高二數(shù)學(xué)教案：第二章圓錐曲線與方程2.1~01《曲線與方程》(人教A版選修2-1)

1、第二章圓錐曲線與方程課時(shí)：01課型：新授課一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用技巧與方法.（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)通過對(duì)求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各方面知識(shí)的能力.（三）學(xué)科滲透點(diǎn)通過對(duì)求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動(dòng)點(diǎn)的軌跡，為學(xué)習(xí)物理等學(xué)科打下扎實(shí)的基礎(chǔ).二、教材分析1重點(diǎn)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法.（解決辦法：對(duì)每種方法用例題加以說明，使學(xué)生掌握這種方法.）2. 難點(diǎn)：作相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方法.（解決辦法：先使學(xué)生了解相關(guān)點(diǎn)法的思路，再用例題進(jìn)行講解.）教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。教學(xué)設(shè)想：激發(fā)

2、學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.三、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)引入大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是：（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；（2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).我們已經(jīng)對(duì)常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進(jìn)行過這兩個(gè)方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來(lái)對(duì)根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分析.（二）幾種常見求軌跡方程的方法1. 直接法由題設(shè)所給（或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出）的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡(jiǎn)得曲線的方程，這種方法叫直接法.例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于

3、k的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；過點(diǎn)A(a，o)作圓O：x2+y2=R2(aRo)的割線，求割線被圓0截得弦的中點(diǎn)的軌跡.對(duì)分析：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：|0P|=2R或|OP|=0.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，則有|0P|=2R或|OP|=0.即x2+y2=4R或x2+y2=0.故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=4R?或x2+y2=0.對(duì)分析：題設(shè)中沒有具體給出動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)由學(xué)生演板完成，解答為：設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x,y)，連結(jié)0M則OMAM/kOM-kAM=-1

4、,化簡(jiǎn)亀心葉其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點(diǎn)).2定義法利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件.例2設(shè)疑圓=4上的動(dòng)點(diǎn)，另有點(diǎn)卻點(diǎn)0),繃AQ的垂直平分線I交半徑OQ于點(diǎn)P(見圖2-45)，當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程.點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上，|PQ|=|PA|.又P在半徑OQh.|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R.故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義寫出P點(diǎn)的軌跡方程.解：連

5、接PA/l丄PQ|PA|=|PQ|.又P在半徑OQ上.|PO|+|PQ|=2.A|P0HPA|=2(且273=|OA|.由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以O(shè)A為焦點(diǎn)的橢圓.由2a=2,=得a=1,c=-y-.從而疋=扌.故所求橢圓方程為仗-尸+羊=1即為點(diǎn)P的軌跡方程.43. 相關(guān)點(diǎn)法若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0,yO)的變動(dòng)而變動(dòng)，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P的軌跡方程這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法).例3已知拋物線y2=x+1，定點(diǎn)A(3,1)、B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP：PA=1：2，當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P

6、的軌跡方程.分析：P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的原因是B點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先找出點(diǎn)P與點(diǎn)B的聯(lián)系.解：設(shè)點(diǎn)P(x,y)，且設(shè)點(diǎn)B(xO,yO)則有y；=x0+1BP：PA=1：2,且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn).由定比分點(diǎn)公式得：11+211+2%+33即2yo+i1y0=尹蘿將此式代入y：=坯+1中，并整理得；31x=fy3-y+即為所求軌跡的方程.它是一條拋物線.乙4. 待定系數(shù)法求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.例4已知拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸、實(shí)軸在y軸上的雙曲繃有兩個(gè)公瓶隔=2顒雙疇昭f仍m曲線方程.分析：因?yàn)殡p曲線以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，實(shí)軸在y軸上，所以可設(shè)雙曲線

7、方=C0+COSP=sin.Cl+sinP解:朋求雙曲劫程為寧看T將yxW彷程邂得:2222ax-4bx+ab=0拋物線和雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對(duì)稱性，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根.=16b4-4a4b2=0,即卩a2=2b.(以下由學(xué)生完成)y=2sIt：(4b2-a2)x2-a3b2=0.由弦長(zhǎng)公式得：=Jl+2?毘)2_4掘Xg卜)(需即a2b2=4b2-a2雙曲線的方程為-xa=l.u(三) 鞏固練習(xí)用十多分鐘時(shí)間作一個(gè)小測(cè)驗(yàn)，檢查一下教學(xué)效果練習(xí)題用一小黑板給出.ABC邊的兩個(gè)端點(diǎn)是B(0,6)和C(0,-6)，另兩邊斜率的積是名求

8、頂點(diǎn)A的軌跡.2. 點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1:2,求點(diǎn)P的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形?3. 求拋物線y2=2px(p0)上各點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程.答案：1. 舟-密=l(yO6或Q(直接法)30y12. 羊+專軌跡是長(zhǎng)半軸等于4、短半軸等于2朽的橢圓(定義1612義法)3. 訃朕點(diǎn)法)設(shè)P(xO,刑是拋物線上任意-點(diǎn),F(|,0)是焦點(diǎn)M(x,y)是PF的中點(diǎn)，J5lly；=2px0由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:兀在極坐標(biāo)系下，如杲等邊三角形兩個(gè)頂點(diǎn)是A丁)、B(2,5JT37T3IT)i貝IJ頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)是(2怎2k7l+)或(2血孤兀寸).將此式代

9、入分=2pxc#t(2y)2二2p(2x-扌)即y-PA為所求的軌跡方私(四) 、教學(xué)反思求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復(fù)數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹.五、布置作業(yè)1. 兩定點(diǎn)的距離為6,點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26,求點(diǎn)M的軌跡方程.2. 動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F1(1,0)的距離比它到F2(3,0)的距離少2,求P點(diǎn)的軌跡.3. 已知圓x2+y2=4上有定點(diǎn)A(2,0)，過定點(diǎn)A作弦AB,并延長(zhǎng)到點(diǎn)P,使3|AB|=2|AB|,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.作業(yè)答案：1. 以兩定點(diǎn)A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，得點(diǎn)M的軌跡方程x2+y2=42. v|PF2|-|PF|=2，且|F仆2|P點(diǎn)只能在x軸上且xv1，軌跡是一條射線3. 設(shè)九)、P(X|y)則有7o+kJ=43而由3|AB|=2|得:|AP|=-|AB|A|BP|=|APHAB|=-|AB|由定比分點(diǎn)公式得：1+2y+2x02+2z3