(shè)擊中的次數(shù)為設(shè)擊中的次數(shù)為).0

11、2. 0 ,400( bX則則的分布律為的分布律為X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例3 有一繁忙的汽車站有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過每天有大量汽車通過,設(shè)設(shè)每輛汽車在一天的某段時間內(nèi)每輛汽車在一天的某段時間內(nèi),出事故的概率為出事故的概率為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有在每天的該段時間內(nèi)有1000 輛汽車通過輛汽車通過, 問問出事故的次數(shù)不小于出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少的概率是多少?),0001.0,1000(

12、bX99910009999. 00001. 0110009999. 01 設(shè)設(shè) 1000 輛車通過輛車通過,出事故的次數(shù)為出事故的次數(shù)為 X , 則則解解例例4故所求概率為故所求概率為1012 XPXPXP二項分布二項分布 泊松分布泊松分布)(nnp 3. 泊松分布泊松分布 ).(,.0, 2 , 1 , 0,!e, 2, 1, 0 XXkkkXPk記為記為布布的泊松分的泊松分服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱是常數(shù)是常數(shù)其中其中值的概率為值的概率為而取各個而取各個的值為的值為設(shè)隨機變量所有可能取設(shè)隨機變量所有可能取 泊松資料泊松資料泊松分布的圖形泊松分布的圖形泊松分布隨機數(shù)泊松分布隨機數(shù)演示演示泊

13、松分布的背景及應(yīng)用泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時, ,他他們做了們做了2608次觀察次觀察( (每次時間為每次時間為7.5秒秒) )發(fā)現(xiàn)放射發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi)性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi), , 其放射的粒子數(shù)其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布服從泊松分布. . 在生物學在生物學、醫(yī)學醫(yī)學、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學及工業(yè)統(tǒng)計、保險科學及公用事業(yè)的排隊等問題中公用事業(yè)的排隊等問題中 , 泊松分布是常見的泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的

14、電例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等話呼喚次數(shù)等, 都服從泊松分布都服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)交通事故次數(shù)商場接待的顧客數(shù)商場接待的顧客數(shù)地震地震火山爆發(fā)火山爆發(fā)特大洪水特大洪水上面我們提到上面我們提到單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出二項分布二項分布 泊松分布泊松分布)(nnp 設(shè)設(shè)1000 輛車通過輛車通過,出事故的次數(shù)為出事故的次數(shù)為 X , 則則可利用泊松定理計算可利用泊松定理計算, 1 . 00001. 01000 所求概率為所求概率為99910009999.00001.0110009999.01 .0047. 0

15、! 1e1 . 0!0e11 . 01 . 0 解解2 XP1012 XPXPXP),0001.0,1000( bX例例4 有一繁忙的汽車站有一繁忙的汽車站, 每天有大量汽車通過每天有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車設(shè)每輛汽車,在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率在一天的某段時間內(nèi)出事故的概率為為0.0001,在每天的該段時間內(nèi)有在每天的該段時間內(nèi)有1000 輛汽車通輛汽車通過過,問出事故的次數(shù)不小于問出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少的概率是多少?例例5 為了保證設(shè)備正常工作為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修需配備適量的維修工人工人 (工人配備多了就浪費工人配備多了就浪費 , 配備少了又要影響生配備少

16、了又要影響生產(chǎn)產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺臺,各臺工作是相互獨立的各臺工作是相互獨立的,發(fā)生故障的概率都是發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺設(shè)備在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個人來處理的故障可由一個人來處理(我們也只考慮這種情況我們也只考慮這種情況) ,問至少需配備多少工人問至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于但不能及時維修的概率小于0.01?解解.人人設(shè)需配備設(shè)需配備 N設(shè)備設(shè)備記同一時刻發(fā)生故障的記同一時刻發(fā)生故障的,X臺數(shù)為臺數(shù)為).01. 0 ,300(,bX那么那么所需解決的問題所需解決的問題,N是確定最小的

17、是確定最小的使得使得合理配備維修工人問題合理配備維修工人問題由泊松定理由泊松定理得得,!e303 NkkkNXP故有故有,99. 0!e303 Nkkk即即 Nkkk03!e31 13!e3Nkkk,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得滿足此式最查表可求得滿足此式最N個工人個工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于概率小于0.01.故至少需配備故至少需配備8.99. 0 NXP例例6 設(shè)有設(shè)有80臺同類型設(shè)備臺同類型設(shè)備,各臺工作是相互獨立的各臺工作是相互獨立的發(fā)生故障的概率都是發(fā)生故障的概率都是 0.01,且一臺設(shè)備的故障能由且一臺設(shè)備的故障

18、能由一個人處理一個人處理. 考慮兩種配備維修工人的方法考慮兩種配備維修工人的方法 , 其一其一是由四人維護是由四人維護,每人負責每人負責20臺臺; 其二是由其二是由3人共同維人共同維護臺護臺80.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小及時維修的概率的大小.解解 按第一種方法按第一種方法臺中臺中人維護的人維護的表示事件“第表示事件“第20i,201數(shù)”數(shù)”的臺的臺臺中同一時刻發(fā)生故障臺中同一時刻發(fā)生故障人維護的人維護的記“第記“第以以X)4 , 3 , 2 , 1( iAi以以發(fā)生故障時不能及時維修發(fā)生故障時不能及時維修”,而不能及時維修的概

19、率為而不能及時維修的概率為則知則知80臺中發(fā)生故障臺中發(fā)生故障)()(14321APAAAAP .2 XP),01. 0 ,20( bX而而np 又又, 2 . 0 故有故有 22 . 0!)2 . 0(2kkkkXP.0175. 0 即有即有.0175. 0)(4321 AAAAP 按第二種方法按第二種方法.80障的臺數(shù)障的臺數(shù)臺中同一時刻發(fā)生故臺中同一時刻發(fā)生故記記以以Y),01. 0 ,80( bY則有則有np 又又, 8 . 0 故故 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為 48 . 0!)8 . 0(4kkkkYP.0091. 0 4. 幾何分布幾

20、何分布 若隨機變量若隨機變量 X 的分布律為的分布律為則稱則稱 X 服從服從幾何分布幾何分布.實例實例 設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為 p,對該批產(chǎn)品做有對該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查放回的抽樣檢查 , 直到第一次抽到一只次品為止直到第一次抽到一只次品為止 ( 在此之前抽到的全是正品在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的產(chǎn)品那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)數(shù) X 是一個隨機變量是一個隨機變量 , 求求X 的分布律的分布律., 1, qpXkpk21pqppqk 1 幾何分布隨機數(shù)幾何分布隨機數(shù)演示演示)(121kkAAAAPkXP )()()()(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(1(.1pqk ), 2 , 1( k所以所以 X 服從幾何分布服從幾何分布.說明說明 幾何分布可作為描述某個試驗幾何分布可作為描述某個試驗 “ “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.解解., 3, 2, 1所取的可能值是所取