1.3.1函數(shù)的單調(diào)性和最大小值

1、-函數(shù)的單調(diào)性一、引入課題一、引入課題 觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：yx11-1yx1-11-1問：隨問：隨x的增大，的增大，y的值有什么變化？的值有什么變化？x1-11y-1-1畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：1 1f (x) = x 從左至右圖象上升還是下降從左至右圖象上升還是下降_?_?在區(qū)間在區(qū)間 _ _ 上，隨著上，隨著x的增大，的增大，f (x)的的值隨著值隨著 _ _ 2 2f (x) = -2x+1 從左至右圖象上升還是下降從左至右

2、圖象上升還是下降 _?_?在區(qū)間在區(qū)間 _ _ 上，隨著上，隨著x的增大，的增大，f (x)的值的值隨著隨著 _ _ 上升上升（-，+）增大增大下降下降（-，+）減小減小3 3f (x) = x2在區(qū)間在區(qū)間 _ _ 上，上，f (x)的值隨的值隨著著x的增大而的增大而 _ _ 在區(qū)間在區(qū)間 _ _ 上，上，f (x)的值隨的值隨著著x的增大而的增大而 _ _ x -4 -3 -2 -1 01234f(x) 16 941014916 (-,0減小減?。?，+）增大增大 y246810O- -2x84121620246210141822I對區(qū)間對區(qū)間I內(nèi)內(nèi) x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時， 有

3、有f(x1)f(x2)圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間I逐漸上升逐漸上升？OxIy區(qū)間區(qū)間I內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN對區(qū)間對區(qū)間I內(nèi)內(nèi) x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時， 有有f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意任意區(qū)間區(qū)間I內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間I逐漸上升逐漸上升對區(qū)間對區(qū)間I內(nèi)內(nèi) x1，x2 ，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時， 有有f(x1)f(x2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)O設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為D,區(qū)間區(qū)間I D. 如果對于如果對于區(qū)間區(qū)間I上的上的任意

4、任意當(dāng)當(dāng)x1x2時，時，都有都有 f(x1 ) f(x2 )，定義定義MN任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2， I 稱為稱為 f (x)的的單調(diào)單調(diào)增區(qū)間增區(qū)間. 那么就說那么就說 f (x)在區(qū)間在區(qū)間I上上是單調(diào)是單調(diào)增函數(shù)增函數(shù)，區(qū)間區(qū)間I內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間I逐漸上升逐漸上升I 那么就說在那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調(diào)這個區(qū)間上是單調(diào)減減函數(shù)函數(shù)，I稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 減減 區(qū)間區(qū)間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù)類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù). .xOyx1x2f(

5、x1)f(x2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為D,區(qū)間區(qū)間I D. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域D內(nèi)內(nèi)某個區(qū)間某個區(qū)間I上上的的任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2，設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為D,區(qū)間區(qū)間I D. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域D內(nèi)內(nèi)某個區(qū)間某個區(qū)間I上上的的任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2， 那么就說在那么就說在f(x)這個區(qū)間上是單調(diào)這個區(qū)間上是單調(diào)增增 函數(shù)函數(shù)，I稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 區(qū)間區(qū)間.增增當(dāng)當(dāng)x1x2時，時，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，當(dāng)當(dāng)x1x2時，時，都有都有f(x1

6、 ) f(x2 )，單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間注意：注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對于區(qū)間必須是對于區(qū)間I I內(nèi)的任意兩個自變量內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；函數(shù)的單調(diào)性是相對某個區(qū)間而言，不能直接函數(shù)的單調(diào)性是相對某個區(qū)間而言，不能直接說某函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)。說某函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)。下列說法是否正確？請畫圖說明理由。下列說法是否正確？請畫圖說明理由。（1 1）如果對于區(qū)間（）如果對于區(qū)間（0 0，+）上的任意）上的任意x x有有f( (x)f(0),(0),則函數(shù)在區(qū)間（則函數(shù)在區(qū)間（0 0

7、，+）上單調(diào)）上單調(diào)遞增。遞增。（2）對于區(qū)間（a,b）上得某3個自變量的值 x1,x2,x3,當(dāng) 時， 有 則函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增。123( )()()()( )f af xf xf xf b123axxxb2 2單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間在某個區(qū)間D D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D D叫叫做做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間：的單調(diào)區(qū)間：注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；應(yīng)是

8、該區(qū)間內(nèi)應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)任意任意的兩個實數(shù)，忽的兩個實數(shù)，忽略需要略需要任意任意取值這個條件，就不能保取值這個條件，就不能保證函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)），例如，證函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)），例如，圖圖5 5中，在那樣的特定位置上，雖然中，在那樣的特定位置上，雖然使得使得 , ,但顯然此圖象表但顯然此圖象表示的函數(shù)不是一個單調(diào)函數(shù)；示的函數(shù)不是一個單調(diào)函數(shù)；1x2x)(1xf)(2xf)(xf?5yx12()()f xf x幾何特征幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若單調(diào)：在自變量取值區(qū)間上，若單調(diào)函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù)為減函數(shù). .思考思考1

9、1：一次函數(shù)一次函數(shù) 的單調(diào)性，單調(diào)的單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間：區(qū)間：)0(kbkxy思考思考2 2：二次函數(shù)二次函數(shù) 的單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間：的單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間：)0(2acbxaxy（二）典型例題例例1 1 如圖如圖6 6是定義在閉區(qū)間是定義在閉區(qū)間-5-5，55上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)的圖的圖象，根據(jù)圖象說出象，根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). . 書寫單調(diào)區(qū)間時，注意區(qū)間端點的寫法。書寫單調(diào)區(qū)間時，注意區(qū)間端點的寫法。對于對于某一個點某一個點而言，由于它的函數(shù)值是一個而言，由于

10、它的函數(shù)值是一個確定的確定的常數(shù)，無單調(diào)性可言常數(shù)，無單調(diào)性可言，因此在寫單調(diào)因此在寫單調(diào)區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點。但對于某些不在定義域內(nèi)的區(qū)間端點，但對于某些不在定義域內(nèi)的區(qū)間端點，書寫時就必須去掉端點。書寫時就必須去掉端點。練習(xí)：判斷函數(shù)練習(xí)：判斷函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。2( )2f xxxxxxxf2)(2 y21o單調(diào)遞增區(qū)間：單調(diào)遞增區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間：單調(diào)遞減區(qū)間：1 ,( ), 1 例例2 2 物理學(xué)中的玻意定律物理學(xué)中的玻意定律 ( (k k為正常數(shù)為正常數(shù)) )告訴我們告訴我們, ,對于一定量的氣體對于一定量的氣體,

11、,當(dāng)體積當(dāng)體積V 減減小時小時, ,壓強(qiáng)壓強(qiáng) P 將增大將增大. .試用函數(shù)的單調(diào)性證明之試用函數(shù)的單調(diào)性證明之. .kpV=二、新課教學(xué)二、新課教學(xué)（一）函數(shù)單調(diào)性定義（一）函數(shù)單調(diào)性定義1 1增函數(shù)增函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f (x)的的定義域為定義域為I，如果對于定義域如果對于定義域 I 內(nèi)的內(nèi)的某個區(qū)間某個區(qū)間D D內(nèi)內(nèi)的的任意任意兩個自變量兩個自變量x1, x2 ，當(dāng)當(dāng)x1 x2 時，都有時，都有f(x1) f(x2)，那么就說那么就說f(x)在區(qū)間在區(qū)間D D上是上是增函數(shù)增函數(shù)（increasing functionincreasing function）3 3證明函

12、數(shù)單調(diào)性的方法步驟證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 利用定義證明函數(shù)利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D D上的單調(diào)性的一上的單調(diào)性的一般步驟：般步驟： 任取任取x1，x2D，且，且x1x2； 作差作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）；變形（通常是因式分解和配方）；定號（即判斷差定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）；的正負(fù)）；下結(jié)論（即指出函數(shù)下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D D上的單調(diào)性）上的單調(diào)性）上上是是增增函函數(shù)數(shù)。，（在在區(qū)區(qū)間間證證明明函函數(shù)數(shù) xxf12)( . 例例2 2內(nèi)內(nèi)任任意意是是區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)),(,x 21 x1212

13、12( )()(21) (21)2(x)f xf xxxx0 x ,2121 xxx0)()(21 xfxf)()(21xfxf 即即證明：證明：。兩兩個個實實數(shù)數(shù)，且且 x 21x ),(12)( 在在區(qū)區(qū)間間則則函函數(shù)數(shù)xxf是是增增函函數(shù)數(shù)。 （取值）（取值）（作差）（作差）（下結(jié)論）（下結(jié)論）（定號）（定號）.23)( . 2上上是是增增函函數(shù)數(shù)在在證證明明函函數(shù)數(shù)練練習(xí)習(xí)Rxxf f（x1） f（x2）f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）（）（3x12）（）（ 3x22） 3（x1x2）由由x1x2，得，得 x1x20.23)(上是增函數(shù)上是增函數(shù)在在函數(shù)函數(shù)Rxxf 設(shè)設(shè)x1

14、，x2是是R上的任意兩個實數(shù)，且上的任意兩個實數(shù)，且x1x2，則，則探究：探究：P30 P30 畫出反比例函數(shù)畫出反比例函數(shù) 的圖象的圖象這個函數(shù)的定義域是什么？這個函數(shù)的定義域是什么？它在定義域它在定義域I上的單調(diào)性怎樣？證明你的結(jié)論上的單調(diào)性怎樣？證明你的結(jié)論xy1 思考思考3 3：反比例函數(shù)反比例函數(shù) 的單調(diào)性，的單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間：單調(diào)區(qū)間： )0(kxky.), 0(1)(. 3減函數(shù)？證明你的結(jié)論減函數(shù)？證明你的結(jié)論上是增函數(shù)還是上是增函數(shù)還是在在函數(shù)函數(shù)例例 xxf設(shè)設(shè)x1，x2（0，+），且），且x1x2，則，則22111)(,1)(xxfxxf 212111)()(xxxfxf

15、 2112xxxx 0), 0(,2121 xxxx01221 xxxx0)()(21 xfxf)()(21xfxf .), 0(1)(上是減函數(shù)上是減函數(shù)在在函數(shù)函數(shù) xxf111Ox y1f（x）在定義域）在定義域上是減函數(shù)嗎？上是減函數(shù)嗎？減函數(shù)減函數(shù) 取取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）例例3 3 討論函數(shù)討論函數(shù) 在在(-2,2)(-2,2)內(nèi)的單內(nèi)的單調(diào)性調(diào)性. .322 axxf(x)變式變式1 1：若二次函數(shù)：若二次函數(shù)2( )4f xxax 在區(qū)間在區(qū)間(-,1(-,1上單調(diào)遞增，求上單調(diào)遞增，求a a的取值范圍。的取值范圍。變式變式2

16、 2：若二次函數(shù)：若二次函數(shù)2( )4f xxax 的遞增區(qū)間是（的遞增區(qū)間是（-,1-,1，則，則a a的取值情況是的取值情況是( )f x 是定義在是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且上的單調(diào)函數(shù)，且 的圖的圖象過點象過點A（0，2）和）和B（3，0）（1）解不等式）解不等式 （2）求適合）求適合 的的 的取的取值范圍值范圍( )f x(2 )(1)fxfx( )2( )0f xf x或x( )f x 是定義在（是定義在（-1，1）上的單調(diào)增函數(shù)，）上的單調(diào)增函數(shù)， 解不等式解不等式 (2 )(1)fxfx的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。求函數(shù)求函數(shù)34xxy2 練習(xí)：練習(xí)：注意：注意：在原函數(shù)定義域內(nèi)討論

17、函數(shù)的單調(diào)性在原函數(shù)定義域內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性思考與討論思考與討論f(xf(x) )和和g(xg(x) )都是區(qū)間都是區(qū)間D D上的單調(diào)函數(shù)，上的單調(diào)函數(shù)，那么那么f(xf(x) )和和g(xg(x) )四則運算后在該四則運算后在該區(qū)間區(qū)間D D內(nèi)還具備單調(diào)性嗎？情況如何？內(nèi)還具備單調(diào)性嗎？情況如何？你能證明嗎？能舉例嗎？你能證明嗎？能舉例嗎？1.1.若若f(xf(x) )為增函數(shù)，為增函數(shù)，g(xg(x) )為增函數(shù)，為增函數(shù)，則則F(X)=F(X)=f(x)+g(xf(x)+g(x) )為增函數(shù)。為增函數(shù)。2.2.若若f(xf(x) )為減函數(shù)，為減函數(shù)，g(xg(x) )為減函數(shù)，為減函數(shù)

18、，則則F(X)=F(X)=f(x)+g(xf(x)+g(x) )為減函數(shù)。為減函數(shù)。3.3.若若f(xf(x) )為增函數(shù)，為增函數(shù)，g(xg(x) )為減函數(shù)，為減函數(shù)，則則F(X)=F(X)=f(x)-g(xf(x)-g(x) )為增函數(shù)。為增函數(shù)。4.4.若若f(xf(x) )為減函數(shù)，為減函數(shù)，g(xg(x) )為增函數(shù)，為增函數(shù)，則則F(X)=F(X)=f(x)-g(xf(x)-g(x) )為減函數(shù)。為減函數(shù)。三、歸納小結(jié)三、歸納小結(jié)1.1.函數(shù)的單調(diào)性的判定、證明和單調(diào)區(qū)間的確定：函數(shù)的單調(diào)性的判定、證明和單調(diào)區(qū)間的確定：函數(shù)函數(shù) 的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明畫的單

19、調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明畫函數(shù)圖象通常借助計算機(jī)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須要函數(shù)圖象通常借助計算機(jī)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域，單調(diào)性的證明一般分五步：注意函數(shù)的定義域，單調(diào)性的證明一般分五步：取取 值值 作作 差差 變變 形形 定定 號號 下結(jié)論下結(jié)論2.2.直接利用初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。直接利用初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 四、作業(yè)布置四、作業(yè)布置書面作業(yè)：書面作業(yè)：課本課本P39 AP39 A組：第組：第2 2題題 2(2(選做選做) ) 證明函數(shù)證明函數(shù)f(x)=x3在在(-(-，+)+)上是上是增函數(shù)增函數(shù). .-函數(shù)的最大（小）值畫出下列函數(shù)的草圖，并根據(jù)圖象解答

20、下列問題：畫出下列函數(shù)的草圖，并根據(jù)圖象解答下列問題： 1.說出說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性；的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性；2.指出圖象的最高點或最低點，你是如何理解函數(shù)圖象最高指出圖象的最高點或最低點，你是如何理解函數(shù)圖象最高點的？點的？ (1) (2) ( )230,3f xxx 12)(2xxxfxyo2oxy-11最大值最大值 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果，如果存在實數(shù)存在實數(shù)M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，稱那

21、么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最大值最大值 最大值的幾何意義：函數(shù)圖像上最高點的縱坐標(biāo)。最大值的幾何意義：函數(shù)圖像上最高點的縱坐標(biāo)。類比最大值的定義，請你給出最小值的定義。類比最大值的定義，請你給出最小值的定義。2最小值最小值 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I，如，如果存在實數(shù)果存在實數(shù)M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最小值最小值 2.2.函數(shù)最大（?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)值中函數(shù)最大（?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，

22、即對于任意的最大（?。┑模磳τ谌我獾膞I，都有，都有f(x)M（f (x)M） 注注 意：意：1.1.函數(shù)最大（?。┲凳紫葢?yīng)該是某一個函數(shù)函數(shù)最大（?。┲凳紫葢?yīng)該是某一個函數(shù)值，值， 即存在即存在x0I，使得，使得f (x0) = M；3.3.最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。.)(1, 1)(,),()(12的最大值為函數(shù)則都有任意、函數(shù)xfxfRxRxxxf判斷以下說法是否正確。判斷以下說法是否正確。.)(,)(,)(,)(,),(,)(3003020132100yxfyxfyxfyxfxxxyxPbaxf的最小值為則函數(shù)有自變量對于），已知點的定義域為（、函數(shù)2、設(shè)函

23、數(shù) ，則 成立嗎？ 的最大值是2嗎？為什么？2( )1f xx ( )2f x ( )f x例3 “菊花菊花”煙花是最壯觀的煙花之一煙花是最壯觀的煙花之一. .制造時一般是期制造時一般是期望在它達(dá)到最高點時爆裂望在它達(dá)到最高點時爆裂. . 如果在距地面高度如果在距地面高度h m與時間與時間t s之間的之間的關(guān)系為關(guān)系為:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，那么煙花沖出后什么時候是那么煙花沖出后什么時候是它的爆裂的最佳時刻？這時它的爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確距地面的高度是多少（精確到到1m1m）解：作出函數(shù)h(t)= -4.9t2+14.7t+18的圖象(如圖).顯然

24、，函數(shù)圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標(biāo)就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標(biāo)就是這時距地面的高度. 由于二次函數(shù)的知識，對于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們有: 29)9 . 4(47 .1418)9 . 4(45 . 1)9 . 4(27 .142ht 時，函數(shù)有最大值當(dāng) 于是，煙花沖出后1.5秒是它爆裂的最佳時刻,這時距地面的高度為29 m.例3 求函數(shù) 在區(qū)間2，6上的最大值和最小值 12xy解：設(shè)x1,x2是區(qū)間2,6上的任意兩個實數(shù)，且x1x2,則) 1)(1()(2 ) 1)(1()1() 1(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(, 0)()(2121xfxfxfxf 即所以，函數(shù) 是區(qū)間2,6上的減函數(shù).12xy 因