1.2向量的概念及運(yùn)算ppt課件

1、高校理科通識教育平臺數(shù)學(xué)課程微積分學(xué)(二)多元微積分學(xué)空間解析幾何空間解析幾何授課教師 孫學(xué)峰向量代數(shù)與空間解析幾何1 向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示一、向量的基本概念一、向量的基本概念1. 向量向量: 既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量, 稱為向量稱為向量.(或矢量或矢量)2. 向量的幾何表示法向量的幾何表示法: 用一條有方向的線段來表示向量用一條有方向的線段來表示向量.以線段的長度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向.ABa以A為起點(diǎn), B為終點(diǎn)的向量, 記為AB, , a .a向量AB的大小叫做向量的模. 記為 |AB| 或 . |a( 一一 ) 向量的

2、概念向量的概念3. 自由向量自由向量ab自由向量自由向量: 只有大小、方向只有大小、方向, 而無特定起點(diǎn)而無特定起點(diǎn)的向量的向量. 具有在空間中可以任意平具有在空間中可以任意平移的性質(zhì)移的性質(zhì).,ba與當(dāng)向量 大小相等且方向相同,記作相等與稱 .baba特別特別: 模為模為1的向量稱為單位向量的向量稱為單位向量.模為0的向量稱為零向量.它的方向可以看作是任意的.1. 向量加法向量加法.(1) 平行四邊形法則設(shè)有 (若起點(diǎn)不重合, 可平移至重合). 作以 為鄰邊的平行四邊形, 對角線向量, 稱為 的和, 記作ba、ba與.baba、baab(2) 三角形法則baab將 之一平行移動,使 的起點(diǎn)與

3、 的終點(diǎn)重合, 則由 的起點(diǎn)到 的終點(diǎn)所引的向量為ba、aba.bab( 二二 ) 向量的加減法向量的加減法2. 向量加法的運(yùn)算規(guī)律向量加法的運(yùn)算規(guī)律.(1) 交換律: abbabaabccbcba(2) 結(jié)合律:)()(cbacba例如例如:4321aaaass1a2a3a4aabababba3. 向量減法向量減法.(1) 負(fù)向量: 與 模相同而方向相反的向量, 稱為 的負(fù)向量.記作aa. aaa(2) 向量減法.規(guī)定:)( baba 平行四邊形法則平行四邊形法則.將 之一平移, 使起點(diǎn)重合, 作以 為鄰邊的平行四邊形, 對角線向量, 為 ba、ba和.ba 三角形法則三角形法則.將 之一平

4、移, 使起點(diǎn)重合, 由 的終點(diǎn)向 的終點(diǎn)作一向量, 即為 ba、.baabbaabbaabbba1. 定義定義實(shí)數(shù)與向量 的 為一個向量.aa乘積其中: |aa當(dāng) 0時, ;同向與 aa當(dāng) 0時, ;反向與 aa當(dāng) = 0時, .,它的方向可以是任意的oa2. 數(shù)與向量的乘積的運(yùn)算規(guī)律數(shù)與向量的乘積的運(yùn)算規(guī)律:(1) 結(jié)合律:auauau)()()(2) 分配律:auaau)(baba )(a( 0)( 三三) 數(shù)與向量的乘法數(shù)與向量的乘法結(jié)論結(jié)論: 設(shè)設(shè) 表示與非零向量表示與非零向量 同向的同向的單位向量單位向量.aa那么aaa|或|1aaaaa定理定理1 : 兩個非零向量兩個非零向量 平行

5、平行ba與. ba存在唯一實(shí)數(shù)，使得(方向相同或相反)例例1 : 在平行四邊形在平行四邊形ABCD中中, 設(shè)設(shè)AB= , AD =ab試用 表示向量MA, MB, MC 和MD.ba和其中, M是平行四邊形對角線的交點(diǎn).解:ba由= AC = 2MC有MC = )(21ba又 = BD = 2MDab)(21ab有MD = MB = MD )(21)(21baab)(21baMA = MC abDABCM1. 點(diǎn)在軸上投影點(diǎn)在軸上投影設(shè)有空間一點(diǎn)A及軸u, 過A作u軸的垂直平面,平面與u軸的交點(diǎn)A叫做點(diǎn)A在軸u上的投影.AAu( 四四 ) 向量在軸上的投影向量在軸上的投影2. 向量在軸上的投影

6、向量在軸上的投影.設(shè)有向線段AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸u上的投影分別為點(diǎn)A 和B . 定義定義BBAAu向量AB在軸u上的投影向量或射影向量.稱有向線段A B 為如果向量e為與軸u的正方向的單位向量，xeBA則稱 x 為向量 AB 在軸u上的投影，記作ABjuPr即xABjuPr則向量 AB 的投影向量 AB 有：BBAAue顯然；ABjuPrBA| |ABjuPrBA當(dāng) 與u軸同向時，BA當(dāng) 與u軸反向時，BA3. 兩向量的夾角兩向量的夾角設(shè)有非零向量ba,(起點(diǎn)同).b) ,(baa規(guī)定：正向間位于0到之間的那個夾角為 的夾角,記為 或) ,(ba) ,(abba,ba,(1) 假設(shè) 同向，

7、那么ba ,0) ,(ba(2) 假設(shè) 反向，那么ba ,) ,(ba(3) 假設(shè) 不平行，那么ba ,), 0() ,(ba4. 向量的投影性質(zhì)向量的投影性質(zhì).定理定理 2. (投影定理投影定理) 設(shè)向量設(shè)向量AB與軸與軸u的夾角的夾角為為那么 PrjuAB = | AB |cos BBAAuB1定理定理3 兩個向量的和在軸兩個向量的和在軸u上的投影等于兩個上的投影等于兩個向量在該軸上的投影的和。向量在該軸上的投影的和。推論推論:nuuunuajajajaaajPrPrPr)(Pr2121BBAAuCC1a2a21aa2121PrPr)(Prajajaajuuu即ajajuuPr)(Pr即定

8、理定理4: 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)與向量與向量 的乘積在軸的乘積在軸u上的上的投影，等于投影，等于乘以向量乘以向量 在該在該軸上的投影。軸上的投影。aa二二. . 空間直角坐標(biāo)系與空間向量的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系與空間向量的坐標(biāo)表示1. 空間直角坐標(biāo)系的建立空間直角坐標(biāo)系的建立ozxyzxy x軸(橫軸)、 y軸(縱軸)、z軸(豎軸)組成了一個空間直角坐標(biāo)系, 又稱笛卡爾(Descarstes)坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn).o(一一) 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系2. 坐標(biāo)面坐標(biāo)面. 由三條坐標(biāo)軸的任意兩條確定的平面, 稱為坐標(biāo)面, 分別叫x y面. y z面、z x面, 它們將空間分成八個卦限.zIVVIVV

9、II0 xyVIIIIIIIII1. 點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示.RQP (x, y, z)記: 點(diǎn)M為M (x, y, z)OxyzMxyz(二二) 空間向量的表示空間向量的表示(1) 若點(diǎn)M在yz面上, 那么 x = 0; 在zx面上, 那么 y = 0; 在xy面上, 那么 z = 0.(2) 若點(diǎn)M在 x 軸上, 那么 y = z = 0在 y 軸上, 那么 x = z = 0在 z 軸上, 那么 x = y = 0特別特別:2. 空間向量的坐標(biāo)表示空間向量的坐標(biāo)表示(1). 起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量OM設(shè)點(diǎn) M (x, y, z)以 i, j, k 分別表示

10、沿 x, y, z軸正向的單位向量, 稱為基本單位向量. OM = OA + AN +NM= OA + OB + OC = xi + yj + zkx, y, z,分別是OM 在三坐標(biāo)軸上的投影, 稱為OM 的坐標(biāo).zijkMoxyCABzyxN簡記為 OM =x, y, z稱為向量OM的坐標(biāo)表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：22|NMONOM222zyx從而：222|OCOBOA222zyxOM(1)(2). 起點(diǎn)不在原點(diǎn)O的任一向量 a = M1M2設(shè)點(diǎn) M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)a = M1M2 = OM2 OM1= (x2 i+ y2

11、 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k即 a = x2 x1 , y2 y1 , z2 z1為向量a的坐標(biāo)表示式記 ax = x2 x1 , ay = y2 y1 , az = z2 z1分別為向量 a 在三個坐標(biāo)軸上的投影, 稱為a的坐標(biāo).zxyM1M2ao22212xyzM Maaa由此得兩點(diǎn)間距離公式：由此得兩點(diǎn)間距離公式：222212121()()()xxyyzz22212212121()()()MMxxyyzz 12,xyzaM Ma aa(3). 運(yùn)算性質(zhì)設(shè) a =ax , ay , a

12、z, b =bx , by , bz, 且為常數(shù) a b = ax bx , ay by , az bz a = ax , ay , az證明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a + b = ax + bx , ay + by , az + bz (4) 兩向量平行的充要條件.設(shè)非零向量 a =ax , ay , az, b =bx , by , bz, 即ax

13、 =bx, ay =by, az =bz,于是注: 在(*) 式中, 規(guī)定若某個分母為零相應(yīng)的分子也為零. a / bzzyyxxbababa(*) a / b a = b那么(為常數(shù))例如：4, 0, 6 / 2, 0, 31. 方向角方向角: 非零向量非零向量a 與與x, y, z 軸正軸正向夾角向夾角, , 稱為稱為a 的方向的方向角角.2. 方向余弦方向余弦: 方向角的余弦方向角的余弦 cos, cos, cos 稱為方向余稱為方向余弦弦.3. 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式故有 ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a |

14、cosayzx0設(shè)a =ax, ay, az,(三三) 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式又：222|zyxaaaa222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa(4)(5)由(5)式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1(6)設(shè)ao是與a同向的單位向量ao|aa222222222,yxzxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa= (cos , cos , cos )(7)例例2. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)M1(2, 2, )和和M2(1, 3, 0). 計算向量計算向量M1 M2的模的模, 方向余弦和方向角方向余弦和方向角.2 解: M1 M2 = 1, 1, 2|M1 M2 | =; 24)2(1) 1(222;22cos ,21cos ,21cos43 ,3 ,32例例3: 在在z軸上求與兩點(diǎn)軸上求與兩點(diǎn) A(4, 1, 7) 和和B(3, 5, 2)等距離的點(diǎn)等距離的點(diǎn).解: 設(shè)該點(diǎn)為M(0, 0, z)由題設(shè) |MA| = |MB|.即:22