1-10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)ppt課件

1、蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)一、最值定理一、最值定理二、介值定理二、介值定理三、關(guān)于連續(xù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)三、關(guān)于連續(xù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)四、典型例題四、典型例題 第一章 蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)0( )()( ( )()()( )0 0對(duì)對(duì)于于在在區(qū)區(qū)間間 上上有有定定義義的的 ( ),( ),若若有有 , ,使使得得對(duì)對(duì)于于 都都有有則則稱稱是是在在區(qū)區(qū)間間 上上的的最最大大( (小小) )值值. .00If xxIxIf xf xf xf xf xf xI1、定義:例如,sgn xy (,), 在在上上, 7max y;1min y(0,)在在上上, ,.1minmax yy,sin25xy 0,2 ,在在上上;

2、 3min y,1max y一、最值定理一、最值定理.= 2()但但在在上上 無(wú)無(wú) 最最 值值yxa,b類比：沒(méi)有最小的正數(shù)；沒(méi)有最大的負(fù)數(shù)； 但是有最小的正整數(shù)1和最大的負(fù)整數(shù)-1。蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)注意:若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .2、最值定理定理定理1.1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即:設(shè), ,)(baCxfxoyab)(xfy 12那么, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點(diǎn),蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)例如,)1,0(,xxy無(wú)最大值和最小值 xoy1121,31,110,

3、1)(xxxxxxfxoy1122也無(wú)最大值和最小值 注注2. 閉區(qū)間上函數(shù)有間斷點(diǎn)不成立閉區(qū)間上函數(shù)有間斷點(diǎn)不成立.注注1. 將閉區(qū)間改為開區(qū)間不一定成立將閉區(qū)間改為開區(qū)間不一定成立.注注3. 最大值、最小值可能相等。最值點(diǎn)可能不唯一。最大值、最小值可能相等。最值點(diǎn)可能不唯一。xxfsin)( 4,0 x蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué),)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推論推論. . 由定理1可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證:設(shè), ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 零點(diǎn)：如果有

4、f () = 0, 則稱 為 f (x) 的零點(diǎn)。蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)軸至少有一個(gè)交點(diǎn).軸至少有一個(gè)交點(diǎn).則曲線弧與則曲線弧與軸的不同側(cè),軸的不同側(cè),于于的兩個(gè)端點(diǎn)位的兩個(gè)端點(diǎn)位連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧 xxxfy)(定理定理2.(2.(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 ) ), ,)(baCxf至少有一點(diǎn), ),(ba使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( ( 證明略證明略 ) )且?guī)缀谓忉?例例1. 證明方程證明方程01423 xx一個(gè)根 .證:顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點(diǎn)定理,至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(,0)(f即01423在區(qū)間在區(qū)間)1

5、 ,0(內(nèi)至少有內(nèi)至少有使使蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)定理定理3.(3.(介值定理介值定理) )設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對(duì) A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn), ),(ba證證: :作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)Cxfx)()(那么,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點(diǎn)定理知,至少, ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論: :Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)0)()()(212xfxff上連續(xù),且恒為正,例例2.2.設(shè)設(shè))(xf在,ba對(duì), ),(,2121xxbaxx

6、必證證: :, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 那么,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使時(shí),當(dāng))()(21xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點(diǎn)定理知, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff當(dāng))()(21xfxf時(shí), 取1x或2x, 則有)()()(21xfxff證明:蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué).)(),(.)(,)(, ,)(fbabbfaafbaCxf使得:證明且設(shè)另例:證,)()(xxfxF令,)(上

7、連續(xù)在則baxFaafaF)()(而, 0由零點(diǎn)定理,使),(ba, 0)()(fFbbfbF)()(, 0.)(f即蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)則設(shè), ,)(baCxf在)(. 1xf上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當(dāng)0)()(bfaf時(shí), ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba蚌埠學(xué)院 高等數(shù)學(xué), 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少, ,0a使. )()(aff提示提示: : 令令, )()()(xfaxfx那么, ,0)(aCx 易證0)()0(a1.設(shè)設(shè)作業(yè)作業(yè) P73 題題 2 ; 3; 4思考與練習(xí)思