六年級奧數(shù)(數(shù)的整除)

1、精選整除是整數(shù)問題中一個重要的基本概念.假如整數(shù)a除以自然數(shù)b，商是整數(shù)且余數(shù)為0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，記作b丨a.此時，b是a的一個因數(shù)（約數(shù)），a是b的倍數(shù).1.整除的性質(zhì)性質(zhì)1假如a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（這里設(shè)a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性質(zhì)2 假如a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.性質(zhì)3 假如a能同時被m、n整除，那么a也肯定能被m和n的最小公倍數(shù)整除.例如：6丨36，9丨36，6和9的最小公倍數(shù)是18，18丨36.假如

2、兩個整數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么它們稱為互質(zhì)的.例如：7與50是互質(zhì)的，18與91是互質(zhì)的.性質(zhì)4 整數(shù)a，能分別被b和c整除，假如b與c互質(zhì)，那么a能被b×c整除.例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質(zhì)，72能被3與4的乘積12整除.性質(zhì)4中，“兩數(shù)互質(zhì)”這一條件是必不行少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是由于6與8不互質(zhì)，6與8的最大公約數(shù)是2.性質(zhì)4可以說是性質(zhì)3的特殊情形.由于b與c互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是b×c.事實上，依據(jù)性質(zhì)4，我們經(jīng)常運(yùn)用如下解題思路：要使a被b×c整除，假如b與c互質(zhì)，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除

3、.能被2，3，4，5，8，9，11整除的數(shù)都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來推斷很多數(shù)的整除問題.2.數(shù)的整除特征（1）能被2整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的個位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的個位數(shù)字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么它必能

4、被8（或125）整除.（6）能被11整除的數(shù)的特征：假如一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減?。┠鼙?1整除，那么它必能被11整除.例1：四位數(shù)7a4b能被18整除，要是這個四位數(shù)盡可能的小，a和b是什么數(shù)字？解：18=2×9，并且2與9互質(zhì)，依據(jù)前面的性質(zhì)4，可以分別考慮被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考慮被9整除，四個數(shù)字的和就要被9整除，已有7+4=11.假如 b=0，只有 a=7，此數(shù)是 7740；假如b=2，只有a=5，此數(shù)是7542；假如b4，只有a3，此數(shù)是 7344；假如 b6，只有 a1，此數(shù)是 7146；假如b8，只有a8，此

5、數(shù)是7848.因此其中最小數(shù)是7146.依據(jù)不同的取值，分狀況進(jìn)行爭辯，是解決整數(shù)問題常用方法，例1就是一個典型.例2一本老賬本上記著：72只桶，共67.9元，其中處是被蟲蛀掉的數(shù)字，請把這筆賬補(bǔ)上.解：把67.9寫成整數(shù)679，它應(yīng)被72整除.729×8，9與8又互質(zhì).依據(jù)前面的性質(zhì)4，只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b2.從6792能被9整除，依據(jù)被9整除特征，各位數(shù)字之和+24能被9整除，因此a3.這筆帳是367.92元.例3在1，2，3，4，5，6六個數(shù)字中選出盡可能多的不同數(shù)字組成一個數(shù)（有些數(shù)字可以重復(fù)消滅），使得能被組成它的每一個

6、數(shù)字整除，并且組成的數(shù)要盡可能小.解：假如選數(shù)字5，組成數(shù)的最終一位數(shù)字就必需是5，這樣就不能被偶數(shù)2，4，6整除，也就是不能選2，4，6.為了要選的不同數(shù)字盡可能多，我們只能不選5，而選其他五個數(shù)字1，2，3，4，6.1+2+3+4+616，為了能整除3和6，所用的數(shù)字之和要能被3整除，只能再添上一個2，16+218能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最終兩位數(shù)能被4整除.組成的數(shù)是122364.例4 四位數(shù)74能被55整除，求出全部這樣的四位數(shù).解：555×11，5與11互質(zhì)，可以分別考慮被5與11整除.要被5整除，個位數(shù)只能是0或5.再考慮被11整除.（7+4）-（百位數(shù)字+0

7、）要能被11整除，百位數(shù)字只能是0，所得四位數(shù)是7040.（7+4）-（百位數(shù)字+5）要能被11整除，百位數(shù)字只能是6（零能被全部不等于零的整數(shù)整除），所得四位數(shù)是7645.滿足條件的四位數(shù)只有兩個：7040，7645.例5 一個七位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數(shù)中，最大的是哪一個？解：為了使這個數(shù)最大，先讓前五位是98765，設(shè)這個七位數(shù)是98765ab，要使它被11整除，要滿足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個數(shù)，只有b4，a0，滿足條件的最大七位數(shù)是98

8、76504.思考題：假如要求滿足條件的數(shù)最小，應(yīng)如何去求，是哪一個數(shù)呢？（答：1023495）例6某個七位數(shù)1993能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最終三個數(shù)字組成的三位數(shù)是多少？解一：從整除特征考慮.這個七位數(shù)的最終一位數(shù)字明顯是0.另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除.199322，要被9整除，十位與百位的數(shù)字和是5或14，要被8整除，最終三位組成的三位數(shù)要能被8整除，因此只可能是下面三個數(shù)：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數(shù)是320.一個整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱為質(zhì)數(shù)（也叫素數(shù)）.例如，2，5，

9、7，101，.一個整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，就稱為合數(shù).例如，4，12，99，501，.1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).也可以換一種說法，恰好只有兩個約數(shù)的整數(shù)是質(zhì)數(shù)，至少有3個約數(shù)的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個約數(shù)，也就是它本身.質(zhì)數(shù)中只有一個偶數(shù)，就是2，其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).但是奇數(shù)不肯定是質(zhì)數(shù)，例如，15，33，.例9 ×（+）=209.在、中各填一個質(zhì)數(shù)，使上面算式成立.解：209可以寫成兩個質(zhì)數(shù)的乘積，即20911×19.不論中填11或19，+肯定是奇數(shù)，那么與是一個奇數(shù)一個偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只有2，不妨假定內(nèi)填2.當(dāng)填19，要填9，9不是質(zhì)數(shù)，因此填11，而填17.這個算式是

10、 11×（172）209，11×（217） 209.解例9的首要一步是把209分解成兩個質(zhì)數(shù)的乘積.把一個整數(shù)分解成若干個整數(shù)的乘積，特殊是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所敘述的主要內(nèi)容.一個整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2，3，7，都是42的質(zhì)因數(shù)，6，14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù).任何一個合數(shù)，假如不考慮因數(shù)的挨次，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如3602×2×2×3×3×5.還可以寫成36023×32×5.這里23表示3個2相乘，32表

11、示2個3相乘.在23中，3稱為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在32中，2稱為3的指數(shù)，讀作3的2次方.例10 有四個同學(xué)，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少？解：我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)504024×32×5×7.再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個連續(xù)自然數(shù)的乘積：24×32×5×77×8×9×10.所以，這四名同學(xué)的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個數(shù)（包括1和它本身）.為尋求一般方法，先看一個簡潔的例子.我們知道24

12、的約數(shù)有8個：1，2，3，4，6，8，12，24.對于較大的數(shù)，假如一個一個地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事.由于2423×3，所以24的約數(shù)是23的約數(shù)（1，2，22，23）與3的約數(shù)（1，3）之間的兩兩乘積.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.這里有4×28個，即 （31）×（11）個，即對于2423×3中的23，有（31）種選擇：1，2，22，23，對于3有（11）種選擇.因此共有（31）×（11）種選擇.這個方法，可以運(yùn)用到

13、一般情形，例如，14424×32.因此144的約數(shù)個數(shù)是（41）×（2+1）15（個）.例11 在100至150之間，找出約數(shù)個數(shù)是8的全部整數(shù).解：有871； 8（31）×（11）兩種狀況.（1）27128，符合要求，37150，所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求.（2）238，8×13104， 8×17136，符合要求.3327；只有27×5135符合要求.53135，它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150，因此共有4個數(shù)合要求：128，104，135，136.利用質(zhì)因數(shù)的分解可以求出若干個整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).先把它們各自進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分

14、解，例如72024×32×5，16823×3×7.那么每個公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個整數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2，較低指數(shù)次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是23×3 24.在求最小公倍數(shù)時，很明顯每個質(zhì)因數(shù)的最高指數(shù)次方的乘積是最小公倍數(shù).請留意720中有5，而168中無5，可以認(rèn)為較高指數(shù)次方是51=5.720與168的最小公倍數(shù)是24×32×5×75040.例12 兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是30，已知其中一個數(shù)是90，另一個數(shù)是多少？解：18022

15、15;32×5，302×3×5.對同一質(zhì)因數(shù)來說，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較低的，從22與2就知道，一數(shù)中含22，另一數(shù)中含2；從32與3就知道，一數(shù)中含32，另一數(shù)中含3，從一數(shù)是902×32×5.就知道另一數(shù)是22×3×560.還有一種解法：另一數(shù)肯定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在下面這些數(shù)中去找30， 60， 90， 120，.這就需要逐一檢驗，與90的最小公倍數(shù)是否是180，最大公約數(shù)是否是30.現(xiàn)在碰巧其次個數(shù)60就是.逐一去檢驗，有時會較費勁.例13 有一種最簡真分?jǐn)?shù)，它

16、們的分子與分母的乘積都是420.假如把全部這樣的分?jǐn)?shù)從小到大排列，那么第三個分?jǐn)?shù)是多少？解：把420分解質(zhì)因數(shù)4202×2×3×5×7.為了保證分子、分母不能約分（否則約分后，分子與分母的乘積不再是420了），相同質(zhì)因數(shù)（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子應(yīng)小于分母.分子從小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超過分母了，它們相應(yīng)的分?jǐn)?shù)是兩個整數(shù)，假如它們的最大公約數(shù)是1.就稱這兩個數(shù)是互質(zhì)的.例13實質(zhì)上是把420分解成兩個互質(zhì)的整數(shù).利用質(zhì)因數(shù)分解，把一個整數(shù)分解成若干個整數(shù)的乘積，是格外基本又是很有用的方

17、法，再舉三個例題.例14 將8個數(shù)6，24，45，65，77，78，105，110分成兩組，每組4個數(shù)，并且每組4個數(shù)的乘積相等，請寫出一種分組.解：要想每組4個數(shù)的乘積相等，就要讓每組的質(zhì)因數(shù)一樣，并且相同質(zhì)因數(shù)的個數(shù)也一樣才行.把8個數(shù)分解質(zhì)因數(shù).62×3， 2423×3，4532×5， 655×13，777×11， 782×3×13，1053×5×7， 1102×5×11.先放指數(shù)最高的質(zhì)因數(shù)，把24放在第一組，為了使其次組里也有三個2的因子，必需把6，78，110放在其次組中，

18、為了平衡質(zhì)因數(shù)11和13，必需把77和65放在第一組中.看質(zhì)因數(shù)7，105應(yīng)放在其次組中，45放在第一組中，得到第一組：24，65，77，45.其次組：6，78，110，105.在敘述下一例題之前，先介紹一個數(shù)學(xué)名詞-完全平方數(shù).一個整數(shù)，可以分解成相同的兩個整數(shù)的乘積，就稱為完全平方數(shù).例如：42×2， 93×3， 14412×12， 62525×25.4，9，144，625都是完全平方數(shù).一個完全平方數(shù)寫出質(zhì)因數(shù)分解后，每一個質(zhì)因數(shù)的次數(shù)，肯定是偶數(shù).例如：14432×42， 10022×52，例15甲數(shù)有9個約數(shù)，乙數(shù)有10個約

19、數(shù)，甲、乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是2800，那么甲數(shù)和乙數(shù)分別是多少？解：一個整數(shù)被它的約數(shù)除后，所得的商也是它的約數(shù)，這樣的兩個約數(shù)可以配成一對.只有配成對的兩個約數(shù)相同時，也就是這個數(shù)是完全平方數(shù)時，它的約數(shù)的個數(shù)才會是奇數(shù).因此，甲數(shù)是一個完全平方數(shù).280024×52×7.在它含有的約數(shù)中是完全平方數(shù)，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在這6個數(shù)中只有22×52100，它的約數(shù)是（21）×（2+1）9（個）.2800是甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)，上面已算出甲數(shù)是10022×52，因此乙數(shù)至少要含有24和7，而24

20、×7112恰好有（4+1）×（11）10（個）約數(shù)，從而乙數(shù)就是112.綜合起來，甲數(shù)是100，乙數(shù)是112.例16 小明買紅藍(lán)兩種筆各1支共用了17元.兩種筆的單價都是整元，并且紅筆比藍(lán)筆貴.小強(qiáng)打算用35元來買這兩種筆（也允許只買其中一種），可是他無論怎么買都不能把35元恰好用完，問紅筆、藍(lán)筆每支各多少元？解：355×7.紅、藍(lán)的單價不能是5元或7元（否則能把35元恰好用完），也不能是17-512（元）和17-710（元），否則另一種筆1支是5元或7元.記?。簩P價來說，已排解了5，7，10，12這四個數(shù).筆價不能是35-17=18（元）的約數(shù).假如筆價是18

21、的約數(shù)，就能把18元恰好都買成筆，再把17元買兩種筆各一支，這樣就把35元恰好用完了.因此筆價不能是18的約數(shù)：1，2，3，6，9.當(dāng)然也不能是17-116，17-215，17-314，17-611， 17-98.現(xiàn)在筆價又排解了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.綜合兩次排解，只有4與13未被排解，而41317，就知道紅筆每支 13元，藍(lán)筆每支 4元.三、余數(shù)在整數(shù)除法運(yùn)算中，除了前面說過的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就產(chǎn)生了余數(shù).通常的表示是：65÷321 2， 38÷57 3.上面兩個

22、算式中2和3就是余數(shù)，寫成文字是被除數(shù)÷除數(shù)=商余數(shù).上面兩個算式可以寫成653×212， 385×73.也就是被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù).通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們簡潔從“余數(shù)”動身去考慮問題，這正是某些整數(shù)問題所需要的.特殊要提請留意：在帶余除式中，余數(shù)總是比除數(shù)小，這一事實，解題時常作為依據(jù).例175397被一個質(zhì)數(shù)除，所得余數(shù)是15.求這個質(zhì)數(shù).解：這個質(zhì)數(shù)能整除5397-155382，而 53822×31997×13×23.由于除數(shù)要比余數(shù)15大，除數(shù)又是質(zhì)數(shù)，所以它只能是23.當(dāng)被除數(shù)較大時，求余數(shù)的一個簡

23、便方法是從被除數(shù)中逐次去掉除數(shù)的整數(shù)倍，從而得到余數(shù).例18 求645763除以7的余數(shù).解：可以先去掉7的倍數(shù)630000余15763，再去掉14000還余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最終得出余數(shù)是6.這個過程可簡潔地記成645763157631763363136.假如你演算力量強(qiáng)，上面過程可以更簡潔地寫成：6457631500010006.帶余除法可以得出下面很有用的結(jié)論：假如兩個數(shù)被同一個除數(shù)除余數(shù)相同，那么這兩個數(shù)之差就能被那個除數(shù)整除.例19有一個大于1的整數(shù)，它除967，1000，2001得到相同的余數(shù)，那么這個整數(shù)是多少？解：由上面的結(jié)論，所求整數(shù)

24、應(yīng)能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即1000-967333×11，2001-100010017×11×13，2001-96710342×11×47.這個整數(shù)是這三個差的公約數(shù)11.請留意，我們不必求出三個差，只要求出其中兩個就夠了.由于另一個差總可以由這兩個差得到.例如，求出差1000-967與2001-1000，那么差2001-967（2001-1000）（1000-967）1001331034.從帶余除式，還可以得出下面結(jié)論：甲、乙兩數(shù)，假如被同一除數(shù)來除，得到兩個余數(shù)，那么甲、乙兩數(shù)之和被這個除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個余數(shù)之和

25、被這個除數(shù)除所得的余數(shù).例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余數(shù)是5914被13除的余數(shù)1.例20有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個數(shù)是15，其次個數(shù)是40，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是前面兩個數(shù)的和，問這串?dāng)?shù)中，第1998個數(shù)被3除的余數(shù)是多少？解：我們可以依據(jù)題目的條件把這串?dāng)?shù)寫出來，再看每一個數(shù)被3除的余數(shù)有什么規(guī)律，但這樣做太麻煩.依據(jù)上面說到的結(jié)論，可以實行下面的做法，從第三個數(shù)起，把前兩個數(shù)被3除所得的余數(shù)相加，然后除以3，就得到這個數(shù)被3除的余數(shù)，這樣就很簡潔算出前十個數(shù)被3除的余數(shù)，列表如下： 從表中可以看出，第九、第十兩數(shù)被3除的余數(shù)與第一、

26、其次兩個數(shù)被3除的余數(shù)相同.因此這一串?dāng)?shù)被3除的余數(shù)，每八個循環(huán)一次，由于1998 8×249 6，所以，第1998個數(shù)被3除的余數(shù)，應(yīng)與第六個數(shù)被3除的余數(shù)一樣，也就是2.一些有規(guī)律的數(shù)，經(jīng)常會循環(huán)地消滅.我們的計算方法，就是循環(huán)制.計算鐘點是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.這十二個數(shù)構(gòu)成一個循環(huán).依據(jù)七天一輪計算天數(shù)是日，一，二，三，四，五，六.這也是一個循環(huán)，相當(dāng)于一些連續(xù)自然數(shù)被7除的余數(shù)0， 1， 2， 3， 4， 5， 6的循環(huán).用循環(huán)制計算時間：鐘表、星期、月、四季，說明人們很早就發(fā)覺循環(huán)現(xiàn)象.用數(shù)來反映循環(huán)現(xiàn)象也是很自然的事.循環(huán)現(xiàn)象，我們還稱作

27、具有“周期性”，12個數(shù)的循環(huán)，就說周期是12，7個數(shù)的循環(huán)，就說周期是7.例20中余數(shù)的周期是8.爭辯數(shù)的循環(huán)，發(fā)覺周期性和確定周期，是很好玩的事.下面我們再舉出兩個余數(shù)消滅循環(huán)現(xiàn)象的例子.在敘述例題之前，再講一個從帶余除式得出的結(jié)論：甲、乙兩數(shù)被同一除數(shù)來除，得到兩個余數(shù).那么甲、乙兩數(shù)的積被這個除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個余數(shù)的積，被這個除數(shù)除所得的余數(shù).例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27999被 11除的余數(shù)是 4×520被 11除后的余數(shù) 9.19977×2852，就知道1997×1997被7除的余數(shù)是2×24.例 21

28、 191997被7除余幾？解：從上面的結(jié)論知道，191997被7除的余數(shù)與21997被7除的余數(shù)相同.我們只要考慮一些2的連乘，被7除的余數(shù).先寫出一列數(shù)2，2×24，2×2×2 8，2×2×2×216，.然后逐個用7去除，列一張表，看看有什么規(guī)律.列表如下： 事實上，只要用前一個數(shù)被7除的余數(shù)，乘以2，再被7除，就可以得到后一個數(shù)被7除的余數(shù).（為什么？請想一想.）從表中可以看出，第四個數(shù)與第一個數(shù)的余數(shù)相同，都是2.依據(jù)上面對余數(shù)的計算，就知道，第五個數(shù)與其次個數(shù)余數(shù)相同，因此，余數(shù)是每隔3個數(shù)循環(huán)一輪.循環(huán)的周期是3.1997

29、3× 665 2.就知道21997被7除的余數(shù)，與21997 被 7除的余數(shù)相同，這個余數(shù)是4.再看一個稍簡單的例子.例2270個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的三倍都恰好等于它兩邊兩個數(shù)的和.這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，55，.問：最右邊一個數(shù)（第70個數(shù)）被6除余幾？解：首先要留意到，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都恰好等于前一個數(shù)的3倍減去再前一個數(shù)：31×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，不過，真的要一個一個地算下去，然后逐個被6去除，那就太麻煩了.能否從前面的余數(shù)，算出后面的余數(shù)呢

30、？能！同算出這一行數(shù)的方法一樣（為什么？），從第三個數(shù)起，余數(shù)的計算方法如下：將前一個數(shù)的余數(shù)乘3，減去再前一個數(shù)的余數(shù)，然后被6除，所得余數(shù)即是.用這個方法，可以逐個算出余數(shù)，列表如下： 留意，在算第八個數(shù)的余數(shù)時，要消滅0×3-1這在學(xué)校數(shù)學(xué)范圍不允許，由于我們求被6除的余數(shù)，所以我們可以 0×3加6再來減 1.從表中可以看出，第十三、第十四個數(shù)的余數(shù)，與第一、其次個數(shù)的余數(shù)對應(yīng)相同，就知道余數(shù)的循環(huán)周期是12.70 12×5+10.因此，第七十個數(shù)被6除的余數(shù)，與第十個數(shù)的余數(shù)相同，也就是4.在一千多年前的孫子算經(jīng)中，有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三

31、數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”依據(jù)今日的話來說：一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數(shù).這樣的問題，也有人稱為“韓信點兵”.它形成了一類問題，也就是初等數(shù)論中解同余式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”，這是由中國人首先提出的.目前很多學(xué)校數(shù)學(xué)的課外讀物都寵愛講這類問題，但是它的一般解法決不是學(xué)校生能弄明白的.這里，我們通過兩個例題，對較小的數(shù)，介紹一種通俗解法.例23有一個數(shù)，除以3余2，除以4余1，問這個數(shù)除以12余幾？解：除以3余2的數(shù)有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23.它們除以12的余數(shù)是：2，5，8，11，2，5，8，11，.除以4余1的數(shù)有：1，