16.5二項(xiàng)式定理-

1、 16.5 二項(xiàng)式二項(xiàng)式定理定理 不作多項(xiàng)式運(yùn)算，用不作多項(xiàng)式運(yùn)算，用組合知識(shí)組合知識(shí)來考來考察，展開察，展開)()()(babababa展開式中有哪些項(xiàng)？各項(xiàng)系數(shù)各是什么？展開式中有哪些項(xiàng)？各項(xiàng)系數(shù)各是什么？問題取取4個(gè)個(gè)a球球 （不?。ú蝗?b球）球） ： 取取3個(gè)個(gè)a球球 （?。ㄈ? a 1 b） ： 取取2個(gè)個(gè)a球球 （取（取2 a 2 b） ：取取1個(gè)個(gè)a球球 （?。ㄈ? a 3 b） ： 不取不取 a球球 （全取（全取b球）球） ： )(1434CC)(4404CC)(2424CC)(3414CC)(0444CC111111111112334465510101166151520 6

2、543210bababababababa （a+b）的）的n次方次方展開式的系數(shù)的展開式的系數(shù)的規(guī)律規(guī)律猜想：猜想： 沒有大膽的猜想，就不能有偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。沒有大膽的猜想，就不能有偉大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。 -牛頓牛頓 nba)(knn kknnnabbCC 222110baCbaCaCnnnnnn_?_)( nba 一一：二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)式定理 nba)(knn kknnnabbCC 222110baCbaCaCnnnnnn 1.二項(xiàng)式定理：二項(xiàng)式定理： 二項(xiàng)式定理的證明二項(xiàng)式定理的證明 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法 成成立立時(shí)時(shí)，顯顯然然有有當(dāng)當(dāng)bCaCban110111 kkkrrkrkkkkkkb

3、CbaCbaCaCba 110 等等式式成成立立，即即假假設(shè)設(shè)kn 2 bababaknkk 11時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)11111111101 kkkrrkrkkkkkbCbaCbaCaC證:需要證明需要證明 bababaknkk 11時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)111211011110110)(kkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCbaCabCbaCbaCaCbabCbaCbaCaC11110110)()()( kkkkkkkkrrkrkrkkkkkkbCabCCbaCCbaCCaC111111111101 kkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaC

4、aC 該公式所表示的定理叫做該公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的右邊的多項(xiàng)式叫做的 展開式，其中展開式，其中的系數(shù)的系數(shù) 叫做叫做二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)。式中式中 的叫做的叫做二項(xiàng)式通項(xiàng)二項(xiàng)式通項(xiàng)，用，用 表示，即通項(xiàng)為展開式的第表示，即通項(xiàng)為展開式的第 項(xiàng)。項(xiàng)。 nba)( 0,1,2,rnCrnrn rrnabC1rT1r nba)(222bannCbaannnnCC110knnkknnnabbCC2.二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律：二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律：nnnnnCCCC、 2103.指數(shù)規(guī)律：指數(shù)規(guī)律：（1）各項(xiàng)的次數(shù)）各項(xiàng)的次數(shù)和均為和均為n；（2）二項(xiàng)和的）二項(xiàng)和的第一項(xiàng)第一項(xiàng)a

5、的次數(shù)的次數(shù)由由n逐次降到逐次降到0， 第二項(xiàng)第二項(xiàng)b的次數(shù)的次數(shù)由由0逐次逐次升到升到n.1.項(xiàng)數(shù)規(guī)律：項(xiàng)數(shù)規(guī)律：展開式共有展開式共有n+1個(gè)項(xiàng)個(gè)項(xiàng))(Nn011()nnnrn rrn nnnnna bC aC a bC a bC b二項(xiàng)展開式定理二項(xiàng)展開式定理:單三步單三步41xx求（） 的二項(xiàng)展開式例例1：例例2：62xx求（） 的二項(xiàng)展開式例例3：121a求（）的二項(xiàng)展開式中的倒數(shù)第五項(xiàng)。例例4：721x （1）求（） 的二項(xiàng)展開式中的第四項(xiàng)的系數(shù)；91xx3（2）求（） 的二項(xiàng)展開式中x 項(xiàng)的系數(shù).。二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)、求（例153)x1x5412nxx已知（） 的二項(xiàng)展開式中,前

6、三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求二項(xiàng)展開式中的所有有理項(xiàng).例例6：121112C4C2C2 C3nnnnnnnnn 求證：例例7：515017求證：能被 整除。例例8：并求這一項(xiàng)的系數(shù)。項(xiàng)是第幾項(xiàng)，）問項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；（）求（項(xiàng)；）求第的展開式中，（、在（312113x3x241)x2x1的展開式中系數(shù)最大項(xiàng)）、求（72x12除的余數(shù)。被為奇數(shù)，求、設(shè)8Xn,C6C66CX3nnn2n21n 二二：二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)111111111112334465510101166151520 6543210bababababababa 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì):性質(zhì)性質(zhì)1、在（、在（a+b）n展開式中

7、，與首末兩端展開式中，與首末兩端“等距離等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。問題：?jiǎn)栴}：0121?nnnnnnnCCCCC性質(zhì)性質(zhì)2、（、（a+b）n的二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于系數(shù)的和等于2n。例例9：求證（：求證（a+b）n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和。二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和。性質(zhì)性質(zhì)3：（：（a+b）n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于等于2n-1。例例10：求證：（：求證：（a

8、+b）n的展開式中，的展開式中，當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 最大最大 ；當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 相等且同時(shí)取得最大值相等且同時(shí)取得最大值 。性質(zhì)性質(zhì)4：先增后減，當(dāng)：先增后減，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)即第為偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)即第2nnC當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)即第為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)即第13,22nn 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 相等且最大。相等且最大。12,nnC12nnC12,nnC12nnC22n 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 最大；最大；2nnC例例11：利用二項(xiàng)式定理證明：利用二項(xiàng)式定理證明：2*21(5,)

9、,nnnnnN（1+x）n=1+nx+有：（有：（1+x）n1+nx例：用例：用4、近似計(jì)算、近似計(jì)算:2211nnnnnC xCxx（1+x）n1+nx求下列數(shù)的近似值。求下列數(shù)的近似值。（1）（）（1.0003）5（2）（）（0.998）4補(bǔ)充舉例補(bǔ)充舉例2101.a217求（-4ab+4b）的二項(xiàng)展開中的含a 項(xiàng)的系數(shù)，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).152.xx求（-1）展開式中的常數(shù)項(xiàng).2113.xx5求（1+)(1-x) 的展開式中x項(xiàng)的系數(shù).補(bǔ)充舉例補(bǔ)充舉例:3：在（：在（a-b）n的展開式中的展開式中,二項(xiàng)式系數(shù)的和是二項(xiàng)式系數(shù)的和是1024，求此二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。，求此二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。4：設(shè)（：設(shè)（1-x）7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a7x7，求求a0+a2+a4+a6的值。的值。5：求：求10110被被11除的余數(shù)。除的余數(shù)。練習(xí)練習(xí):(3x-1)7= a7x7+ a6x6+a1x+a0則則a1+a2 + a7=? a1+a3 +a5+a7=? a0+a2 +a4+a6=? 項(xiàng)數(shù)：共項(xiàng)數(shù)：共n+1項(xiàng)項(xiàng),是關(guān)于是關(guān)于a與與b的齊次多項(xiàng)式的齊次