磁聚焦和磁發(fā)散

1、磁聚焦和磁發(fā)散一、帶電粒子的匯聚特點(diǎn)：磁場(chǎng)是圓形磁場(chǎng)磁場(chǎng)圓的半徑和軌跡圓的半徑相等大量帶正電的粒子平行入射0結(jié)論：這些粒子會(huì)匯聚一點(diǎn)射出磁場(chǎng)。幾何關(guān)系：磁場(chǎng)圓的兩條半徑，軌跡圓的兩條半徑組成的四邊形是菱形。因?yàn)镺O是角平分線，所以Z1=Z2，因?yàn)镺B=OB所以Z2=Z3,所以Z1=Z3,四邊形AOBO是菱形。如圖所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場(chǎng)區(qū)域，如果軌跡圓半徑與磁場(chǎng)圓半徑相等即R=r,則所有的帶電粒子將從磁場(chǎng)圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出.平行四邊形OAO,B為菱形，可得B0為軌跡圓的半徑，可知從A點(diǎn)發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過B點(diǎn).1、如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向

2、豎直向上在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng).在圓的左邊放置一帶電微粒發(fā)射裝置,它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q0)和初速度v的帶電微粒.發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0y2R的區(qū)間內(nèi).已知重力加速度大小為g.帶電微粒發(fā)射裝置(1) 從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入有磁場(chǎng)區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開，求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向.請(qǐng)指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由.(1) 帶電粒子平行于x軸從C點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，說明帶電微粒所受重力和電場(chǎng)力平衡。設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,由吒朋，可得，方向沿y軸正方向帶電微粒

3、進(jìn)入磁場(chǎng)后，將做圓周運(yùn)動(dòng)，且r=R,如圖甲所示，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。由，得，方向垂直于紙面向外10（2）這束帶電微粒都通過坐標(biāo)原點(diǎn)方法一：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心位于其正下方的Q點(diǎn)，如圖乙所示，這束帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后的圓心軌跡是如圖乙的虛線半圓，此圓的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)方法二：從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如圖乙所示，高P點(diǎn)與0點(diǎn)的連線與y軸的夾角為0,其圓心Q的坐標(biāo)為（-Rsin0,Rcos。），圓周運(yùn)動(dòng)軌跡方程為（兀+恥in日）+S-Rcos得x=0，y=0或x=-Rsin0，y=R（l+cos0）2、如圖所

4、示，在一個(gè)半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，0為圓心，一個(gè)電子以一定速度v沿A0方向（水平）射入磁場(chǎng)，經(jīng)過時(shí)間t從0點(diǎn)正下方的C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，另有一電子以相同速度從磁場(chǎng)邊界上的B點(diǎn)水平射入磁場(chǎng)，兩速度方向與圓周在一平面內(nèi)，且A、B兩點(diǎn)n間圓弧長(zhǎng)度為&R，則第二個(gè)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（A）A、第二個(gè)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為21B、第二個(gè)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ft8C、第二個(gè)電子從C點(diǎn)的左側(cè)圓弧AC上某點(diǎn)射出D、第二個(gè)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為0=；43、如圖所示，半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)分布著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，半圓的左邊垂直x軸放置一粒子發(fā)射裝置，

5、在-RWyWR的區(qū)間內(nèi)各處均沿x軸正方向同時(shí)發(fā)射出一束帶正電粒子，粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為q、初速度均為v,重力及粒子間的相互作用均忽略不計(jì)，所有粒子都能到達(dá)y軸，其中最后到達(dá)y軸的粒子比最先到達(dá)y軸的粒子晚At時(shí)間，則（ABD）A. 有些粒子可能到達(dá)y軸上相同的位置B.磁場(chǎng)區(qū)域半徑R應(yīng)滿足RmvqBD.At亠-RBqv.0mRAt=亦匚其中角度。的弧度值滿足血0BqRmvA、粒子射入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，y=R的粒子直接沿直線運(yùn)動(dòng)到達(dá)y軸，其他粒子在磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)。由圖可知，發(fā)生偏轉(zhuǎn)的粒子也有可能直接打在y=R的位置上，所以粒子可能會(huì)到達(dá)y軸的同一位置，故A正確;B、以

6、沿x軸射入的粒子為例，若r=mv飛R,則粒子不能到達(dá)y軸就偏向上離開磁場(chǎng)區(qū)域，所qBmv以要求R廳，所有粒子才能穿越磁場(chǎng)到達(dá)y軸，故B正確;D、從x軸入射的粒子在磁場(chǎng)中對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)最長(zhǎng)，所以該粒子最后到達(dá)y軸，LR02兀mLR0m=v+云=v+qB，（其中。為從X軸入射粒子運(yùn)動(dòng)的圓心角，根據(jù)幾何關(guān)系有a=e，則sin0=sina=qBR）；而y=土R的粒子沿直線勻速運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸，時(shí)間最短，rmvL9mRt=，所以：t=t-t=，故D正確。2v12qBvc兀a,兀mRC、由于9，所以At0)的粒子以速度v從0點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向且速度方向沿X軸正方向射入第一象限，粒子恰好從q點(diǎn)正上方的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)

7、粒子重力。(1) 求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；(2) 求粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)所通過的路程。(3) 若粒子以速度v從0點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向且與x軸正方向的夾角9=300射入第一象限，求粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)的時(shí)間to(1) 設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為RquB=血R粒子自A點(diǎn)射出，由幾何知識(shí)R=a解得B=皿qa(2) 經(jīng)分析粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的路程R=aS=iRx2=na14粒子在電場(chǎng)中的路程S2=q=ma=2Z=22a厶Eq汽坦=+鴛V粒子從磁場(chǎng)中的P點(diǎn)射出，因磁場(chǎng)圓和粒子的軌跡圓的半徑相等，OO1PO2構(gòu)成菱形，故粒子從P12點(diǎn)的出射方向與y軸平行，粒子由0到P所對(duì)應(yīng)的圓心角為0廠

8、60。由幾何知識(shí)可知，粒子由P點(diǎn)到x軸的距離S=acos0粒子在電場(chǎng)中做勻變速運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間_=皿1qe粒子由P點(diǎn)第2次進(jìn)入磁場(chǎng)，由Q點(diǎn)射出，PO0O3構(gòu)成菱形，由幾何知識(shí)可知Q點(diǎn)在x軸上，粒子由P到Q的偏向角為02=120。，則+02=n粒子先后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間獷;粒子在場(chǎng)區(qū)之間做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=皿解得粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)的時(shí)間（2+兀V3）a2mvt=t+t+t=+123yq8、如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy平面的第II象限內(nèi)有半徑為R的圓分別與x軸、y軸相切于P（-r,0）、Q（0,r）兩點(diǎn)，圓內(nèi)存在垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.與y軸負(fù)方向平行的勻

9、強(qiáng)電場(chǎng)左邊界與y軸重合，右邊界交x軸于M點(diǎn)，一帶正電的粒子A（重力不計(jì)）電荷量為q、質(zhì)量為m,以某一速率垂直于x軸從C點(diǎn)射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)恰好從D點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，最后從G點(diǎn)以與x軸正向夾角為45。的方向射出電場(chǎng).求:0M之間的距離;(2)該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E；(3)若另有一個(gè)與A的質(zhì)量和電荷量相同、速率也相同的粒子A，,從C點(diǎn)沿與x軸負(fù)方向成30角的方向射入磁場(chǎng),則粒子A，再次回到x軸上某點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)的坐標(biāo)值為多少?（1）設(shè)粒子A射入磁場(chǎng)時(shí)的速率為V。，其在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心必在x軸上，設(shè)其圓心為OA,連接OAC、OAD，則OAC=OAD=r,所以O(shè)A與O點(diǎn)重合，故A粒子在磁場(chǎng)區(qū)域的偏轉(zhuǎn)半徑

10、也是r.（2分）A粒子運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)時(shí)速度與y軸垂直，粒子A從D至G作類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度為a,在電場(chǎng)中運(yùn)行的時(shí)間為t,由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得：r-al2（1分）(Xt-（1分）由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)可得：匕（1分）聯(lián)立解得：（1分）（2）粒子A的軌跡圓半徑為r，由洛侖茲力和向心力公式可得：v2qvcB=m廣（2分）由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和電場(chǎng)力公式可得：（2分）E進(jìn)聯(lián)立解得：九（2分）（3）設(shè)粒子A，在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為0，,因?yàn)閆OZCA=90,OzC=r,以O(shè)z為圓心、r為半徑做A，的軌跡圓交圓形磁場(chǎng)必于只點(diǎn)，貝Q四邊形CO,H0為菱形，故0,Hy軸，粒子A，從磁場(chǎng)中出來交y軸于I點(diǎn)，HI丄0,H,所以粒

11、子A，也是垂直于y軸進(jìn)入電場(chǎng)。（2分）設(shè)粒子A，從J點(diǎn)射出電場(chǎng)，交x軸于K點(diǎn)，因與粒子A在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)類似，由（1）式可得：0IJG=r（2分）又0I=r+rcos30（1分）由式解得：JG=rcos30=2r根據(jù)圖中幾何知識(shí)可得：ZJKG=45,GK=GJ所以粒子A，再次回到x軸上的坐標(biāo)為（丄,0）（1分）三、磁發(fā)散問題中和數(shù)學(xué)相關(guān)的最值問題9、在如圖的x0y坐標(biāo)系中.A（-L,0）、C是x軸上的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,L）.在第二象限內(nèi)以D（-L,L）為圓心、L為半徑的*圓形區(qū)域內(nèi)，分布著方向垂直x0y平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng);在第一象限三角形0PC之外的區(qū)域，分布著沿y軸負(fù)

12、方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).現(xiàn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為+q的相同粒子，從A點(diǎn)平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁場(chǎng)區(qū)域，其中沿AD方向射入的粒子恰好從P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)后恰好通過C點(diǎn).已知a=30,不考慮粒子間的相互作用及其重力，求：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大??；沐（2）x正半軸上有粒子穿越的區(qū)間.dFb1rfr111ruIl!:10t/7ia-1uIApc解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r,粒子初速度為v,0P_忙則，由幾何關(guān)系得：r=L，沿AD方向的粒子由P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度方向與y軸垂直，設(shè)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,電場(chǎng)強(qiáng)度為E,則0qE=ma，tanOt=v0f0，13L=2qB2

13、L解得：E=（2）若粒子的速度方向與x軸正方向的夾角為e,粒子從F點(diǎn)射出磁場(chǎng)，由于r=L，故四邊形ADF0為菱形，OF平行AD,v丄0F,F帶電粒子離開磁場(chǎng)時(shí)，速度方向沿X軸正方向，則有：y=L（1-cos0）,F粒子從F通過PC，則ranU粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,從C通過X軸離開電場(chǎng)，沿X軸方向的位移為X,I2x=vt,0粒子到達(dá)X軸的坐標(biāo)為X,X=x+xcCF8+Jl（OV0W9O。）當(dāng)e=90時(shí)，x的最小Ccosl當(dāng)9=3運(yùn)J1xitiaxn-時(shí)，x的最大值C所以x正半袖上有粒子穿越的區(qū)間為IqB-L答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為（2）x正半袖上有粒子穿越的區(qū)間為變式1、在直角坐標(biāo)系xo

14、y中，A（-0.3，0）、C是x軸上兩點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,0.3）。在第二象限內(nèi)以D（-0.3,0.3）為圓心、0.3m為半徑的1/4圓形區(qū)域內(nèi)，分布著方向垂直xoy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；在第一象限三角形OPC之外的區(qū)域，分布著沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)（如圖所示）?，F(xiàn)有大量質(zhì)量為m二3x10-9kg、電荷量為q二lx104C的相同粒子，從A點(diǎn)平行xoy平面以相同速率v二103m/s沿不同方向射向磁場(chǎng)區(qū)域，其中沿AD方向射入的粒子恰好從P點(diǎn)垂直y軸進(jìn)入電場(chǎng)，恰好通過C點(diǎn)。已知a=37，不考慮粒子間的相互作用及其重力，求：20mvqB（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大??；（2）粒子穿

15、越x正半軸的最大值。mv(1)r=(2)0.5mqB【解析】（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為r,粒子的初速度為vmv2qvB=根據(jù)題意和幾何知識(shí)，可得：r=DP=0.3mv=1X103n/sr沿AD方向的粒子由P點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度方向與y軸垂直。所以，該粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tOC=vt1OP=at22OP=OCtanaqE=maE=112.5V/m（2）若速度方向與x軸正方向的夾角為e的入射粒子，從x正半軸穿過時(shí)距離0點(diǎn)最遠(yuǎn)。粒子從F點(diǎn)離開磁場(chǎng)，其中O是粒子運(yùn)動(dòng)的圓心。由于粒子的運(yùn)動(dòng)半徑等于磁場(chǎng)的半徑，所以四邊形ADFO為菱形，O|AD，v丄OF，而AD又是豎直方

16、向，所以v垂直于y軸FF從F點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，仍做類平拋運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)時(shí)間為tx=vt1y=at2F2x=x+xCFx二工Ftanay=r(1一cos0)F粒子到達(dá)X軸的坐標(biāo)為X聯(lián)合接的xc設(shè)1-cos0=0.4l-cos0+0.4cos0當(dāng)k=0.5時(shí)xc有最大值且為5m=k，所以x=0.4k+0.4(1-k2)C10、如圖所示，在xOy平面內(nèi)，緊挨著的三個(gè)“柳葉”形有界區(qū)域內(nèi)（含邊界上）有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),它們的邊界都是半徑為a的*圓，每個(gè)4圓的端點(diǎn)處的切線要么與x軸平行、要么與y軸平行區(qū)域的下端恰在0點(diǎn)，區(qū)域在A點(diǎn)平滑連接、區(qū)域在C點(diǎn)平滑連接.大量質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶正電的粒子依次

17、從坐標(biāo)原點(diǎn)0以相同的速率、各種不同的方向射入第一象限內(nèi)（含沿x軸、y軸方向），它們只要在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，軌道半徑就都為a.在yWa的區(qū)域,存在場(chǎng)強(qiáng)為E的沿一x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).整個(gè)裝置在真空中，不計(jì)粒子重力、不計(jì)粒子之間的相互作用求:(1)粒子從o點(diǎn)射出時(shí)的速率V。；這群粒子中，從0點(diǎn)射出至運(yùn)動(dòng)到x軸上的最長(zhǎng)時(shí)間;(3) 這群粒子到達(dá)y軸上的區(qū)域范圍.四、磁場(chǎng)的最小區(qū)域問題11、電子質(zhì)量為M,電荷量為e,從坐標(biāo)原點(diǎn)0處沿xOy平面射入第一象限，射入時(shí)速度方向不同，速度大小均為V。，如圖所示?，F(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,若這些電子穿過磁場(chǎng)后都能垂直射到熒光屏M

18、N上，熒光屏與y軸平行，求：N(1) 熒光屏上光斑的長(zhǎng)度；(2) 所加磁場(chǎng)范圍的最小面積。解：(1)如圖所示，求光斑長(zhǎng)度，關(guān)鍵是找到兩個(gè)邊界點(diǎn)，初速度方向沿x軸正方向的電子，沿弧0B運(yùn)動(dòng)到P；初速度方向沿y軸正方向的電子,沿弧0C運(yùn)動(dòng)到QR=電子在磁場(chǎng)中的半徑PQ=R=由圖可知(2)沿任一方向射入第一象限的電子經(jīng)電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都能垂直打到熒光屏MN上，所加最小面積的磁場(chǎng)的邊界是以0(0,R)為圓心，R為半徑的圓的一部分，如圖中實(shí)線所示，所以磁場(chǎng)范圍的最小面積為“二兀皆十卩-丄兀皿二(蘭十1)(響442藥12、如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形。質(zhì)量為皿、電荷量為e的電子以大小為vO的初速度沿紙面垂直于BC變射入正方形區(qū)域。在正方形)內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A14Li點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力，求：（1）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大?。?）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。_-是自C點(diǎn)垂直于BC入射的電子在解：（1）設(shè)勻強(qiáng)