力矩與力偶的一些練習(xí)習(xí)題

1、第2章 力矩與力偶2.1 力對點(diǎn)的矩從實(shí)踐中知道，力對物體的作用效果除了能使物體移動外，還能使物體轉(zhuǎn)動，力矩就是度量力使物體轉(zhuǎn)動效果的物理量。力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)與哪些因素有關(guān)呢現(xiàn)以扳手?jǐn)Q螺帽為例，如圖所示。手加在扳手上的力，使扳手帶動螺帽繞中心轉(zhuǎn)動。力越大，轉(zhuǎn)動越快；力的作用線離轉(zhuǎn)動中心越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動也越快；如果力的作用線與力的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)動中心點(diǎn)的連線不垂直，則轉(zhuǎn)動的效果就差；當(dāng)力的作用線通過轉(zhuǎn)動中心時(shí)，無論力多大也不能扳動螺帽，只有當(dāng)力的作用線垂直于轉(zhuǎn)動中心與力的作用點(diǎn)的連線時(shí)，轉(zhuǎn)動效果最好。另外，當(dāng)力的大小和作用線不變而指向相反時(shí)，將使物體向相反的方向轉(zhuǎn)動。在建筑工地上使用撬杠抬起重物，使用

2、滑輪組起吊重物等等也是實(shí)際的例子。通過大量的實(shí)踐總結(jié)出以下的規(guī)律：力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動的效果，與力的大小成正比，與轉(zhuǎn)動中心到力的作用線的垂直距離d也成正比。這個(gè)垂直距離稱為力臂，轉(zhuǎn)動中心稱為力矩中心(簡稱矩心)。力的大小與力臂的乘積稱為力F對點(diǎn)之矩(簡稱力矩)，記作。計(jì)算公式可寫為 式中的正負(fù)號表示力矩的轉(zhuǎn)向。在平面內(nèi)規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動時(shí)，力矩為正；力使物體作順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動時(shí)，力矩為負(fù)。因此，力矩是個(gè)代數(shù)量。力矩的單位是或。由力矩的定義可以得到如下力矩的性質(zhì)：(1)力對點(diǎn)的矩，不僅決定于力的大小，同時(shí)與矩心的位置有關(guān)。矩心的位置不同，力矩隨之不同；(2)當(dāng)力的大小為零或力臂為零

3、時(shí)，則力矩為零；(3)力沿其作用線移動時(shí)，因?yàn)榱Φ拇笮?、方向和力臂均沒有改變，所以，力矩不變。(4)相互平衡的兩個(gè)力對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和等于零。例分別計(jì)算圖中、對點(diǎn)的力矩。解 從圖22中可知力和對點(diǎn)的力臂是和。故mo(F)=±F1= F1sin300 =49××= mo(F)=±F2=F2=×=必須注意：一般情況下力臂并不等于矩心與力的作用點(diǎn)的距離，如的力臂是,不是。2.2 合力矩定理在計(jì)算力對點(diǎn)的力矩時(shí)，有些問題往往力臂不易求出，因而直接按定義求力矩難以計(jì)算。此時(shí)，通常采用的方法是將這個(gè)力分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上便于求出力臂的分力，在由多個(gè)分力力

4、矩的代數(shù)和求出合力的力矩。這一有效方法的理論根據(jù)是合力矩定理，即：如果有個(gè)平面匯交力作用于點(diǎn)，則平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩，等于力系中各分力對同一點(diǎn)力矩的代數(shù)和：即 mo(FR)=mo(F1)+ mo(F2) + mo(Fn) =mo(F) 稱為合力矩定理。合力矩定理一方面常?？梢杂脕泶_定物體的重心位置；另一方面也可以用來簡化力矩的計(jì)算。這樣就使力矩的計(jì)算有兩種方法：在力臂已知或方便求解時(shí),按力矩定義進(jìn)行計(jì)算；在計(jì)算力對某點(diǎn)之矩，力臂不易求出時(shí)，按合力矩定理求解，可以將此力分解為相互垂直的分力，如兩分力對該點(diǎn)的力臂已知，即可方便地求出兩分力對該點(diǎn)的力矩的代數(shù)和，從而求出已知力對該點(diǎn)矩

5、。例 計(jì)算圖中對點(diǎn)之矩。解 對點(diǎn)取矩時(shí)力臂不易找出。將F分解成互相垂直的兩個(gè)分力FX、FY，它們對點(diǎn)的矩分別為 mo(FX)=FXb=Fbsinmo(FY)= FYa=Facos由合力矩定理mo(F)= mo(FX)+ mo(FY)= Fbsin+ Facos例 槽形桿用螺釘固定于點(diǎn)，如圖（a）所示。在桿端點(diǎn)作用一力，其大小為，試求力對點(diǎn)的矩。解 方法1(按力矩定義計(jì)算)：本題中力的大小和方向均已知，要計(jì)算力F對點(diǎn)的矩，關(guān)鍵是找出力臂的長度。為此，自矩心作力作用線的垂線，線段就是力臂，如圖（b）所示。由圖（b）中的可得 而在中，所以 于是力F對點(diǎn)的矩為 mo(F)=Fd=400×=3

6、3560Nmm“一”號表示力F將使槽形桿繞點(diǎn)有順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動的趨勢。方法2(按合力矩定理計(jì)算)：將力F分解為水平力FX和鉛直力FY，如圖（c）所示。由合力矩定理知，力F對點(diǎn)的矩就等于分力FX、FY對同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和，即mo(F)= mo(FX)+ mo(FY) =FX×120+FY×40 =400sin600×120+400cos600×40=41560+8000=33560Nmm可見兩種方法結(jié)果完全一樣。但在方法1中，求力對點(diǎn)的矩需要通過幾何關(guān)系才能找出力臂，計(jì)算比較麻煩；而方法2用合力矩定理計(jì)算則比較簡便。在實(shí)際計(jì)算中，常用合力矩定理來求力矩或合力

7、作用線的位置。2.3 力偶及其基本性質(zhì)2.4 力偶和力偶矩在生產(chǎn)實(shí)踐和日常生活中，為了使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動，常常在物體上施加兩個(gè)大小相等、方向相反、不共線的平行力。例如鉗工用絲錐攻絲時(shí)兩手加力在絲杠上(圖所示)。當(dāng)大小相等、方向相反、不共線的兩個(gè)平行力和作用在同一物體時(shí)，它們的合力，即和沒有合力。但因二力不共線，所以也不能平衡。它們的作用效果是使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動。力學(xué)上把這樣大小相等、方向相反、不共線的兩個(gè)平行力叫力偶。用符號(,)表示。兩個(gè)相反力之間垂直距離叫力偶臂(如圖所示)，兩個(gè)力的作用線所在的平面稱為力偶作用面。力偶不能再簡化成比力更簡單的形式，所以力偶與力一樣被看成是組成力系的基本元素。如何度

8、量力偶對物體的作用效果呢由實(shí)踐可知，組成力偶的力越大，或力偶臂越大，則力偶使物體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)越強(qiáng)；反之，就越弱。這說明力偶的轉(zhuǎn)動效應(yīng)不僅與兩個(gè)力的大小有關(guān)，而且還與力偶臂的大小有關(guān)。與力矩類似，用力偶中一個(gè)力大小和力偶臂的乘積并冠以適當(dāng)正負(fù)號(以示轉(zhuǎn)向)來度量力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，稱為力偶矩，用表示。即 使物體逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動時(shí)，力偶矩為正；反之為負(fù)。如圖所示。所以力偶矩是代數(shù)量。力偶矩的單位與力矩的單位相同，常用牛頓·米()。通過大量實(shí)踐證明，度量力偶對物體轉(zhuǎn)動效應(yīng)的三要素是：力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向、力偶的作用面。不同的力偶只要它們的三要素相同，對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)就是一樣的。2.4.1

9、 力偶的基本性質(zhì)性質(zhì)1 力偶沒有合力，所以力偶不能用一個(gè)力來代替，也不能與一個(gè)力來平衡。從力偶的定義和力的合力投影定理可知，力偶中的二力在其作用面內(nèi)的任意坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和恒為零，所以力偶沒有合力，力偶對物體只能有轉(zhuǎn)動效應(yīng)，而一個(gè)力在一般情況下對物體有移動和轉(zhuǎn)動兩種效應(yīng)。因此，力偶與力對物體的作用效應(yīng)不同，所以其不能與一個(gè)力等效，也不能用一個(gè)力代替，也就是說力偶不能和一個(gè)力平衡，力偶只能和轉(zhuǎn)向相反的力偶平衡。性質(zhì)2 力偶對其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩恒等于力偶矩，且與矩心位置無關(guān)。圖所示力偶(,)，其力偶臂為，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，其力偶矩為，在其所在的平面內(nèi)任選一點(diǎn)為矩心，與離的垂直距離為，則它到的垂直距

10、離為。顯然，力偶對點(diǎn)的力矩是力與分別對點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。其值為： 由于點(diǎn)是任意選取的，所以性質(zhì)2已得證。性質(zhì)3 在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶等效。稱為力偶的等效條件。從以上性質(zhì)可以得到兩個(gè)推論。推論1 力偶可在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不改變它對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，即力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)與它在作用面內(nèi)的位置無關(guān)。例如圖(a)作用在方向盤上的兩上力偶(，)與（，）只要它們的力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同，作用位置雖不同，轉(zhuǎn)動效應(yīng)是相同的。推論2 在力偶矩大小不變的條件下，可以改變力偶中的力的大小和力偶臂的長短；而不改變它對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)。例如圖(b)所示，工人在利用

11、絲錐攻螺紋時(shí)，作用在螺紋杠上的(，)或（，），雖然和不相等，但只要調(diào)整力的大小，使力偶矩，則兩力偶的作用效果是相同的。從上面兩個(gè)推論可知，在研究與力偶有關(guān)的問題時(shí)，不必考慮力偶在平面內(nèi)的作用位置，也不必考慮力偶中力的大小和力偶臂的長短，只需考慮力偶的大小和轉(zhuǎn)向。所以常用帶箭頭的弧線表示力偶，箭頭方向表示力偶的轉(zhuǎn)向，弧線旁的字母m或者數(shù)值表示力偶矩的大小，如圖所示。2.5 平面力偶系的合成與平衡2.5.1 平面力偶系的合成作用在物體上的一群力偶或一組力偶，稱為力偶系。作用面均在同一平面內(nèi)的力偶系稱為平面力偶系。因?yàn)榱ε紝ξ矬w的作用效果是轉(zhuǎn)動，所以同一平面上的多個(gè)力偶對物體的作用效果也是轉(zhuǎn)動，作用

12、在同一物體上的多個(gè)力偶的合成的結(jié)果必然也應(yīng)該是一個(gè)力偶，并且這個(gè)力偶的力偶矩等于各個(gè)分力偶的力偶矩之和。即作用在同一平面上的若干力偶，可以合成為一個(gè)合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和：即 例 如圖所示，在物體的某平面內(nèi)受到三個(gè)力偶的作用，設(shè)，求它們的合力偶矩。解 各力偶矩分別為由(24)式可得合力矩為即合力偶矩的大小為，順時(shí)針轉(zhuǎn)向，作用在原力偶系的平面內(nèi)。 2.4.2 平面力偶系的平衡條件平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，當(dāng)合力偶矩等于零時(shí)，物體處于平衡狀態(tài)；反之，力偶矩不為零，則物體必產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)而不平衡。這樣可得到平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于

13、零。即： 上式稱為平面力偶系的平衡方程。應(yīng)用式（解決平面力偶系的平衡問題，只能求出一個(gè)未知量。例 梁上作用有一力偶，其轉(zhuǎn)向如圖(a)，力偶矩。梁長，梁的自重不計(jì)，求、處支座反力。解 梁的端是可動鉸支座，其支座反力的方向是沿垂直方向的；梁的端是固定鉸支座，其反力的方向本來是未定的，但因梁上只受一個(gè)力偶的作用，根據(jù)力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，必須與組成一個(gè)力偶。這樣的方向也只能是沿垂直方向的，假設(shè)與的指向如圖(b)所示，由平面力偶系的平衡條件得 ， ()()本章小結(jié)1力矩是力使物體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量。力矩的大小等于力與矩心到力的作用線的垂直距離的乘積，力矩的轉(zhuǎn)向用正、負(fù)號來表示；因而在平面問題中

14、，力矩可看成是代數(shù)量。2力偶是由大小相等、方向相反、作用線平行但不重合的兩個(gè)力所組成的一個(gè)特殊力系。力和力偶是力學(xué)中兩個(gè)最基本的機(jī)械作用量。力對剛體作用一般都有移動和轉(zhuǎn)動兩種效應(yīng)；而力偶對剛體卻只有轉(zhuǎn)動效應(yīng)，沒有移動效應(yīng)。力偶既不能用一個(gè)力代替，也不能與一個(gè)力平衡，力偶只能用力偶來平衡。力偶使剛體轉(zhuǎn)動的效應(yīng)用力偶矩來度量。力偶矩的大小等于力偶中任一力的大小與兩力之間的垂直距離的乘積，力偶矩的轉(zhuǎn)向用正、負(fù)號來表示，因而在平面問題中，力偶矩可看成是代數(shù)量。力矩是力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量，而力偶是最基本的機(jī)械作用量，力矩與力偶是兩種不同的概念，不能混淆。3力偶在任一軸上的投影恒等于零；力偶對其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置無關(guān)；力偶可以在其剛體的作用面內(nèi)任意移動，也可以在力偶矩保持不變的條件下同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變它對剛體的效應(yīng)。但必須注意，所謂任意移動是指在所作用的剛體內(nèi)移動，而不能將它移動到另外的剛體上。掌握力偶的這些性質(zhì)，無論對于力系簡化的理論或解決有關(guān)力偶作用下物體的平衡問題，都是非常重要的。4平面力偶系合成的結(jié)果是一個(gè)合力偶；合力偶的力偶矩等于力偶系中各分力偶的力偶矩的代數(shù)和。平面力偶系平衡的必要和充分條件