全等三角形的提高拓展經(jīng)典題教師版

1、全等三角形的提高拓展訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)睛全等三角形的性質(zhì)： 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角(3)有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊(4)有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角(6)兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)， 一對(duì)最短邊(或最小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角 )要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元素是關(guān)鍵全等三角形的判定

2、方法：(1)邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(2)角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（3）邊邊邊定理（SSS：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（4）角角邊定理（AAS）:兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（5）斜邊、直角邊定理（HL）:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，在 證明的過程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線.拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系.而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等是幾何證

3、明的基礎(chǔ).例題精講板塊一、截長補(bǔ)短【例11已知 ABC中， A 60o, BD、CE分別平分 ABC和.ACB , BD、CE交于點(diǎn)O ,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【例2】如圖，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），作DMN 60，射線MN與/ DBA外角的平分線交于點(diǎn)N , DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【變式拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，MN DM且與/ ABC外角的平分線交于點(diǎn)MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【例3】已知：如圖，ABCD是正方形，/ FAD=/FAE.求證：BE+DF=AE.【例4】以ABC的AB、AC為邊向

4、三角形外作等邊O .求證：OA平分 DOE .ABD、【例5】如圖所示，ABC是邊長為1的正三角形，BDC是頂角為120的等腰三角形，以DCAB BD ,為頂點(diǎn)作一個(gè)60的 MDN，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，求 AMN的局長.【例 6】五邊形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE = CD, / ABC+/ AED = 180 ,M求證：AD平分/ CDE板塊二、【例7】的度數(shù).全等與角度如圖，在 ABC中， BAC 60 , AD是 BAC的平分線，且【例8】在等腰 ABC中，AB AC ,頂角求 BDC .【例9】如圖所示，在ABC中，AC BCBAN 50 , ABM 60 ,求

5、NMB.【例10】在四邊形ABCD中，已知AB ACAEABC的度數(shù).【例11如圖所示，在四邊形ABCD中，DAC 12 求ACD的度數(shù).【例12】在正 ABC內(nèi)取一點(diǎn)D ,使DA DB ,在 BE BA,求 BED .【例13如圖,在 ABC中，BAC BCA 44 MAC 16 ,求 BMC的度數(shù).全等三角形證明經(jīng)典50題（含答案）1 .已知：AB=4, AC=2, D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù),延長AD至I E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEAEAB+BE即:10-22AD10+2 4AD6又AD是整數(shù)，則AD=52 .已知

6、：D是AB中點(diǎn)，/ACB=90 ,求證：CD, CAB 36 , ABD 48 , DBC 24 ,ABC外取一點(diǎn)E ,使 DBE DBC ,且AE,M為 ABC內(nèi)一點(diǎn)！使得！/MCA 30 , BC求AD ABDC二“ C B23.已知：BC=DE , /B=/E, /C=/D, F 是 CD 中點(diǎn)，求證：/ 1=/2證明：連接BF和EFo因?yàn)?BC=ED,CF=DF, ZBCF=ZEDFob（所以 三角形BCF全等于三角形EDF（邊角邊）。/CF D所以 BF=EF,ZCBF=Z DEFo連接BEo在三角形BEF中,BF二EF。所以 ZEBF=ZBEFo又因?yàn)?/ABC=/AED。所以 Z

7、ABE= Z AEBo所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,Z ABF= Z ABE+ Z EBF= Z AEB+ Z BEF= Z AEF。所以 三角形ABF和三角形AEF全等。所以 /BAF=/EAF (/1 = /2)4.已知：/ 1 = /2, CD=DE , EF/AB ,求證：EF=AC證明：過E點(diǎn)，作EG/AC ,交AD延長線于G則/DEG=/DCA, /DGE=/2又 = CD=DE ./ADdGDE (AAS)EG=AC v EF/AB./ DFE= / 11 = /2 ./ DFE= / DGEEF=EGEF=AC5.已知：AD 平分/BA

8、C, AC=AB+BD ,求證：/ B=2/C證明：在AC上截取AE=AB ,連接ED. AD 平分 / BAC丁. / EAD= / BAD又 = AE=AB , AD=AD丁./AED0/ABD (SAS) ./AED= ZB, DE=DBvAC=AB+BDAC=AE+CECE=DE. C=/EDC vZ AED= ZC+Z EDC=2 / C / B=2/C12 .如圖，四邊形 ABCD中，AB/DC, BE、CE分別平分/ ABC、/ BCD,且點(diǎn)E在AD 上。求證：BC=AB+DC。證明:在BC上截取BF=BA,連接EF./ ABE= /FBE,BE=BE,WMABE0A FBE(S

9、AS),EFB= / A;AB 平行于 CD,則:/A+/ D=180 ；又/ EFB+/ EFC=180，貝UzEFC=/D;又/ FCE= / DCE,CE=CE,故，F(xiàn)CE A DCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.13 .已知：AB/ED , /EAB=/BDE, AF=CD , EF=BC ,求證： / F=/CAB/ED,AE/BD 推出 AE=BD,又有 AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB所以:/C=/F證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于E,（當(dāng)ADBC時(shí)，E點(diǎn)是射線AB,DC的交點(diǎn)）。則： AED是等腰三角形。所以：AE=DE

10、而 AB=CD所以：BE=CE （等量加等量，或等量減等量）所以：4BEC是等腰三角形所以：角B=i1C.15. P是/ BAC 平分線 AD 上一點(diǎn)，ACAB，求證：PC-PBAC-AB作B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B 因?yàn)锳D是角BAC的平分線，B 在線段AC上（在AC中間，因?yàn)锳B較短） 因?yàn)?PCPB +BC,PCPB B C,而BC=AC-AB=AC-AB,所以 PC-PB AACD AECD 都面積相等。24. (7 分)如圖， ABC 中，/ BAC=90 度，AB=AC直線CE交BA的延長線于F.是/ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點(diǎn)的直線于求證：BD=2CE.證明：延長BA、CE

11、,兩線相交于點(diǎn)Fv BEXCE ./ BEF=/ BEC=90在zBEF和4BEC中/FBE=/CBE, BE=BE, / BEF= / BEC.BEFABEC(ASA)EF=EC. CF=2CE vZ ABD+ / ADB=90 , ZACF+ / CDE=90又. / ADB= ZCDE ./ABD= /ACF在AABD和AACF中/ ABD= / ACF, AB=AC, / BAD= / CAF=90.ABDAACF(ASA)BD=CFBD=2CE25、（10分）如圖：DF=CE , AD=BC , /D=/C。求證：AEDBFC。26、（10分）如圖：AE、BC交于點(diǎn)M, F點(diǎn)在AM上

12、，BE / CF,BE=CF。求證：AM是AABC的中線。證明：v BE | CF. ./E=/CFM, /EBM=/FCMv BE=CF.BEMACFMBM=CMAM是AABC的中線.27、（10分）如圖：在 ABC中，BA=BC, D是AC的中點(diǎn)。求證：BDXACo三角形ABD和三角形BCD的三條邊都相等，它們?nèi)?，所以?們的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC28、（10分）AB=AC , DB=DC , F是AD的延長線上的一點(diǎn)求證：BF=CF證明：在 ABD與4ACD中AB=ACBD=DCADB和角CDB相等，它AD=AD.ABDAACD ./ADB= / ADC ./ BD

13、F=/FDC在4BDF與4FDC中BD=DCZ BDF= ZFDCDF=DF/.FBDAFCDBF=FC29、（12分）如圖：AB=CD , AE=DF , CE=FB 0 求證：AF=DE 。因?yàn)锳B=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE二三角形CDF因?yàn)?由DCB二角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF二三角形CDE 所以AF=DEAB /30公園里有一條“ Z字形道路ABCD,如圖所示，其中CD,在AB, CD, BC三段路旁各有一只小石凳 E, F, M,且BE = CF, M在BC的中點(diǎn),試說明三只石凳E, F, M恰好在一條直線上證：v AB平行CD

14、 （已知）./B=/C （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.M在BC的中點(diǎn)（已知）EM=FM （中點(diǎn)定義）在4BME和4CMF中BE=CF （已知）/B=/C （已證）EM=FM （已證） .BME 全等與ACMF （SAS） . / EMB= / FMC （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） 丁. / EMF= / EMB+ / BMF= / FMC+ / BMF= / BMC=180 （等式的性質(zhì)） .E, M, F在同一直線上 31.已知：點(diǎn) A、F、E、C在同一條直線上， AF = CE, BE / DF , BE = DF.求證：ABEACDF.證明：v AF=CE . AF+EF=CE+EF . A

15、E=CF v BE/DF丁. / BEA= / DFC又 = BE=DF /ABE CDF (SAS)32 .已知：如圖所示，AB = AD, BC=DC, E、F分另是DC、BC的中點(diǎn)，求證：AE=AF。連2g BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等腰兩底角相等得：角ABC=i! ADC在結(jié)合已知條件證得：ADEAABF得 AE=AF33 .如圖，在四邊形 ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，/ 1 = /2, /3=/4,求證：/5=/6.因?yàn)榻? 二角2/ 3=/4所以角ADC= ABC.又因?yàn)锳C是公共邊，所以AAS=三角形ADC全等于三角形ABC.D所以BC等于DC,角3等于角

16、4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以/ 5= / 634 .已知 AB/DE, BC/ EF, D, C 在 AF 上，且 AD=CF,求證：ABCDEF.因?yàn)镈,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因?yàn)锳B平行DE , BC平行EF所以角A+角EDF,角BCA=ij F （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）然后SSA （角角邊）三角形全等35 .已知：如圖，AB=AC, BD?AC, CE?AB,垂足分別為 D、E, BD、CE相交于點(diǎn)F,求證：BE=CD.所以 /EBC=/DCBBE證明：因?yàn)锳B=AC,因?yàn)?BDXAC, CEXAB所以 /BEC=/CDBBC=CB （公共邊）則有三

17、角形EBC全等于三角形DCB所以BE = CD36、如圖，在 ABC中，AD為/ BAC的平分線,求證：DE=DF.AAS 證AD ADF37 .已知：如圖，AC BC 于 C, DE AC 于 E , AD AB 于 A , BC =AE .若 AB = 5，求 AD 的長?角 C=t E=90 度角 B= EAD=90 度-角 BACBC=AEABCADAEAD=AB=538 .如圖：AB=AC , MEXAB, MFXAC,垂足分別為 E、F,ME=MF 。求證：MB=MC證明v AB=AC.ABC是等腰三角形. B=/CX v ME=MF , BEM和 CEM是直角三角形 .BEM 全

18、等于 CEMMB=MC40.在 ABC 中，ACB 90 , AC BC ,直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C ,且 AD MN 于 D , BE MN于E .當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ADC* CEB ;DE AD BE ;(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明;(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí), 若不成立，說明理由.(1)證明：=/ ACB=90 ,(2) .ACD+/ BCE=90 ,(3)而 ADLMN 于 D, BEXMN 于 E,(4) . ADC= / CEB=90 , / BCE+/ CBE=90 ,(5) . ACD= /CBE.(6)在 RtADC 和 R

19、tCEB 中， / ADC= / CEB/ACD= / CBE AC=CB ,(7) a RtAADCRtACEB (AAS),(8) a AD=CE , DC=BE,(9) . . DE=DC+CE=BE+AD ;(2)不成立，證明：在AADC 和ACEB 中，/ADC= / CEB=90 /ACD=/CBE AC=CB ,.ADCACEB (AAS), . AD=CE , DC=BE , . DE=CE-CD=AD-BE ;41.如圖所示，已知 AE AB, AFLAC, AE=AB , AF=AC求證：(1) EC=BF; (2) ECXBF(1)證明；因?yàn)锳E垂直AB(2)所以角 EA

20、B=ij EAC+角 CAB=90 度(3)因?yàn)锳F垂直AC(4)所以角 CAF=ij CAB+角 BAF=90 度(5)所以角 EAC=i! BAF(6)因?yàn)?AE=AB AF=AC(7)所以三角形EAC和三角形FAB全等(8)所以 EC=BF(9)角 ECA= F(10) (2)延長FB與EC的延長線交于點(diǎn)G(11)因?yàn)榻荅CA=ij F(已證)(12)所以角 G=i! CAF(13)因?yàn)榻荂AF=90度(14)所以EC垂直BF42.如圖：BEXAC, CFAB, BM=AC , CN=AB。求證：(1) AM=AN ; (2) AMXANo證明：NA(1) v BEXAC, CFAB丁.

21、 / ABM+ / BAC=90 , / ACN+ / BAC=90 ./ABM= /ACNv BM=AC, CN=AB.ABMANACAM=AN(2),.ABMANAC. / BAM= / N. / N+ / BAN=90/ BAM+ / BAN=90即 / MAN=90 .AM LAN43 .如圖，已知/ A=/D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC/ EF連接BF、CE,證明 ABF全等于 DEC (SAS),然后通過四邊形BCEF對(duì)邊相等的證得平行四邊形 BCEF從而求得BC平行于EF44 .如圖，已知AC / BD , EA、EB分別平分/ CAB和/ DBA ,CD過點(diǎn)

22、E,則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說明理由在AB上取點(diǎn)N，使得AN=AC/ CAE= / EAN ,AE為公共邊，所以三角形CAE全等三角形EAN所以/ ANE= /ACE又AC平行BD所以/ ACE+ /BDE=180而/ ANE+ /ENB=180所以/ ENB= /BDE/ NBE= / EBNBE為公共邊，所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BD45、（10分）如圖,已知：AD是BC上的中線，且DF=DE .求證:BE/CF.證明：,. AD是中線BD=CDv DF=DE , / BDE= Z CDF .-.BDEACDF ./ BED= /CFDBE | CF46、（10分）已知：如圖，AB二 求證：AB / CD .證明：v DEXAC, BFXAC, ./DEC= / AFB=90 , 在 RtA DEC 和 RtBFA 中, RtA DEC RtA