一維射影幾何學

1、1 第三章第三章 西南大西南大 學學本章教材分析本章教材分析一、一維基本圖形一、一維基本圖形二、一維基本圖形示例二、一維基本圖形示例一、點列中四點的交比一、點列中四點的交比二、交比的性質(zhì)二、交比的性質(zhì)三、有關(guān)交比的例題三、有關(guān)交比的例題23本章地位本章地位平面射影幾何的核心內(nèi)容之一平面射影幾何的核心內(nèi)容之一本章內(nèi)容本章內(nèi)容重點介紹一維射影幾何學，討論重點介紹一維射影幾何學，討論的是一維幾何圖形，即用一個獨的是一維幾何圖形，即用一個獨立參數(shù)描寫的幾何圖形（即點列立參數(shù)描寫的幾何圖形（即點列和線束）；引進射影不變量和線束）；引進射影不變量交交比；討論兩個基本圖形間的關(guān)比；討論兩個基本圖形間的關(guān)系系

2、一維射影幾何基本定理一維射影幾何基本定理。此。此外，還要討論兩個特殊的一維射外，還要討論兩個特殊的一維射影對應：透視對應、對合對應。影對應：透視對應、對合對應。本章教材分析本章教材分析4一、一維基本圖形一、一維基本圖形 (1) 點列點列(同一直線上點同一直線上點的集合的集合)記號記號l(A,B,C,) 或或 l(P)底底元素元素 (1) 線束線束(平面上過同一平面上過同一點的直線的集合點的直線的集合)記號記號L(a,b,c,) 或或 L(p)束心束心元素元素西南大西南大 學學（2 2）點列和線束統(tǒng)稱為）點列和線束統(tǒng)稱為一維幾何圖形一維幾何圖形（流流形形），它們互為對偶圖形。），它們互為對偶圖形

3、。5（4）設有兩線）設有兩線l(a)、m(b)，它們確定一個交，它們確定一個交點點L，通過，通過L的任意一條直線的任意一條直線u可表為：可表為：（3）取定直線）取定直線l上的兩點上的兩點A(a)、B(b)a= b= ,則則l上任一點上任一點M（x）可表為：）可表為：123(,)bbb123(,)aaa.()xabxab或 者讀 作 “ 成 正 比 ”.(/)uabuab或 者一、一維基本圖形一、一維基本圖形西南大西南大 學學6(5)在一維幾何基本圖形中，在一維幾何基本圖形中，a,b稱為稱為基底元素基底元素，為簡便起見，參數(shù)就用為簡便起見，參數(shù)就用表示，表示， =0時表示基時表示基底元素底元素a

4、，規(guī)定，規(guī)定=時表示基底元素時表示基底元素b.一、一維基本圖形一、一維基本圖形西南大西南大 學學例：例：7二、一維基本圖形示例二、一維基本圖形示例設有共線三點設有共線三點x=(-1,-1,1),y=(1,0,-2),z=(1,-2,-4),試將試將z表為表為x,y的線性組合。的線性組合。124( 1, 1,1)(1,0, 2)( 1, 1,1 2 ),/1( 1)/( 2)(1 2 )/( 4)3/2.124( 1, 1,1)3/2(1,0, 2). 解：設（ ， ， ）于是得： （-1+ ）由此可解得所以，（ ， ， ）8一、點列中四點的交比一、點列中四點的交比1.概念概念交比交比 最根本的

5、射影不變量最根本的射影不變量 定義定義. 設設A, B, C, D為點列為點列l(wèi)(P)中四點中四點, 且且A B. 把把(AB,CD)表示表示為這共線四點構(gòu)成的一個為這共線四點構(gòu)成的一個交比交比. 定義為定義為(3.1)(,).()AC BDAB CDAD BC右端使用的是有向線段易見，交比是簡比的比：易見，交比是簡比的比： ()(,).()A B CA BC DA B D西南大西南大 學學證明思路分析：由于交比是簡比的比，而簡比又是分證明思路分析：由于交比是簡比的比，而簡比又是分割比的相反數(shù)，可以先將這四點的齊次坐標化為非割比的相反數(shù)，可以先將這四點的齊次坐標化為非齊次坐標，再用齊次坐標，再

6、用A,BA,B的非齊次坐標線性表示的非齊次坐標線性表示C,DC,D的非的非齊次坐標，利用定比分割公式，易求點齊次坐標，利用定比分割公式，易求點C C、D D分割分割A A、B B的分割比分別是：的分割比分別是：9一、點列中四點的交比一、點列中四點的交比(3.2) 定理定理3.1. 設取設取A,B為基底，將這四點的齊次坐標順次為基底，將這四點的齊次坐標順次表為表為a, b, 則則12(,).AB CD12,ab ab33123312()(,).()bbaaABCAB CDABD因此，10 定理定理3.2 設點列設點列l(wèi)(P)中四點中四點A、B、C、D的齊次坐標的齊次坐標為為p+iq(i=1,2,

7、3,4). 則則1324142312341234()()(,).()()AB CD 我們把等式右端的表達式稱為四個數(shù)、順這次序的交比，記作（，），從而點列中四點的交比，等于相應參變數(shù)的交比。(3.3)一、點列中四點的交比一、點列中四點的交比11 證明定理證明定理3.2. 重新選擇重新選擇A, B,為基點，參數(shù)表示為基點，參數(shù)表示C, D. 設設從中解出從中解出p, q, 得得于是，于是， A, B, C, D的坐標可表示為的坐標可表示為132412341423()()(,).()()AB CD （，）p+1q=r, p+2q=s. 212121,.rsrspq 13143242,rs rs r

8、s由定理由定理3.1，有，有西南大西南大 學學 推論：設點列上四點推論：設點列上四點A A、B B、C C、D D的齊次坐的齊次坐標為標為12,1,2,3,4iipq i則1122334422113344（ A B , C D ） =一、點列中四點的交比一、點列中四點的交比西南大西南大 學學例例1 1（習題（習題3.43.4）：求四點）：求四點(2,1,-1),(1,-1,1),(2,1,-1),(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)(1,0,0),(1,5,-5)順這次序的交比。順這次序的交比。13一、點列中四點的交比一、點列中四點的交比1212332 解：取解：取(2,1,-1

9、),(1,-1,1)為基點，將其余兩點表為它為基點，將其余兩點表為它們的線性組合。易求們的線性組合。易求 (1,0,0) (2,1,-1)+ (1,-1,1)， (1,5,-5) (2,1,-1)- 3/2(1,-1,1)，故所求交比為：故所求交比為：西南大西南大 學學例例2 2：已知：已知A A、B B分別是分別是y y軸、軸、x x軸上的無窮遠點，軸上的無窮遠點，C C是斜率為是斜率為1 1的直線上的無窮遠點，且的直線上的無窮遠點，且（AB,CDAB,CD）=3,=3,求求D D的坐標。的坐標。14一、點列中四點的交比一、點列中四點的交比解：按題設條件，點解：按題設條件，點A,B,C的坐標

10、分別為的坐標分別為： A(0,1,0),B(1,0,0),C(1,1,0).取取A、B為基底，為基底，則由則由(1,1,0) (0,1,0)+ (1,0,0)得出得出 =1.=1.設設D DA+B，于是，于是 3=(AB,CD)= / /=1/=1/得得=1/3=1/3，故故D D點的坐標為（點的坐標為（1/31/3，1 1，0 0）或）或(1(1，3 3，0).0).15 1. 1.交比的組合性質(zhì)交比的組合性質(zhì) 顯然，共線四點的交比值與這四點在交比記號顯然，共線四點的交比值與這四點在交比記號中的次序有關(guān)中的次序有關(guān). . 改變次序一般會改變交比值改變次序一般會改變交比值. .因此，因此，依次

11、序不同，共線四點可以構(gòu)成依次序不同，共線四點可以構(gòu)成4!=244!=24個交比個交比. .下面來下面來探討這探討這2424個交比的規(guī)律個交比的規(guī)律. . 二、交比的性質(zhì)二、交比的性質(zhì)定理定理3.33.3. .將某兩點互換，同時互換其余兩點，則將某兩點互換，同時互換其余兩點，則交比不變。交比不變。),(),(),(),(BADCABCDDCBACDAB,),(1),(CDABDCAB1(,).(,)BA CDAB CD 定理定理3.43.4. .只限于一對點之間的交換，則交比值轉(zhuǎn)只限于一對點之間的交換，則交比值轉(zhuǎn)變?yōu)槠涞箶?shù)。即變?yōu)槠涞箶?shù)。即西南大西南大 學學定理定理3.5.3.5.交換中間兩點，

12、則交比值轉(zhuǎn)化為交換中間兩點，則交比值轉(zhuǎn)化為1 1與與原值之差原值之差: (AC,BD)=1-(AB,CD): (AC,BD)=1-(AB,CD)111,1,;11 16二、交比的性質(zhì)二、交比的性質(zhì) 定理定理3.3定理定理3.5說明：說明： （1）共線四點的排列雖有）共線四點的排列雖有4!=24個，但個，但其互其互異之值只有異之值只有6 6個，若記個，若記(AB,CD)=，則，則6個互異交比值為個互異交比值為 ： 1.1.交比的組合性質(zhì)交比的組合性質(zhì)西南大西南大 學學（2 2）不考慮復點及四點重合的情況，當且僅當）不考慮復點及四點重合的情況，當且僅當（AB,CDAB,CD）=-1=-1時，交比值

13、為：時，交比值為：-1,2.-1,2.定義定義：若（：若（AB,CDAB,CD）=-1=-1，則稱，則稱C C、D D調(diào)和分割線調(diào)和分割線段段ABAB，或稱，或稱C C、D D 對線段對線段ABAB成成調(diào)和共軛點偶調(diào)和共軛點偶。注意注意：在調(diào)和分割中，兩對點的關(guān)系是完全：在調(diào)和分割中，兩對點的關(guān)系是完全對等的。對等的。 C C、D D調(diào)和分割線段調(diào)和分割線段ABAB時，一為時，一為內(nèi)分點，另一為外分點。調(diào)和分割是交比內(nèi)分點，另一為外分點。調(diào)和分割是交比研究的一個重要特例，由此，可引出交比的研究的一個重要特例，由此，可引出交比的幾何性質(zhì)。幾何性質(zhì)。 17二、交比的性質(zhì)二、交比的性質(zhì)1.1.交比的

14、組合性質(zhì)交比的組合性質(zhì)西南大西南大 學學（1 1）三角形中一個角的內(nèi)角和外角平分線和）三角形中一個角的內(nèi)角和外角平分線和對邊的交點，調(diào)和分割對邊。對邊的交點，調(diào)和分割對邊。 （2 2）一線段被它的中點和這直線上的無窮遠）一線段被它的中點和這直線上的無窮遠點所調(diào)和分割。（詳見教材點所調(diào)和分割。（詳見教材P P3737）18二、交比的性質(zhì)二、交比的性質(zhì)2.2.交比的幾何性質(zhì)交比的幾何性質(zhì)23.6 (,)1.AB CDOCDOCOA OB (3)定理為線段的中點，則西南大西南大 學學2(,)10()()()()2()()()0(.AB CDOCDAC BDAD BCOCOA ODOBODOA OCOBOA OBOC ODOAOB OCODOCDOA OBOC ODOC 設且為線段的中點，則化簡，整理：為中點）19二、交比的性質(zhì)二、交比的性質(zhì)2.2.交比的幾何性質(zhì)交比的幾何性質(zhì)證明定理證明定理3.63.6：（必要性）：（必要性）西南大西南大 學學221.1.OCDOCOA OBAA BCDOCOA OBOA OBOA OBOAOAAAABCD （同一法）設為線段的中點，且，在上作一點使（，）則由必要性，有，從而或這樣（