05-1-導數(shù)的應用ppt課件

1、2.5 導數(shù)的應用一、微分學基本定理一、微分學基本定理二、洛必塔法則二、洛必塔法則三、函數(shù)的變化性態(tài)研究三、函數(shù)的變化性態(tài)研究四、函數(shù)的極值與最值四、函數(shù)的極值與最值2定義定義 設設 在在 內(nèi)有定義，內(nèi)有定義， ，稱，稱在在 取得極大值，假設取得極大值，假設 ，使得，使得 此時稱此時稱 為為 的極大值點，的極大值點， 為極大值為極大值. )(xfy ),(ba),(0bax )(xf0 x0),0()()(00 xxxfxf0 x)(xf)(0 xf稱稱 在在 取得極小值，假設取得極小值，假設 ，使得，使得 此時稱此時稱 為為 的極小值點，的極小值點， 為極小值為極小值. )(xf0 x0),

2、0()()(00 xxxfxf0 x)(xf)(0 xf3設函數(shù)f (x)在區(qū)間 I 內(nèi)有定義，且在 I 內(nèi)部某點 處取極大值(極小值). 假如 f ()存在，則必有f ()=0.123456X-1-0.50.51Yxysin4 xyOay=f (x)b證：設證：設 f (x)在在 I 的內(nèi)部某點的內(nèi)部某點 處取極大值處取極大值f ( ),則有則有( )( ) N( )f xfx50)()(lim)( 0 xfxffx0)()(lim)( 0 xfxffx于是0)( f對于f ( )為極小值的情況可類似證明.若f ( )存在，那么6對于區(qū)間端點, 費馬定理的結論不一定成立(見下圖).xyO a

3、bxyO ab0)( bf0)( bf設 (1) f (x)在閉區(qū)間上a,b 連續(xù)，即f (x)C( a,b )；(2) f (x)在(a,b)內(nèi)可導；(3) f (a)=f (b)，則至少存在一點 (a, b)，使 f ( ) =0.xy0aby=f (x)1、羅爾 (Rolle)定理證：證：),()(baCxf)(xf必在a, b上至少取到它的最大值, 最小值各一次.令)(min ),(max,xfmxfMbaxbax(i) 若M=m, )(baxMxfm, )(baxMxf于是),( 0)()( baxMxf即(a, b)內(nèi)的任何一點均可作為定理中的點.9(ii) 假設mM ，即 M m

4、)()( bfaf f (x)不能同時在x=a和x=b兩點分別達到最大值M和最小值m,即至少存在一點(a, b)，使得由費馬定理可知：0)( fmfMf)( )(或例例1. 設設f (x)=(x a)(xb)(xc)(xd) ，abcb還是ba，定理中的公式均可寫成：之間在baabfafbf, ),)( )()(3)定理可以用增量形式表示10 ,)( )()(xxxfxfxxf或10 ,)( xxxfy. , ,)( 之間與在xxxxfy在以x和x+x為端點的區(qū)間上應用拉格朗日中值定理時, 所得到的 可表示為) 10( xx這時, 定理中的公式為(4) 函數(shù)增量計算公式的比較,d)( xxfy

5、 ,d) ( xfy(微分, 近似)(拉氏, 準確)xxxfxfxxf) ( )()(xxfxfxxf)( )()(23(5) 拉格朗日中值定理的物理意義 設物體的運動方程為s=f (t), 那么abafbf)()(為物體由t=a到t=b一段時間內(nèi)的平均速度v. 拉格朗日中值定理告訴我們，這一段時間內(nèi)，至少在某時刻t =, 物體的速度 vt 恰好等于其平均速度v。_證：證：x1,x2I, 不妨令x1x2, 則f (x)在x1, x2上滿足拉格朗日中值定理條件，故有),( ),)( )()(211212xxxxfxfxf而 f () = 0, 故f (x2)=f (x1)由x1, x2 的任意性

6、，f (x)=C, xI. (C為常數(shù))(C為常數(shù))25證：令證：令 F(x)=f (x)g(x), 由推論由推論1立即可證立即可證. | )()(|abMafbf 該推論很重要，常用來證明一些重要的不等式.例例4 證明：當證明：當0ab時，時，aababbabln證證 即要證即要證)(1lnln)(1abaababb,ln)(baxxxf令那么 f (x)在a, b上滿足拉格朗日中值定理條件，故(a,b)abab ),(1lnlnab111aabbbbabln例例5 證明：證明：.1 , 1,2arccosarcsinxxx證：證：, 0)11(11)arccos(arcsin22xxxx)

7、.1 , 1( ,arccosarcsinxCxx取x=0, 計算C值：220arccos0arcsinC即) 1 , 1( ,2arccosarcsinxxx).1 , 1(x28又 x =1時，,2021arccos1arcsinx = 1時， ,2) 1arccos() 1arcsin(綜上所述.1 , 1 ,2arccosarcsinxxx29例例6. 證明：若證明：若f (x)在在(, +)內(nèi)滿足關系內(nèi)滿足關系式式 f (x)=f (x)，f (0)=1，那么，那么 f (x)=ex.證：要證證：要證 f (x)=ex, x(, +)，即要證),(, 1)(xexfx令).,(,)(

8、)(xexfxx(問題轉化為證明 (x)=0),( )( xCx又 f (0)=1, 故11)0()0(0Cef從而),( ,)(xexfxxxxxeexfexfexfx2)()( )()( ),( , 0)()( xexfxfx31例例7. 證明若證明若f (x)在在a, b上可微，則至少存在一點上可微，則至少存在一點)( )()()(ffabaafbbf(a, b), 使證證(分析分析): 要證明要證明)( )()()(abffaafbbf與拉格朗日中值定理的式子比較可知，可作輔助函數(shù)., ),( )(baxxfxxF余下的由學生自己完成o. 例例8. 設設f (x)=3x2+2x+5，求

9、，求f (x)在在a, b上滿足上滿足拉格朗日中值定理的拉格朗日中值定理的 值值.解：解：f (x)為多項式，在為多項式，在a, b上滿足拉格朗日中值上滿足拉格朗日中值定理條件定理條件, 故故)(26()523()523(22abaabb由此解得,2ab(即此時 為區(qū)間a, b的中點)33Cauchy, Augustin Cauchy, Augustin (1789-1857) (1789-1857) 法國數(shù)學家法國數(shù)學家34 在拉格朗日中值定理中，將曲線y=f (x)用參數(shù)方程表示出來就可得到中值定理的另一種形式。OxyABTPg(a)g(b)在圖中，設AB的表示式為)y = f (t)x

10、= g(t)ta, b)( )( tgtfdxdy而弦AB的斜率是_,)()()()(agbgafbfk則AB上任意一點(x, y)處的切線的斜率應為)設對應于P點，t = ，那么)0)( ( )( )( )()()()(tggfagbgafbf 按拉格朗日中值定理，在AB上至少有一點P，使該點的切線平行于弦AB，故它們的斜率應相等._) 如果將上面的結果推廣到真正具有任意性的兩個函數(shù)中去，就成為柯西中值定理了. 在拉格朗日中值定理中，函數(shù)f (x)是任意的. 上面的推導過程中，f (t), g(t) 隨AB的任意性也具有任意性，不過要注意，由曲線的參數(shù)方程表示式，f (x)與g(t)之間并不

11、具任意性，它們之間的關系受到AB的限制.)38設 (1) f (x), g(x)C(a, b);(2) f (x), g(x)在(a, b)內(nèi)可導，且g(x)0,則至少存在一點(a, b)，使)( )( )()()()(gfagbgafbf證：令證：令F(x)=(f (b)f (a)g(x)(g(b)g(a)f (x), xa, b那么 F(x)C(a, b), F(x)在(a, b)內(nèi)可導.又 F(a)=F(b)=g(a) f (b)g(b) f (a)故 F(x)在a, b上滿足羅爾定理條件，于是 至少存在一點 (a, b) 使0)( F即0)( )()()( )()(fagbggafbf亦即)( )( )()()()(gfagbgafbf(a, b)40例例9.設設x1與與x2同號同號, 證明：證明：),()1 (212112xxeexexxx其中, 在x1與x2之間.證：由于證：由于x1與與x2同號同號, 故故 x=0不在不在x1與與x2之間之間.令,1)( ,)(xxy