復(fù)雜流體力學(xué)第二章

1、第二章第二章 場(chǎng)論和張量初步場(chǎng)論和張量初步21 矢量和標(biāo)量的區(qū)別矢量和標(biāo)量的區(qū)別一、概念的區(qū)別一、概念的區(qū)別在選定測(cè)量單位以后，僅需用數(shù)字表示大小的量叫標(biāo)量；在選定測(cè)量單位后，除用數(shù)字表示其大小外，還需用一定的方向才能說(shuō)明性質(zhì)，叫矢量。二、運(yùn)算法則區(qū)別二、運(yùn)算法則區(qū)別標(biāo)量運(yùn)算服從代數(shù)運(yùn)算法則。矢量的運(yùn)算要遵循平行四邊形法則或三角形法則。矢量常用帶有箭頭的直線段表示。線段的長(zhǎng)度代表矢量大小，箭頭代表矢量的方向。 三、正負(fù)號(hào)區(qū)別三、正負(fù)號(hào)區(qū)別 矢量正負(fù)號(hào)：在選定一個(gè)正方向的前提下，矢量的正負(fù)號(hào)實(shí)質(zhì)上表示矢量的方向。若矢量為正，表示該矢量跟選定正方向相同；矢量為負(fù)表示跟選定正方向相反。 標(biāo)量正負(fù)號(hào)：

2、雖然標(biāo)量無(wú)方向，但有的標(biāo)量也存在正、負(fù)號(hào)問(wèn)題。標(biāo)量常見(jiàn)的有以下幾種類(lèi)型： 表示相對(duì)零點(diǎn)大小的正負(fù)號(hào)，如重力勢(shì)能、電勢(shì)能、電勢(shì)、分子勢(shì)能、攝氏溫度等這些物理量，它們的正負(fù)號(hào)，常表示大小的意義。 表示相反的物理過(guò)程的正負(fù)號(hào)，例如功、熱量、動(dòng)能增量、勢(shì)能增量、內(nèi)能增量和機(jī)械能增量等過(guò)程物理量，它們的正負(fù)號(hào)就表示某一物理過(guò)程，即能量增加（或減?。┻^(guò)程。 表示物體特性的正負(fù)號(hào)，如電量、透鏡焦距、像距等物理量的正負(fù)號(hào)，表示物體的特性。如電量q0表示帶正電，否則帶負(fù)電；f0表示該鏡是凸透鏡，否則是凹透鏡；像距v0，表示成實(shí)像，否則成虛像。 四、矢量表達(dá)式與標(biāo)量表達(dá)式的區(qū)別四、矢量表達(dá)式與標(biāo)量表達(dá)式的區(qū)別矢量

3、可采用有向線段、文字、單位矢量、分量表示等多種方式來(lái)描述。在標(biāo)量表達(dá)式如動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒、功能關(guān)系、透鏡成像公式等中，計(jì)算時(shí)只需直接將物理量即大小及正負(fù)號(hào)代入公式計(jì)算即可。五、矢量的運(yùn)算五、矢量的運(yùn)算2數(shù)量積cosxxyyzz=a ba ba ba ba b標(biāo)量標(biāo)量3矢量積sin=a ba b大小大小其矢量表達(dá)式其矢量表達(dá)式xyzxyzijkaaabbba b =方向用右手規(guī)則確方向用右手規(guī)則確定定1求和與差作圖法 遵循平行四邊形法則和 分量法2 22 2 場(chǎng)的定義、分類(lèi)及幾何表示場(chǎng)的定義、分類(lèi)及幾何表示一、場(chǎng)的定義一、場(chǎng)的定義設(shè)在空間的某個(gè)區(qū)域內(nèi)定義標(biāo)量函數(shù)或矢量函數(shù)，則稱定義在此空間區(qū)

4、域內(nèi)的函數(shù)為場(chǎng)。二、場(chǎng)的分類(lèi)二、場(chǎng)的分類(lèi)1、根據(jù)所定義的函數(shù)、根據(jù)所定義的函數(shù)標(biāo)量場(chǎng)：標(biāo)量場(chǎng)：在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)標(biāo)量唯一地描述，則該標(biāo)量函數(shù)定出標(biāo)量場(chǎng)。例如物理系統(tǒng)中的溫度、壓力、密度等可以用標(biāo)量場(chǎng)來(lái)表示。( , )( , , , )tx y z tr( , , , )( , , , )( , , , )TT x y z tpp x y z tx y z t矢量場(chǎng)：矢量場(chǎng)：在指定的時(shí)刻，空間每一點(diǎn)可以用一個(gè)矢量唯一地描述，則該矢量函數(shù)定出矢量場(chǎng)。例如流體空間中的流速分布等可以用矢量場(chǎng)來(lái)表示。( , )( , , , )tx y z traaa2、根據(jù)場(chǎng)內(nèi)同一時(shí)刻各點(diǎn)函數(shù)值是否相

5、等、根據(jù)場(chǎng)內(nèi)同一時(shí)刻各點(diǎn)函數(shù)值是否相等( ) t( ) taa均勻場(chǎng)：( , )( , , , )r tx y z t( , )( , , , )r tx y z taaa定常場(chǎng)：非均勻場(chǎng)：3、根據(jù)場(chǎng)內(nèi)函數(shù)值是否依賴于時(shí)間、根據(jù)場(chǎng)內(nèi)函數(shù)值是否依賴于時(shí)間( )r( )raa ( , )( , , , )tx y z tr( , )( , , , )tx y z traaa 非定常場(chǎng)：三、場(chǎng)的幾何表示三、場(chǎng)的幾何表示1、標(biāo)量場(chǎng)的幾何表示、標(biāo)量場(chǎng)的幾何表示空間內(nèi)標(biāo)量值相等的點(diǎn)集合形成的曲面稱為等值面?？臻g內(nèi)標(biāo)量值相等的點(diǎn)集合形成的曲面稱為等值面。0( ,)tcr其特點(diǎn)：（其特點(diǎn)：（1）疏密程度看出標(biāo)

6、量函數(shù)的變）疏密程度看出標(biāo)量函數(shù)的變 化狀況，靠得近的地方函數(shù)變化化狀況，靠得近的地方函數(shù)變化 得快。得快。 （2）函數(shù)值的改變主要在等值面的法線方向，沿等值面的切線方向移動(dòng)）函數(shù)值的改變主要在等值面的法線方向，沿等值面的切線方向移動(dòng) 時(shí)函數(shù)值并不改變。時(shí)函數(shù)值并不改變。大小和方向隨空間坐標(biāo)而變的場(chǎng)大小和方向與坐標(biāo)無(wú)關(guān)的場(chǎng)被稱為均勻場(chǎng) 等溫線等溫線 溫度云圖溫度云圖 2 2、矢量場(chǎng)的幾何表示、矢量場(chǎng)的幾何表示用一些有向曲線來(lái)形象表示矢量在空間的分布，稱為 矢量線。xyzdxdydzFFFxyzdxdydzVVV0d rF(r)0d s V(s)2 23 3 梯度梯度標(biāo)量場(chǎng)不均勻性的度量標(biāo)量場(chǎng)不

7、均勻性的度量一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)( , )r t給定一標(biāo)量場(chǎng)給定一標(biāo)量場(chǎng) 在某一固定時(shí)刻在某一固定時(shí)刻tt0研究標(biāo)量場(chǎng)研究標(biāo)量場(chǎng)。M1MMns1CC0()()limMMMMsMM過(guò)過(guò)M點(diǎn)可以作無(wú)窮多個(gè)方向，每個(gè)方點(diǎn)可以作無(wú)窮多個(gè)方向，每個(gè)方向都有對(duì)應(yīng)的方向?qū)?shù)，且都可以用向都有對(duì)應(yīng)的方向?qū)?shù)，且都可以用過(guò)過(guò)M點(diǎn)的等位面法線方向點(diǎn)的等位面法線方向n上的方向?qū)系姆较驅(qū)?shù)數(shù) 及方向及方向n，s來(lái)表示。來(lái)表示。ncos( , )n ssn我們不僅要知道函數(shù)在坐標(biāo)軸方向上的變化率（即偏導(dǎo)數(shù)），而且還要設(shè)法求我們不僅要知道函數(shù)在坐標(biāo)軸方向上的變化率（即偏導(dǎo)數(shù)），而且還要設(shè)法求得函數(shù)在其他特定方向上的

8、變化率。而方向?qū)?shù)就是函數(shù)在其他特定方向上的得函數(shù)在其他特定方向上的變化率。而方向?qū)?shù)就是函數(shù)在其他特定方向上的變化率變化率證明：過(guò)M點(diǎn)作等位面M1MMns1CC( )()rMC1101()()limMMMMnMM0()()limMMMMsMM1cos( , )MMMMn s由此可證，cos( , )n ssn二、梯度二、梯度n大小為 方向?yàn)閚的矢量稱為標(biāo)量函數(shù)的梯度。gradnn梯度梯度描寫(xiě)了描寫(xiě)了M點(diǎn)鄰域內(nèi)函數(shù)點(diǎn)鄰域內(nèi)函數(shù)的變化狀況，是標(biāo)量場(chǎng)不均勻性的的變化狀況，是標(biāo)量場(chǎng)不均勻性的量度。量度。在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為：gradijkxyz三、梯度的主要性質(zhì)三、梯度的主要性質(zhì)1、梯度梯度描寫(xiě)

9、了場(chǎng)內(nèi)任一點(diǎn)描寫(xiě)了場(chǎng)內(nèi)任一點(diǎn)M鄰域內(nèi)函數(shù)的變化狀況，它是鄰域內(nèi)函數(shù)的變化狀況，它是標(biāo)量場(chǎng)不均勻性的量度；標(biāo)量場(chǎng)不均勻性的量度；2、梯度、梯度的方向與等位面的法線方向重合，且指向函數(shù)增大的的方向與等位面的法線方向重合，且指向函數(shù)增大的方向，大小是方向，大小是n方向上的方向?qū)?shù)方向上的方向?qū)?shù) ；n3、梯度矢量、梯度矢量在任一方向在任一方向s上的投影等于該方向的方向?qū)?shù)；上的投影等于該方向的方向?qū)?shù)；4、梯度、梯度的方向，即等位面的法線方向是函數(shù)變化最快的方向。的方向，即等位面的法線方向是函數(shù)變化最快的方向。定理定理1 梯度梯度 滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式gradddgradr反之，若反之，若 ，則，則

10、a必為必為 。ddr agradr=x,y,zdgradfdr定理定理2 若 ，且，且 矢徑矢徑r的單值函數(shù)，則沿的單值函數(shù)，則沿任一封閉曲線任一封閉曲線L的線積分滿足關(guān)系式的線積分滿足關(guān)系式 grada0(0ddr即）LLa反之，若反之，若矢量矢量a沿任一封閉曲線沿任一封閉曲線L的線積分的線積分， 則則a必必為為某一標(biāo)量函數(shù)的梯度，即某一標(biāo)量函數(shù)的梯度，即 grada0drLa例例 題題:計(jì)算僅與矢徑大小計(jì)算僅與矢徑大小r有關(guān)的標(biāo)量函數(shù)有關(guān)的標(biāo)量函數(shù) 的梯度的梯度 。( ) rgrad(1)利用性質(zhì)利用性質(zhì),標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) 的等位面是以坐標(biāo)原點(diǎn)為心的的等位面是以坐標(biāo)原點(diǎn)為心的球面，而球面的

11、法線方向，即矢徑球面，而球面的法線方向，即矢徑r的方向，故的方向，故 的方的方向就是矢徑向就是矢徑r的方向；其次的方向；其次 的大小是的大小是( ) rgradgrad( ) rr于是( )( )xi+ yj+ zkgradrrrrr(2)表示成分量形式：表示成分量形式：drxdrxyydrdrzzdrdr因2222rxyzryyrrzzrrxxr故于是x dxr dry dyr drz dzr dr( )xi+ yj+zk dgradijkrxyzrdrrr(3)利用定理1，( )( )( )rdrr drrdrr微分22drdrrr2222( ()()2222)d rd xyzxdxydy

12、zdzdrr即drdrrr于是( )( )rdrdr rr根據(jù)定理1可推出( )gradrrr= grada位勢(shì)場(chǎng)位勢(shì)場(chǎng)位勢(shì)函數(shù)位勢(shì)函數(shù)2 23 3矢量矢量a a通過(guò)通過(guò)S S的通量的通量矢量矢量a的散的散度度奧高定理奧高定理一、通量一、通量an代表矢量代表矢量a在法線方向的投影。在法線方向的投影。矢量矢量a通過(guò)面積元通過(guò)面積元dS的通量。的通量。矢量矢量a通過(guò)通過(guò)S面的通量。面的通量。cos( , )cos( , )cos( , )nxyzaan xan yan za nnSa dSna dS通量，是表示物質(zhì)分子移動(dòng)量的大小，指某種物質(zhì)在每秒內(nèi)通過(guò)每平方厘米的假想平面的摩爾或毫爾數(shù)。定義面積

13、矢量定義面積矢量dSdS是大小為是大小為dS，方向?yàn)榉ň€正方向，方向?yàn)榉ň€正方向n n的量的量ddSSncos( , )cos( , )cos( , )dSn xdydzdSn ydzdxdSn zdxdycos( , )cos( , )cos( , )nxyzaan xan yan za ncos( , )cos( , )cos( , )()nSSSxyzSxyzSa dSdSdan xan yan z dSa dydza dzdxa dxdy dSa naS當(dāng)當(dāng)S是封閉曲面時(shí)，矢量是封閉曲面時(shí)，矢量a通過(guò)通過(guò)S面的通量面的通量nSa dS在場(chǎng)內(nèi)任取一點(diǎn)在場(chǎng)內(nèi)任取一點(diǎn)M，以體積，以體積V包之

14、，若包之，若V的界面為的界面為S，則，則0divlimnSVa dS=Va奧高定理的奧高定理的微分形式微分形式Gauss公式此極限存在，定義為矢量此極限存在，定義為矢量a a的散度。的散度。散度是一個(gè)不依賴于坐標(biāo)系選取的數(shù)量，其為一個(gè)散度是一個(gè)不依賴于坐標(biāo)系選取的數(shù)量，其為一個(gè)標(biāo)量標(biāo)量。二、散度二、散度散度（divergence）可用于表征空間各點(diǎn)矢量場(chǎng)發(fā)散的強(qiáng)弱程度，物理上，散度的意義是場(chǎng)的有源性。當(dāng)div F0 ，表示該點(diǎn)有散發(fā)通量的正源（發(fā)散源）；當(dāng)div F0 表示該點(diǎn)有吸收通量的負(fù)源（洞或匯）；當(dāng)div F=0，表示該點(diǎn)無(wú)源。三、奧高定理三、奧高定理散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式散度在直

15、角坐標(biāo)系中的表達(dá)式這里這里是是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，cos、cos、cos是是上點(diǎn)上點(diǎn)(x,y,z)處的法向量的方向余弦。處的法向量的方向余弦。高斯定理高斯定理：設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域是分片光滑的閉曲面是分片光滑的閉曲面所圍成，函所圍成，函數(shù)數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有有()PQRdVPdydzQdzdxRdxdyxyz()(coscoscos )PQRdVPQRdSxyz利用奧高定理，則有利用奧高定理，則有因體積分中的被積函數(shù)是連續(xù)的，根據(jù)中值公式，上式可因體積分中的被積函數(shù)是連續(xù)的，根據(jù)

16、中值公式，上式可改寫(xiě)為改寫(xiě)為cos( , )cos( , )cos( , )nxyzSSa dsan xan yan z dS()yxzVaaadVxyz()yxznQSaaaa dsVxyz0divlim()yxzQVaaa=xyza當(dāng)當(dāng)V向向M點(diǎn)收縮時(shí)，點(diǎn)收縮時(shí)，Q點(diǎn)最后與點(diǎn)最后與M重合，重合，divyxzaaaxyza =divnSVa dsdVa奧高定理的奧高定理的積分形式積分形式四、無(wú)源場(chǎng)及其性質(zhì)四、無(wú)源場(chǎng)及其性質(zhì)diva0的矢量場(chǎng)稱為無(wú)源場(chǎng)或管式場(chǎng)。1、無(wú)源矢量a經(jīng)過(guò)矢量管任一截面上的通量保持同一數(shù)值。2、矢量管不能在場(chǎng)內(nèi)發(fā)生或終止。一般說(shuō)來(lái)它只可能伸延至無(wú)窮， 達(dá)到區(qū)域的邊界上或

17、自成封閉管路。3、無(wú)源矢量a經(jīng)過(guò)張于一已知周線L的所有曲面S上的通量均相等，亦即此通量只依賴于周線而與所張曲面的形狀無(wú)關(guān)。2 26 6矢量矢量a a沿回線的環(huán)量沿回線的環(huán)量. . 矢量矢量a a的的旋度旋度. . 斯托克斯定理斯托克斯定理一、環(huán)量一、環(huán)量給定一矢量場(chǎng)給定一矢量場(chǎng)a(r,t)，在場(chǎng)內(nèi)取任意一曲線，在場(chǎng)內(nèi)取任意一曲線L，作線積分，作線積分若是封閉曲線，則可表示為：若是封閉曲線，則可表示為：()xyzLLda dxa dya dzar稱之為矢量稱之為矢量a沿曲線沿曲線L的環(huán)量。的環(huán)量。()xyzLLda dxa dya dzar環(huán)量（circulation）是流體的速度沿著一條閉曲線

18、的路徑積分，通常用來(lái)表示。絕參馮潮清絕參馮潮清 趙愉深趙愉深 何浩法何浩法,矢量與張量分析矢量與張量分析,國(guó)防工業(yè)出版社國(guó)防工業(yè)出版社,1986年年12月第月第1版版二、旋度二、旋度設(shè)設(shè)M是場(chǎng)內(nèi)一點(diǎn)，在是場(chǎng)內(nèi)一點(diǎn)，在M點(diǎn)附近取無(wú)限小封閉回線點(diǎn)附近取無(wú)限小封閉回線L，取定某一，取定某一方向?yàn)榉较驗(yàn)長(zhǎng)的正方向。的正方向。設(shè)張于周線設(shè)張于周線L上的曲面是上的曲面是S，作，作S的法線方向的法線方向n，其根據(jù)，其根據(jù)L的正方的正方向及右手螺旋定則來(lái)確定。向及右手螺旋定則來(lái)確定。0rotlimLnSa dr=Sa矢量a的旋度矢量rota在n方向的投影。三、斯托克斯公式三、斯托克斯公式斯托克斯公式（定理）：

19、設(shè)斯托克斯公式（定理）：設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，為分段光滑的空間有向閉曲線，是以是以為邊界的分片光滑的有向曲面，為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的正向與的外側(cè)符的外側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)合右手規(guī)則，函數(shù)P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在包含曲面在包含曲面在在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有()()()RQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxyPdxQdyRdz()xyzLLda dxa dya dzar()cos( , )()cos( , )()cos( , )yyxxzzSaaaaaan xn yn z d

20、Syzzxxy利用中值公式，有利用中值公式，有()cos( , )()cos( , )()cos( , )yyxxzzLaaaaaadSn xn yn zyzzxxy環(huán)量ar0rotlim()cos( , )()cos( , )()cos( , )yLznSyxxza draa=n xSyzaaaan yn zzxxyarotrotrotyzxxzyyxzaayzaazxaaxyaaarotxyzijkxyzaaaa四、無(wú)旋場(chǎng)及其性質(zhì)四、無(wú)旋場(chǎng)及其性質(zhì)1 1、定義、定義rota0的矢量場(chǎng)稱為無(wú)旋場(chǎng)。2 2、性質(zhì)、性質(zhì)= grada無(wú)旋場(chǎng)和位勢(shì)場(chǎng)(有勢(shì)場(chǎng))的等價(jià)性，即若a是位勢(shì)場(chǎng)，= grada

21、則a必為無(wú)旋場(chǎng)，rota0反之，若rota0，則。 3 3、證明、證明= grada設(shè) ，則= gradarot0ijkxyzxyza即rotrotgrad0=a反之，設(shè)rota0，則由斯托克斯公式有rot0LSdrdSaa其中L是任意封閉周界，于是矢量a沿任意封閉回線L的線積分為零，根據(jù)1.3中定理定理2可得 2 27 7 基本運(yùn)算公式基本運(yùn)算公式一、拉普拉斯算子一、拉普拉斯算子二、哈密頓算子二、哈密頓算子一個(gè)具有矢量和微分雙重性質(zhì)的符號(hào)，一方面它是一個(gè)矢量，一個(gè)具有矢量和微分雙重性質(zhì)的符號(hào)，一方面它是一個(gè)矢量，另一方面它是一個(gè)微分算子，但必須是對(duì)其右邊的量發(fā)生微另一方面它是一個(gè)微分算子，但

22、必須是對(duì)其右邊的量發(fā)生微分作用。分作用。222xyz ijkxyz ()ijkxyzgradijkxyz() ()xyzijka ia ja kxyzadivyxzaaaxyza()()rotxyzijka ia ja kxyzaa2()() ()ijkijkxyzxyz 2 28 8 張量初步張量初步一、迪卡爾張量一、迪卡爾張量(1)標(biāo)量是只有數(shù)值大小而無(wú)方向的量，只需用標(biāo)量是只有數(shù)值大小而無(wú)方向的量，只需用一個(gè)實(shí)數(shù)一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表來(lái)表示。示。(2)矢量則是既有大小，又有方向的量，（在三維空間中）有矢量則是既有大小，又有方向的量，（在三維空間中）有三個(gè)分量，需要用三個(gè)分量，需要用三個(gè)實(shí)數(shù)三個(gè)實(shí)數(shù)

23、來(lái)表示。來(lái)表示。(3)比標(biāo)量和矢量更復(fù)雜的量，稱為張量。比標(biāo)量和矢量更復(fù)雜的量，稱為張量。在三維空間中，在三維空間中，r階張量具有階張量具有3r個(gè)分量。個(gè)分量。零階張量（即標(biāo)量）有零階張量（即標(biāo)量）有30=1個(gè)分量；個(gè)分量；一階張量（即矢量）有一階張量（即矢量）有31=3個(gè)分量；個(gè)分量；二階張量有二階張量有32=9個(gè)分量；個(gè)分量；三階張量有三階張量有33=27個(gè)分量；個(gè)分量；在在n維空間中，維空間中，r階張量具有階張量具有nr個(gè)分量。個(gè)分量。張起的平行四邊形或平行六面體的對(duì)角線才能表示的量，所以叫做張量。只不過(guò)矢量是一階張量，我們習(xí)慣上仍稱之為矢量或向量，而通常把二階張量及三階以上的高階張量才

24、稱之為張量。定義：在三維空間中，二階迪卡爾張量定義：在三維空間中，二階迪卡爾張量A是由是由32個(gè)分量個(gè)分量Aij組組成的量。成的量。2 29 9 張量表示法張量表示法在張量表示法中，將坐標(biāo)改寫(xiě)成在張量表示法中，將坐標(biāo)改寫(xiě)成x x1 1，x x2 2，x x3 3一、指標(biāo)記法一、指標(biāo)記法Rxiyjzk把i，j，k分別寫(xiě)成i1，i2，i3，則1 12 23 3Rx ix ix igrad的張量表示法為ix1 12 23 3(1,2,3)i iRx ix ix ixii二、求和約定及啞標(biāo)二、求和約定及啞標(biāo)1 122nnSa xa xa x1niiiSa x (1,2,.)iiSa xiN略去了求和記

25、號(hào)略去了求和記號(hào)求和約定：求和約定：若某個(gè)指標(biāo)在某一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)，而且僅重復(fù)出現(xiàn)若某個(gè)指標(biāo)在某一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)，而且僅重復(fù)出現(xiàn)一次，則該項(xiàng)代表一個(gè)和式，按重復(fù)指標(biāo)的取值范圍求和一次，則該項(xiàng)代表一個(gè)和式，按重復(fù)指標(biāo)的取值范圍求和。（愛(ài)因斯坦）（愛(ài)因斯坦）例：例：ijijSa x x,1,2.i jN11 NNijijijSa x x啞標(biāo)啞標(biāo)：表示求和的重復(fù)指標(biāo)。而啞標(biāo)采用什么字母來(lái)表示表示求和的重復(fù)指標(biāo)。而啞標(biāo)采用什么字母來(lái)表示對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響。對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響。例如：例如：iimma xa xiikkaai jijja x x xi是啞標(biāo)，j不是啞標(biāo)。3311 i jijjija x x x31 i

26、 jijjia x x x三、自由指標(biāo)三、自由指標(biāo)設(shè)有方程組111 1122133221 1222233331 1322333ya xa xa xya xa xa xya xa xa x112233mmmmmmya xyaxyax(1,2,3)iimmya xi自由指標(biāo)自由指標(biāo)：凡不屬于啞標(biāo)的指標(biāo)凡不屬于啞標(biāo)的指標(biāo)。在同一方程中，每一項(xiàng)的。在同一方程中，每一項(xiàng)的自由指標(biāo)必須相同。自由指標(biāo)必須相同。例如：(1,2,3)0(1,2,3)( ,1,2,3)iiiiijjijimjmabciabc diTA Ai jijmmab x沒(méi)有意義。沒(méi)有意義。四、克羅尼克爾符號(hào)四、克羅尼克爾符號(hào)1()0()i

27、jijij(1)ijji(2)1122333ii(3)111 112213312233mmmmmmaaaaaaaaaimmiaa(4)111 112213312233mmjjjjjmmjjmmjjTTTTTTTTTimmjijTTmijmjiimmjijimmjjkikTT (5) iiijij五、置換符號(hào)五、置換符號(hào)（1）置換符號(hào)）置換符號(hào)eijk的定義的定義110ijke , ,123, ,123, ,環(huán)逆環(huán)標(biāo)。i j ki j ki j k若形成 ， ， 的循序列（,）;若形成 ， ， 的循序列（,）;若中有相同的指123231312321132213ee, eeeeeijk共代表共代表

28、27個(gè)量，其中個(gè)量，其中21個(gè)為零。個(gè)為零。ijk123（2）置換符號(hào)）置換符號(hào)eijk的作用的作用利用置換符號(hào)eijk可將兩矢量的矢積AB表示成簡(jiǎn)單的分量形式。ii iCABCiijkjkCe A B112323132322332223131213133113331212321211221CeA BeA BA BA BCeA BeABA BABCeABeA BABA B六、指標(biāo)記法的運(yùn)算特點(diǎn)六、指標(biāo)記法的運(yùn)算特點(diǎn)(1)求和：凡自由指標(biāo)完全相同的項(xiàng)才能相加（或減）。,ijijijiimmikkabCabC d,ijikiijabab無(wú)意義無(wú)意義(2)代入：iimmaU biimmbV Ciim

29、mnnaU V C(3)乘積：mmpa bmmqC dmmnnpqa b C d(4)因子分解：因子分解：0ijjiT nnnj作為公因子提出來(lái)作為公因子提出來(lái)ni寫(xiě)成寫(xiě)成ijnj()0ijjiijjijjijijjT nnT nnTnimmiaaimmjijTT一、迪卡爾張量的代數(shù)運(yùn)算一、迪卡爾張量的代數(shù)運(yùn)算1、張量的和、張量的和定義：兩個(gè)定義：兩個(gè)r階張量的和仍是階張量的和仍是r階張量，其分量是原來(lái)兩張階張量，其分量是原來(lái)兩張量分量之和。量分量之和。2、對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量、對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量設(shè)設(shè)Tij為二階張量，若為二階張量，若TijTji，則稱該張量為對(duì)稱張量；若，則稱該張量為對(duì)稱張

30、量；若TijTji，則稱該張量為反對(duì)稱張量。，則稱該張量為反對(duì)稱張量。3、張量和矩陣、張量和矩陣矩陣與張量有許多相似的性矩陣與張量有許多相似的性質(zhì)，張量的一些運(yùn)算法則可質(zhì)，張量的一些運(yùn)算法則可通過(guò)矩陣來(lái)表示。通過(guò)矩陣來(lái)表示。ijijijijijijjiABCABDA BE2 210 10 張量運(yùn)算張量運(yùn)算4、張量的外積、張量的外積定義：一個(gè)定義：一個(gè)r階張量和一個(gè)階張量和一個(gè)s階張量的外積是一個(gè)階張量的外積是一個(gè)r+s階張量，階張量，其分量由原來(lái)兩個(gè)張量的各個(gè)分量的乘積組成。其分量由原來(lái)兩個(gè)張量的各個(gè)分量的乘積組成。5、張量的縮并、張量的縮并定義：使定義：使r（2）階張量分量的兩個(gè)指標(biāo)相同，并

31、對(duì)該重）階張量分量的兩個(gè)指標(biāo)相同，并對(duì)該重復(fù)指標(biāo)求和，這種運(yùn)算稱為縮并。復(fù)指標(biāo)求和，這種運(yùn)算稱為縮并。ijkmnijkmnA BC112233iikkkkkAAAAC若將若將r（2）階張量進(jìn)行一次縮并，結(jié)果仍是張量，但將為）階張量進(jìn)行一次縮并，結(jié)果仍是張量，但將為r-2階。張量的縮并可反復(fù)進(jìn)行，直到運(yùn)算結(jié)果降為一階張階。張量的縮并可反復(fù)進(jìn)行，直到運(yùn)算結(jié)果降為一階張量（矢量）或零階張量（標(biāo)量）。量（矢量）或零階張量（標(biāo)量）。6、張量的內(nèi)積、張量的內(nèi)積定義：兩個(gè)張量的內(nèi)積就是將兩個(gè)張量的外積進(jìn)行縮并。定義：兩個(gè)張量的內(nèi)積就是將兩個(gè)張量的外積進(jìn)行縮并。如二階張量如二階張量Cij和和Dmn，它們可構(gòu)成

32、四種內(nèi)積，即，它們可構(gòu)成四種內(nèi)積，即,ijinjnijjninijmijmijmjimC DEC DFC DGC DH7、對(duì)稱張量場(chǎng)、對(duì)稱張量場(chǎng)ijjiAA反對(duì)稱張量場(chǎng)反對(duì)稱張量場(chǎng)ijjiAA ijkjikAAijkA關(guān)于前兩個(gè)指標(biāo)對(duì)稱關(guān)于前兩個(gè)指標(biāo)對(duì)稱二、迪卡爾張量的微分二、迪卡爾張量的微分1、張量場(chǎng)、張量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)由給定區(qū)域的點(diǎn)組成，并且在每一點(diǎn)上有標(biāo)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)由給定區(qū)域的點(diǎn)組成，并且在每一點(diǎn)上有該標(biāo)量或矢量的對(duì)應(yīng)值。該標(biāo)量或矢量的對(duì)應(yīng)值。溫度分布溫度分布T(x1，x2，x3)是標(biāo)量場(chǎng)（通常稱為溫度是標(biāo)量場(chǎng)（通常稱為溫度場(chǎng)場(chǎng)）速度分布速度分布v(x1，x2，x3)是矢量場(chǎng)（通常稱為

33、速度場(chǎng)）是矢量場(chǎng)（通常稱為速度場(chǎng)）任何一個(gè)任何一個(gè)r2的的r階張量均可分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反階張量均可分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量之和對(duì)稱張量之和。1122ijijjiijjiAAAAA應(yīng)變率張量：描述變形的特征量應(yīng)變率張量：描述變形的特征量1122iiiiijjijiuuuuuxxxxx給定區(qū)域的每一點(diǎn)上定義一個(gè)張量，就是張量場(chǎng)。給定區(qū)域的每一點(diǎn)上定義一個(gè)張量，就是張量場(chǎng)。應(yīng)力分布應(yīng)力分布(x1，x2，x3)便是二階張量場(chǎng)。便是二階張量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)分別為零階和一階張量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)分別為零階和一階張量場(chǎng)。2、張量場(chǎng)的表示方法、張量場(chǎng)的表示方法標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)可寫(xiě)成可寫(xiě)成(xk)或或(xk，t)矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)A可寫(xiě)成可寫(xiě)成Ai(xk)或或Ai(xk，t)二階張量場(chǎng)二階張量場(chǎng)T可寫(xiě)成可寫(xiě)成Tij(xk)或或Tij (xk，t) 3、張量場(chǎng)的梯度、張量場(chǎng)的梯度grad ()(/)ikiixx /ix標(biāo)量場(chǎng)的偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)量場(chǎng)的偏導(dǎo)數(shù) 為矢量場(chǎng)的分量，即為矢量場(chǎng)的分量，即3、張量場(chǎng)的散度