因數(shù)和倍數(shù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)

1、因數(shù)和倍數(shù) 質(zhì)數(shù)和合數(shù)整理教師：劉新民一、基礎(chǔ)知識(shí)（一）因數(shù)和倍數(shù)1. 因數(shù)和倍數(shù)的意義。 已知a、b、c均為正整數(shù)，且a×b=c，那么c就是a和b的倍數(shù)，a和b就是c的因數(shù)，倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的，不能獨(dú)立存在。2. 因數(shù)和倍數(shù)的特征。 一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)；一個(gè)數(shù)既是它本身的因數(shù)，又是它本身的倍數(shù)。（二）能被2、3、5整除的數(shù)的特征1. 能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位上的數(shù)字是0，2,4,6,8。2. 能被3整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)。3. 能被5整除

2、的數(shù)的特征：個(gè)位上的數(shù)字是0或5。4. 能同時(shí)被2、5整除的數(shù)的特征：個(gè)位上的數(shù)字是0。（三）奇數(shù)和偶數(shù)1. 奇數(shù)：在自然數(shù)中，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。2. 偶數(shù)：在自然數(shù)中，能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。3. 研究奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)包括0，因此自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)。最小的奇數(shù)是1，沒有最大的奇數(shù)；最小的偶數(shù)是0，沒有最大的偶數(shù)。（四）質(zhì)數(shù)和合數(shù)1. 質(zhì)數(shù)的意義：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)），最小的質(zhì)數(shù)是2，2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，沒有最大的質(zhì)數(shù)。2. 合數(shù)的意義：一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。最小的合數(shù)是4，沒有最大的合數(shù)。注意：1既不是質(zhì)數(shù)也

3、不是合數(shù)。除2以外，所有的質(zhì)數(shù)是奇數(shù)，所有的偶數(shù)是合數(shù)。3. 判斷一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的方法。（1）通過找因數(shù)的個(gè)數(shù)來判斷：先找出這個(gè)數(shù)的因數(shù)，再數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)的數(shù)就是質(zhì)數(shù)，有三個(gè)或三個(gè)以上因數(shù)的數(shù)就是合數(shù)。（2）查表法：看質(zhì)數(shù)表里有沒有所要查的數(shù)，如果有，它是質(zhì)數(shù)，如果沒有，它就不是質(zhì)數(shù)。4. 奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。（1）和差的奇偶性奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)（偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加） 奇數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)（奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加）奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù) 偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)（2）積的奇偶性奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)； 奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)； 偶數(shù)×偶數(shù)

4、=偶數(shù)（五）分解質(zhì)因數(shù)1. 質(zhì)因數(shù)：每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。2. 分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。3. 分解質(zhì)因數(shù)的方法：把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常運(yùn)用短除法。分解質(zhì)因數(shù)時(shí)，先用這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)（通常從最小的開始）去除，得出的商如果是質(zhì)數(shù)，就把除數(shù)和商寫成相乘的形式；得出的商如果是合數(shù)就用質(zhì)因數(shù)繼續(xù)去除，直到得出的商是質(zhì)數(shù)為止，然后把各個(gè)除數(shù)和最后的商寫成連乘的形式。（六）最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)1. 最大公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)

5、。2. 最小公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。3. 互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。4. 求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法：（1）列舉法；先分別找出每個(gè)數(shù)的因數(shù)，從中找出公因數(shù)，再找出最大的一個(gè)因數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。（2）篩選法：先找出兩個(gè)數(shù)中較小數(shù)的因數(shù)，從中圈較大數(shù)的因數(shù)，再看哪個(gè)因數(shù)最大，這個(gè)數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。（3）分解質(zhì)因數(shù)法：先將兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再從分解的質(zhì)因數(shù)中找出這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，公有的質(zhì)因數(shù)相乘所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。（4）短除法：把兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)從小到大依次作為除數(shù)，連續(xù)去除這兩個(gè)數(shù)，直

6、到得出的兩個(gè)商只有公因數(shù)1為止，再把所有的除數(shù)相乘，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。5. 求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：（1）列舉法：分別寫出兩個(gè)數(shù)各自的倍數(shù)，再從其中找出公有的倍數(shù)，然后從公倍數(shù)中找出最小的一個(gè)就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。（2）篩選法：先寫出兩個(gè)數(shù)中較大數(shù)的倍數(shù)，然后從這組數(shù)中按從小到大的順序圈出較小數(shù)的倍數(shù)，第一個(gè)圈出的就是它們的最小公倍數(shù)。（3）分解質(zhì)因數(shù)法：分別把兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，相同的質(zhì)因數(shù)對(duì)齊寫，獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)單獨(dú)寫，然后相同的質(zhì)因數(shù)取一個(gè)，單獨(dú)的質(zhì)因數(shù)都取出來，把它們連乘，積就是最小公倍數(shù)。（4）短除法：用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)按從小到大的順序，依次作為除數(shù)連續(xù)去除這兩個(gè)

7、數(shù)，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)和最后所得的商連乘起來，就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。6. 求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的特殊情況。（1）如果較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是較小數(shù)的最小公倍數(shù)。（2）如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公因數(shù)就是1，最小公倍數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的乘積。（3）兩個(gè)數(shù)的乘積等于最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。二、例題精講例1、有因數(shù)2，又是3和5的倍數(shù)的最大三位數(shù)是多少？分析與解答：根據(jù)題意，這道題所求的數(shù)是同時(shí)是2，3，5的倍數(shù)的最大三位數(shù)。同時(shí)是2，3，5的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)位上的數(shù)字一定是0，其他各位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)

8、。要使其最大，百位上一定是9，十位上也是9，所以這個(gè)三位數(shù)是990。例2、（選擇）把210分解質(zhì)因數(shù)是（ ）A. 210=1×2×3×5×7 B. 2×3×5×7=210C. 210=5×6×7 D. 210=2×3×5×7分析與解答：分解質(zhì)因數(shù)是把一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式，所有的因數(shù)必須是質(zhì)數(shù)，所以選項(xiàng)A中，1不是質(zhì)數(shù)；選項(xiàng)C中，6不是質(zhì)數(shù)；分解質(zhì)因數(shù)和乘法算式不同，應(yīng)該把被分解的合數(shù)寫在等號(hào)的左邊，故選項(xiàng)B也不對(duì)，那么正確答案是D。例3、求24和36的最大公因數(shù)和

9、最小公倍數(shù)。分析與解答：要求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，應(yīng)該先分別把這兩個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：24=2×2×2×336=2×2×3×3求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)時(shí)，把這兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)2、2和3乘起來，即2×2×3=12；求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)，把它們公有的因數(shù)2、2、3和各自獨(dú)立的因數(shù)2、3都乘起來，即2×2×3×2×3=72；所以24和36的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72。例4、把長1.36m、寬0.8m的長方形紙裁成同樣大小的正方形紙。如果要使正方形紙的面積盡可能大，且裁完

10、沒有剩余，可裁出多少張正方形紙？分析與解答：把長方形紙裁成正方形紙且沒有剩余，則正方形紙的邊長是長方形紙長與寬的公因數(shù)，要使正方形紙的面積盡可能大，正方形紙的邊長應(yīng)是長與寬的最大公因數(shù)。先把米化成厘米，即1.36m=136，0.8m=80，因?yàn)?36和80的最大公因數(shù)是8，所以正方形的邊長為8，那么長方形在長可以分136÷8=17（段），寬可以分80÷8=10（段），故可裁17×10=170（張）。例5、一袋糖果，如果平均分給4個(gè)小朋友，還剩3塊；如果平均分給5個(gè)小朋友，還缺1塊；如果平均分給6個(gè)小朋友，還缺1塊。這袋糖果至少有多少塊？分析與解答：題中“如果平均分

11、給5個(gè)小朋友，還缺1塊” 可以理解為“如果平均分給5個(gè)小朋友，還剩4塊；同理“如果平均分給6個(gè)小朋友，還缺1塊” 可以理解為“如果平均分給6個(gè)小朋友，還剩5塊” 。如果給這堆糖果再加1塊，那么分別平均分給4個(gè)小朋友，5個(gè)小朋友，6個(gè)小朋友，都正好分完。也就是說這袋糖果加1塊后正好是4，5，6的公倍數(shù)，這袋糖果至少有多少塊，就是求4，5，6的最小公倍數(shù)。即4，5，6的最小公倍數(shù)是60，所以這袋糖果至少有60-1=59（塊）。三、練習(xí)精選1. 填空。（1）20以內(nèi)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的有（ ），既是奇數(shù)又是合數(shù)的是（ ）。（2）一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)是48，它的最小倍數(shù)是（ ），把這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)是（ ）。

12、（3）任意兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中，兩個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)的有（ ）組。（4）a和b是兩個(gè)自然數(shù)，a除以b的商是5，沒有余數(shù)，那么a和b的最大公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。（5）既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)的最大兩位奇數(shù)是（ ）。（6）如果A=2×3×5，B=3×5×7，那么A和B的最大公因數(shù)是（ ），最小公倍數(shù)是（ ）。（7）兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是31，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是（ ）。（8）一個(gè)自然數(shù)除以4余2，除以5余3，除以6余4，這個(gè)數(shù)最小是（ ）。（9）有三根鐵絲，一根長48dm，一根長60dm，一根長36dm，要把它們截成同樣長的幾段，不許剩余，每段最長（ ）dm，一

13、共可以截成（ ）段。2. 判斷。（1）一個(gè)自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。（ ）（2）因?yàn)?0=3×4×5，所以3，4，5都是60的質(zhì)因數(shù)。（3）有公因數(shù)1的兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。（ ）（4）互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)相乘的積一定是合數(shù)。（ ）3. 選擇。（1）求18和30的最大公因數(shù)，必須包含18和30的（ ）質(zhì)因數(shù)。A. 所有的 B. 公有的 C. 全部公有的（2）24用兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和表示是（ ）。A. 1+23 B. 4+20 C. 2+22 D. 11+13（3）40=2×4×5，下面說法中正確的是（ ）。A. 2，4，5都是40的質(zhì)因數(shù)B. 40=2&#

14、215;4×5是把40分解質(zhì)因數(shù)。C. 2，4，5都是40的因數(shù)，（4）在0，3，6，5這4個(gè)數(shù)字中選擇3個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)同時(shí)是2，3，5的倍數(shù)的最小三位數(shù)是（ ）A. 306 B. 350 C. 360 D. 630（5）兩個(gè)奇數(shù)的和一定是（ ）數(shù)，積一定是（ ）數(shù)。A. 奇 B. 偶 C. 質(zhì) D. 合4. 解決問題。（1）學(xué)期末，老師把35支鉛筆和42本練習(xí)本平均分給六（3）班獲得“三好學(xué)生”的同學(xué)，結(jié)果鉛筆缺1支，練習(xí)本多2本，獲得“三好學(xué)生”的最多有多少人？（2）一行有36棵小樹，原來每隔2m栽一棵，現(xiàn)在沒兩棵之間的距離改為5m，一共有幾棵小樹不必移動(dòng)？四、思維訓(xùn)練1. 我