電磁場與電磁波謝處方_課后答案

1、電磁場與電磁波（第四版）謝處方課后答案第一章習(xí)題解答給定三個矢量a、b和c如下:B=-e4+eyzc=e5一e2（3）AB；9求：（1）a解«Ae+e2一e3A12+22+(3)21=5+e6一52）3）AB|=|(e+eAB=(e+e2一e3)(e4+e)=_11xyzyz2e3)(e4+e)=le+e6e4;53zyzxyz4）由cos9=A.B-1111ABA|B腫X肩T23F=135.5°得9=cos1(AB5）A在B上的分量A=BAcos9=AB116）AXc=ez3-27）由于BxC=AXB=AB_B|=e4e13e10xy-4-2ez3=e8+e5+e20xy

2、z=-e10-e1-e4-4yz;（2）|A-B；（3）ab；（4）9；（5）a在B上的分量；（6）axC；A.（BxC）和（AxB）C；（AxB）XC和Ax（BxC）。所以8）10yz14=e2e40+e5A(BxC)=(e+e2e3)(e8+e5+e20)=-42yz(AxB)C=(e10e1e4)(e5e2)=42eexyeexyAx(BxC)=12ez3=e55e44e118520三角形的三個頂點為P(0,1,2)、P(4,1,3)和P(6,2,5)。(1) 判斷APPP是否為一直角三角形h3(2) 求三角形12的3面積。解(1)三個頂點P(0,1,2)、P(4,1,3)和P(6,2,

3、5)的位置矢量分別為123r=ee2，r=e4+ee3，r=e6+e2+e51yz2xyz3xyzR=rr=e4e，R=rr=e2+e+e8，1221xz2332xyzR=rr=e6ee7由此可見3113xyR.R=(e4e)(e1223xz故APPP為一直角三角開纟。123(2)三角形的面積s=1R21求P'(3,1,4)點到P(2,2,3)點的距離矢量R及R的方向。=e3+e+e4，r=e2e2+e3，xyzPxyzR=rr=e5e3ey、；'*由的夾角分別為'z.er0=cos-i(x2+e+e8)=0yz12xRj二1|RxRJ二*17x麗二17.13解r.p&

4、#39;則且R與xp'p=32.31PP)=cos1RI1ppeR0=cos1(ypp)=cos1yRP'P1PP)=cos1(Rp'p、給定兩矢量A=e2+e3e4和B=e4e5+e6，求它們之間的夾角和A在B上的分量。xyzxyz=cos-1(31)=131爐x/770=cos1(e>Rz二120.47°=99.73°x解A與B之間的夾角為A在B上的分量為A=A給定兩矢量A=e2+e3-e4和B=e6-e4+e，求AXB在C=ee+e上的分量。yzxyzex26=exey34ez41=e13+e22+e10xyzxyz(AXB)=(AXB)

5、CC孚=14.43證明：如果ab=ac和AxB=AxC，則B=C；解由AxB=AxC，則有Ax(AxB)=Ax(AxC)，即(AB)A(A.A)B=(AC)A(A.A)C由于A.B=AC，于是得到(AA)B=(AA)C故B=C如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)A為一已p=AX而P=AXX，P和P已知，試求由P=AxX，有所以AXB在C上的分量為知矢量，解X。故得AXP=AX(AXX)=(AX)A(A.A)X=pA(A.A)XpAAxPX=A.A在圓柱坐標(biāo)中，一點的位置由（4,王,3）定出，求該點在：（1）直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)；（2）球坐標(biāo)中3的坐標(biāo)。解在直

6、角坐標(biāo)系中x=4cos（2兀=2、y=4sin（2兀=2込、z=3故該點的直角坐標(biāo)為（2,2柘,3）。在球坐標(biāo)系中r+32=5、tan-1(4二53.1°、帖2叫3二120°故該點的球坐標(biāo)為(5,53.1°,120。)用球坐標(biāo)表示的場E二e25，rr2(1) 求在直角坐標(biāo)中點(-3,4,-5)處的|e|和E;(2) 求在直角坐標(biāo)中點(-3,4,-5)處E與矢量B=e2-e2+e構(gòu)成的夾角。xyz解(1)在直角坐標(biāo)中點(-3,4,-5)處，r2=(-3)2+42+(-5)2=50，故25err2xyzr2=(-3)2+42+(-5)2=50=1=2E=eE=EIco

7、s0=x=xxIIrx25忑20(2)在直角坐標(biāo)中點(-3,4,-5)處，r=-e3+e4-e5，所以xyz2525r-e3+e4-e5E=xyjr2r310EB)=cos-1(空亜)=153.6。|E|B|32球坐標(biāo)中兩個點(r,0,Q)和(r,0,Q)定出兩個位置矢量R和R。證明R和R間夾角的余弦為1112221212cosY=cos0cos0+sin0sin0cos(Q-Q)121212解由R=ersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos01 x111y111z11R=ersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos02 x222y222z22得到cosY="1

8、：*2.=故E與B構(gòu)成的夾角為0=cos-1(EB氣IIsin0cosQsin0cosQ+sin0sinQsin0sinQ+cos0cos0=1122112212sin0sin0(cosQcosQ+sinQsinQ)+cos0cos0=1212112sin0sin0cos(Q-Q)+cos0cos0121212球面s的半徑為5，球心在原點上，計算：&(e3sin0)dS(errSS在由r=5、z=o和z=在圓柱坐標(biāo)系中12所以故有f(e3sin0)dS的值。rS3sin0)edS=予dQf3sin0x52sin0d0=75兀24圍成的圓柱形區(qū)域：對矢量A=er2+e2z驗證散度定理。r

9、z1QQVA=-(rr2)+(2z)=3r+2rQrQzfdzfdQf(3r+2)rdr=1200兀000(er2+e2z)(edS+edS+edS)=rzrrQQzzSff52x5dQdz+ff2x4rdrdQ=1200兀0000JVAdt=1200兀=6AdSts、t(1)矢量A=ex2+ex2y2+e24x2y2z3的散度；(2)求v.A對中心在原點的一個單位立萬體的JvAdt=1AdS=(f)S積分；求(3)求A對此立方體表面的積分，驗證散度定理。VA=空+竺蘭2+d(24兀2y2z3)=2x+2x2y+72x2y2z2dxdydzVA對中心在原點的一個單位立方體的積分為1|21(21

10、|21JVAdt=JJJ(2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz=-A對此立方體表面的1積分irte血11屯1AdS=JJ(-)2dydz-JJ(-)2dydz+-12-122-12-1221(21(21血血12x2()2dxdz-JJ2x2(-)2dxdz+it2/2-12-12-12-121|21|211|21|21124x2y2()3dxdy-JJ24x2y2(-)3dxdy=-12-122-12-12224JVAdt=6A*dS24計算矢量r對一個球心在原點、半徑為a的球表面的積分，并求Vr對球體積的積分。JrdS=iredS=fd©faa2sin0d0=4兀a3rS

11、001d(r2r)=3，所以解（1）故有2）3）又在球坐標(biāo)系中，SVr=r2drJVrdt=予JJ3r2sin0drd0d©=4fa3求矢量A=ex+ex2+ey2z沿xy平面上的一個邊長為2的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求VxA對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。（JAdl=Jxdx-Jxdx+J22dy-J0dy=80又VxA=ddddxdydzxx2y2z所以JvxadS=S00故有AAdl=8=VC0ey=e2yz+e2xxz2yz+e2x)edxdy=8xzz0xCs_求矢量A=ex+exy2沿圓周x2+y2=a2的線積分，再計算Vx

12、A對此圓面積的積分。解iAdI=ixdx+xy2dy=f(一a2cos©sin©+a4cos2©sin2©)d©=iC04VxAdS=Je(竺zdx證明：解（1）dAx)edS=Jy2dS=ffr2sin2©rd©dr=dyz4V.R=3；(2)VxR=0；V(AR)=A。其中RVR=dx+空+竺=3dxdydz=ex+ey+ez，A為一常矢量。xyz2)ey66yy+eA，貝UA*R=Ax+Ay+Az，古攵xxyyzzxyz66V(AR)=e(Ax+Ay+Az)+e(Ax+Ay+Az)+VxR=exddxezddzx(3)

13、設(shè)A=eA+eAyy6可得到x6xxyzy6yxyz6e(Ax+Ay+Az)=eA+eA+eA=Az6zxyzxxyyzz徑向矢量場F=ef(r)表示，如果vF=0，那么函數(shù)f(r)會有什么特點呢?r解在圓柱坐標(biāo)系中，由VF=2f(r)=0rdr在球坐標(biāo)系中，由可得到f(r)二CC為任意常數(shù)。r1JVF二一-r2f(r)二0r2drCf(r)=-r2給定矢量函數(shù)E=ey+ex，試求從點P(2,1,-1)到點P(8,2,-1)的線積分fEdl:(1)沿拋物線,1-x=y2；(2)沿連接該兩點的直線。這個E是保守場嗎？解(1)fEdl=fEdx+Edy=fydx+xdy=xyCCCfyd(2y2)

14、+2y2dy=f6y2dy=1411(2)連接點P(2,1,-1)到點P(8,2,-1)直線方程為12x2x8y1y2古攵fEdl=fEdx+Edy=fyd(6y4)+(6y4)dy=f(12y4)dy=14xyCC1由此可見積分與路徑無關(guān)，故是保守場。求標(biāo)量函數(shù)屮=x2yz的梯度及屮在一個指定方向的方向?qū)?shù)，e丄+e丄+e丄定出；求(2,3,1)點的方向?qū)?shù)值。x弋50y<50z；50解xy666V屮=e(x2yz)+e(x2yz)+e(x2yz)=x6xy6yz6ze2xyz+ex2z+ex2yxyz+e二+e丄的方向?qū)?shù)為<50y750z50丄VWe二處+坦+迫611原原原點

15、(2,3,1)處沿e的方向?qū)?shù)值為16W361660112=+=-61<50<50<50；50故沿方向e此方向由單位矢量x題圖同理試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中vA=竺+竺+竺相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的公式dxdydz1ddAdAVA=d1d1d(r2sin0cos()+r(sin0cos0cos()+r(sin()=(rA)+(+=。rdrrrd(dz在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題圖所示。矢量場A沿e方向穿出該六面體的表面的通量為r(+A(z申zA(r+Ar)drd(一JJrr+Ar©(r+Ar)A(r+Ar,(,z)rA(r,(,z)A(Az沁d(rA”)ArA(Az=1

16、d("丿Atrrdrrdrr+Arz+AzdrdzJJ(+a(r樂r©+A©.rdrd(一丁于zz+Azr(r©+A©JAr©dAdAA(r,(,z+Az)A(r,(,z)rArA(Az«鋁rArA(Az=丁Atzzdz因此，矢量場A穿出該六面體的表面的通量為1d(rA)dAdA屮=屮+屮+屮Ur+債+zATr©zrdrrd©dzW1d(rA)dA故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式V.A=li=-企Jat®Ardrr.dA©+z-Q()dzAdrdz-rzrzdA.dAAtr帥A(r,(+A

17、(,z)A(r,(,z)ArAz-4ArA(Az=(d(Vu之蘭+e強+e冬xa2yb2zc2方程u=乂+21+£1給出一橢球族。求橢球表面上任意點的單位法向矢量。a2b2c2解由于|Vu|-r2drrsin0d0rsin0d(；()2+(F)2+(三)2a2b2c2/天、/y、/z、()2+()2+(一)2a2b2c2故橢球表面上任意點的單位法向矢量為Vuxyn=(e+e+e|Vuxa2yb2z現(xiàn)有三個矢量a、b、c為A=esin0cos(+ecos0cos(-esin(r0(B=ez2sin(+ez2cos©+e2rzsin(r(zC=e(3y22x)+ex2+e2z(

18、1) 哪些矢量可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示?(2) 求出這些矢量的源分布。解(1)在球坐標(biāo)系中1d1de1dAVA=一(r2A)+(sin0A)+(=r2drrrsin0d00rsin0d(2sin0cos©+淫-2sin°cos°淫=0rrsin0rrsin0erersin0er0Q,1aaVxA=r2sin0ara0aQArArsin0Ar0Qerer01aar2sin0ara0sin0cosQrcos0cosQ故矢量a既可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，在圓柱坐標(biāo)系中rsin0ed帥一rsin0sinQ也可以由一個矢量函數(shù)的

19、旋度表示；VB=1(rB)+-込+込=rarrrQQQzz2sinQr+z-raQaz-(rz2sinQ)+(z2cosQ)+(2rzsinQ)=rarraQazz2sinQ+2rsinQ=2rsinQrVxb二-rre0aaraQBrBQz故矢量B可以由一個標(biāo)量函數(shù)的梯度直角在坐標(biāo)系中arz2sinQre0_a_aQrz2cosQezaaz2rzsinQ示；Vc=竺+竺+竺=axayaz臥(3y2-2x)+ay(x2)+az(22)=0Vxc=exax3y22xeyaayx2ezaaz2z=e(2x6y)z故矢量c可以由一個矢量函數(shù)的旋度表示。(2)這些矢量的源分布為VA=0，VxA=0；V

20、B=2rsinQ，VxB=0；VC=0，VxC=e(2x6y)利用直角坐標(biāo)，證明z解在直角坐標(biāo)中V(fA)二fVA+A.VffVA+AVf=f(竺+竺+竺)+(Aaf+Aaf+A蛍)=axayazxaxyayzazaAafaAafaAaf(fx+A)+(fa+A)+(f2+A)=axxaxayyayazzazaaa-(fA)+-(fA)+-(fA)=V(fA)axxayyazz證明(AxH)=HVxA-A.VxH解根據(jù)V算子的微分運算性質(zhì)，有V(AxH)=V(AxH)+V(AxH)式中V表示只對矢量A作微分運算，V表示只對矢量H作微分運算。由a(bxc)=c(axb)，可得V(AxH)=H(V

21、xA)=H(VxA)AA同理V(AxH)=-A(VxH)=-A(VxH)故有V(AxH)=H.VxA-A.VxH利用直角坐標(biāo)，證明解在直角坐標(biāo)中OGOGVx(fG)=fVxG+VfxGOGfVxG=fe(丁-于)+e(亍-亍)+e(才-亍)xOyOzyOzOxzOxOyVfxG=e(GOf-GOf)+e(GOf-GOf)+e(GOf-GOf)xzOyyOzyxOzzOxzyOxxOy所以fVxG+VfxG=e(Gf+f學(xué))-(Gf+f學(xué))+xzOyOyyOzOz+f學(xué))+Ox5f-ax05y-Gax+e-f2+ef-f2+xOyOzyOzOxO(fG)O(fG)Vxe-白=Vx(fG)zoxo

22、y利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明Vx(Vu)=0及V(VxA)=0，試證明之。解(1)對于任意閉合曲線C為邊界的任意曲面S，由斯托克斯定理有zOxf(VxVu)dS=Vudl=i°Udldu=0Ol由于曲面s是任意的，故有CCVx(Vu)=0(2)對于任意閉合曲面s為邊界的體積t，Jv(VxA)dt=(VxA)dS=ts其中s和s如題圖所示。由斯托克斯定理，f(VxA)dS=iAdl,siCi由題圖可知C和C是方向相反的同一回路，12所以得到fv(VxtC題圖2ni由于體積t是任意的，故有由散度定理有f(VxA)dS+f(VxA)dS有S1江f(VxA)dSAdI

23、則有AAdl=-AdlA)dt=(fAdl+Adl=-fAdl+(fAdl=0C1C2八小C2C2V(Vx2A)=0第二章習(xí)題解答一個平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為p=-4£Ud-43x-23,式中陰極板位于x=0，陽極板位于900x=d，極間電壓為U。如果U=40V、d=1cm、橫截面S=10cm2，求：x=0和x=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q；x=d02和x=d0區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q'。解(1)Q=Jpdt=f(-£Ud-43x-23)Sdx=-£US=-4.72x10-iiC9003d00t0Q'=JpdT=f(4£Ud-43x-23)Sd

24、x=-上(1一丄)£US=-0.97x10-11C,.9003d3200Ttd2一體密度為p=2.32X10-7C/'m3的質(zhì)子束，通過W00V的電壓加速后形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為2mm，束外沒有電荷分布，試求電流密度和電流。解質(zhì)子的質(zhì)量m=1.7x10-27kg、電量q=1.6x10-19C。由1mv2=qU2v=Q2mqU=1.37x106msJ=pv=0.318A.m2I=J兀(d/2)2=10-6A一個半徑為a的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以勻角速度3繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解以球心為坐標(biāo)原點，轉(zhuǎn)軸(一直徑)為z軸。設(shè)球內(nèi)

25、任一點P的位置矢量為r，且r與z軸的夾角為0，則P點的線速度為球內(nèi)的電荷體密度為v=3xr=e3rsin00001p=-4兀a33J=pv二eQrsin0=ersin004兀a3304兀a3一個半徑為a的導(dǎo)體球帶總電荷量為Q，同樣以勻角速度3繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球表面的面電流密度。解以球心為坐標(biāo)原點，轉(zhuǎn)軸(一直徑)為z軸。設(shè)球面上任一點P的位置矢量為r，且r與z軸的夾角為0，則P點的線速度為球面的上電荷面密度為Jv=es04兀a2兩點電荷q=8C位于z軸上z=4處,解電荷q在1(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為14兀a23asin0=esin004兀aq=-4C位于y軸上y=4處，求(4,0,0)處的

26、電場強度。21-4K8zK8電荷q在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為2故(4,0,0)處的電場為224兀£r-r'Fe4-e4兀£°(42)3e+e一e2E=E+E=y1232V2ns一個半圓環(huán)上均勻分布線電荷PI，求垂直于圓平面的軸線上z=a處的電場強度E(0,0,a)，設(shè)半圓環(huán)的半徑也為a，如題圖所示。解半圓環(huán)上的電荷元Pd1=PadW在軸線上z=a處的電場強度為Par-r'*dE=idQ=4ns°(屈)3pe一(ecosesinQ').izxydQ872nsa0在半圓環(huán)上對上式積分，得到軸線上z=a處的電場強度為E(0,0,a)

27、=JdE=P丫/川腫、"腫P(e兀e2)iJe一(ecos0+esmQ)dQ=izl82兀sazxy82nsa0-n120三根長度均為L,均勻帶電荷密度分別為P、P和P地線電荷構(gòu)成等邊三i1i2i3角形。設(shè)P=2p=2P，計算三角形中心處的電場強度。解建立題圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距離為d=tan30=L26則題圖i1i2i3E=e匕(cos30-cos150)=e1 y4nsdy2nsL00E=(ecos30+esin30)槍=(ev3+e)呂2 xy2nsLxy8nsL00E=(ecos30°-esin30°)3xy2nsL故等邊三角形中心處的電場強

28、度為0/=(e<3e盡xy8nsL0E=E+E+E=123e丹(e<3+e)丹+(e<'3e)丹=e丹y2nsLxy8nsLxy8nsLy4nsL點電荷+q位于(a,0,0)處，另一點電荷2q位于(a,0：0)處，空間有沒有電場強度E=0的點?解電荷+q在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場為qe(x+a)+ey+ezE=xyz14ns(x+a)2+y2+z232電荷2q在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場為02qe(xa)+ey+ezE=xy24ns(x-a)2+y2+z232(x,y,z)處的電場則為E=E+E。令E=0，則有12e(x+a)+ey+ez2e(xa)+ey+ezxy

29、z=xyz(x+a)2+y2+z232(x-a)2+y2+z232由上式兩端對應(yīng)分量相等，可得到(x+a)(x-a)2+y2+z232=2(x-a)(x+a)2+y2+z232y(x-a)2+y2+z232=2y(x+a)2+y2+z232z(x-a)2+y2+z232=2z(x+a)2+y2+z232解得y豐0或z豐0時，將式或式代入式，得a=0。所以，當(dāng)y豐0或z豐0時無解;當(dāng)y二0且Z=0時，由式，有x=(-3土2V2")a但x=-3a+2邁a不合題意，故僅在(-3a-2、2a,0,0)處電場強度E=0。2.9一個很薄的無限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為&。證明：垂直于平面

30、的z軸上z二z°處的電場強度E中，有一半是有平面上半徑為爲(wèi)z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。°廠、電荷線密度為P=dr的帶電細(xì)圓環(huán)在Z軸上Z二Z處的電場強度為l0r&zdrdE=eez2s(r2+Z2)3200故整個導(dǎo)電帶電面在z軸上z二z°處的電場強度為1解半徑為題圖8&=ez2s_00而半徑為j3z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在z軸上z=z°處的電場強度為3z0r&zdr&z1E=eJ0=-e0-z2s(r2+z2)32z2s(r2+z2”000008r&zdr&zE=eJ0.=e&z2s(r2+z2)32z2s(

31、r2+z2)1200000"%&1=e=Ez4s200一個半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為Q，當(dāng)球體以均勻角速度o繞一個直徑旋轉(zhuǎn),如題圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強度B。解球面上的電荷面密度為&Q4兀a2當(dāng)球體以均勻角速度O繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，球面上位置矢量r=ea點處的電流面密度為(x+a)(x一a)3=2(x一a)(x+a)3J=&v=&血xr=&exea=Szre®&asin0=esin0ee4兀a將球面劃分為無數(shù)個寬度為dl=ad0的細(xì)圓環(huán)，則球面上任一個寬度為dl=ad0細(xì)圓環(huán)的電流為dI=Jdl=sin0d0s4兀細(xì)圓環(huán)的半徑

32、為b=asin0，圓環(huán)平面到球心的距離d=acos0，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式，則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為卩b2dI卩eQa2sin30d0ysin30d0dB=e0=e0=ez2(b2+d2)32z8兀(a2sin20+a2cos20)32z8兀a故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為B=e河0噸sin30d0=e曙Qz08兀az6兀a兩個半徑為b、同軸的相同線圈，各有N匝，相互隔開距離為d，如題圖所示。電流/以相同的方向流過這兩個線圈。xx(1) 求這兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度B=eB;(2) 證明：在中點處dB/dx等于零(3) 求出b與d之間的關(guān)系，使中點處d2Bdx2也等

33、于零。x解(1)由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強度B=e.z2(a2+z2)32卩Nb2B=e0x(b2+d2/402(2)兩線圈的電流在其軸線上x(0<x<d)處的磁感應(yīng)強度為f卩NIb2卩NIb2B=e<0+x2(b2+x2)322b2+(dx)232dB3卩NIb2x3卩Nb2(dx)x=0+0dx2(b2+x2)522b2+(dx)252故在中點x=d2處，有3巴Nb2d2*3巴Nb2d2=°2b2+d24522b2+d2452d2B15卩Nb2x23卩Nb2x=00dx2得到兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度為所以dBXdX3)=0b2+d2472b2+d245

34、25d2:4=b2+d2/4d=b0+2(b2+x2)722(b2+x2)5215卩NIb2(dx)23卩NIb20一02b2+(dx)2722b2+(dx)2521即故解得直導(dǎo)體帶，寬為2a，中心線與z軸重合，通過的電流卩I口卩I1r廠a，B=lny4兀ar1限內(nèi)的磁感應(yīng)強度為B=_x4兀a圖所示。劃分為無數(shù)個寬度為dX'的細(xì)條帶，每一細(xì)條帶的電培環(huán)路定理，可得位于x,處的細(xì)條帶的電流dI在點卩dI卩Idx'dB=0=0=2兀R4兀aR卩IdX04兀a(xx，)2+y2i2所以卩IydX0-4兀a(xX)2+y2dB=dBcos0=卩o1(X一X)dXy4兀a(xx'

35、)2+y2dB=dBsin0=Xa卩Iydx'卩I*a卩I04兀a卩I/、卩I0(aa)=0a4兀a214兀a(ax、(ax、卩I(x+a、(xa、arctanarctan=0arctanarctan1y丿1y丿4兀a1y丿1y丿aay丿4兀a(xx)2+y24兀a卩I(xx')dx'04兀a(xx')2+y2如題圖所示，有一個電矩為P的電偶極子，位于坐標(biāo)原點上，另一個電矩為役的電偶極子，位于卩I=ln(xx)2+y28兀aa些ln(x+a)2+y2屮ln匚8兀a(xa)2+y24兀ar矢徑為r的某一點上。試證明兩偶極子之間相互作用力為3ppF二-(sin0si

36、n0cos©2cos0cos0)r4兀£r412120式中0=<r,p>,0=<r,p>,©是兩個平面(r,p)和(r,p)間的夾角。題圖112212并問兩個偶極子在怎樣的相對取向下這個力值最大？解電偶極子p在矢徑為r的點上產(chǎn)生的電場為1E二丄Ip少上14ksr5r30所以p與P2之間的相互作用能為Wp.E13(pr)(pr)ppW二pE二一121e214ksr5r30因為0=<r,p>，0=<r,p>，貝I1122p*r二prcos0111p*r二prcos0222又因為©是兩個平面(r,p)和(r,p)

37、間的夾角，所以有(rxp)(rxp)=r2ppsin0sin0cos©121212另一方面，利用矢量恒等式可得(rxp)(rxp)二(rxp)xrp二r2p(rp)rp=r2(pp)(rp)(rp)12121121212因此匕(pp)=(rxp)(rxp)+(rp)(rp)=ppsin0sin0cos©+ppcos0cos012r2121212121212pp于是得到W二"占2(sin0sin0cos©2cos0cos0)e4兀£r312120故兩偶極子之間的相互作用力為二一(sin0sin0cos©2cos0cos0)2(丄)=q=

38、const4ks1212drr303pp(sin0sin0cos©2cos0cos0)4ksr412120由上式可見，當(dāng)0=0=0時，即兩個偶極子共線時，相互作用力值最大。1212解無限長直線電流£產(chǎn)生的磁場為兩平行無限長直線電流I和L，相距為d，求每根導(dǎo)線單位長度受到的安培力F。卩IB=e11©2兀r題圖直線電流I2每單位長度受到的安培力為F=m122z0卩II012122兀d式中寫是由電流£指向電流12的單位矢量。同理可得，直線電流|每單位長度受到的安培力為卩II0122兀d一根通電流I的無限長直導(dǎo)線和一個通電流I的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導(dǎo)線的距離

39、為d,12圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為F二卩11(seca1)m012這里a是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點所張的角。解無限長直線電流£產(chǎn)生的磁場為卩IB=e1©2兀r圓環(huán)上的電流元Idl受到的安培力為22Fm21=F=em1212如題由題圖可知dF=IdlxB=dlxe"o'i/2m2212y2兀xdl=(-esin0+ecos0)ad02xzx=d+acos0所以F=Io(-esin0-ecos0)d0=m2兀(d+acos0)zxoal-2兀cos0a-2兀d2兀eoId0=eo(+)=e(seca1)x2兀(d+acos0)x2兀aad2-a

40、2x0120證明在不均勻的電場中，某一電偶極子P繞坐標(biāo)原點所受到的力矩為rx(pV)E+pxE。解如題圖所示，設(shè)p=qdl(dl«1)，則電偶極子P繞坐標(biāo)原點所受到的力矩為T=rxqE(r)rxqE(r)=2211dldldldl(r+q)xqE(r+q)(r-)xqE(r-寸=2xE(r+d)-E(r-d)+qdlxE(r+¥)+E(r-歲)當(dāng)dl«1時，有E(r+坐)沁E(r)+(卩-V)E(r)22故得到E(r-q)沁E(r)七-V)E(r)T沁rx(qdl-V)E(r)+qdlxE(r)=rx(pV)E+pxE第三章習(xí)題解答真空中半徑為a的一個球面，球的兩

41、極點處分別設(shè)置點電荷q和-q，試計算球赤道平面上電通密度的通量(如題圖所示)。赤道平面題圖解由點電荷q和-q共同產(chǎn)生的電通密度為D=丄乞R=4兀R3R3+qer+e(z一a)er+e(z+a)rzrz4兀r2+(z一a)232r2+(z+a)232則球赤道平面上電通密度的通量JD»edS=zz=0S(a)=JDdS=S旦f(a)-纟2krdr=4兀(r2+a2)32(r2+a2)320"=(-1)q=0.293q0厲1911年盧瑟福在實驗中使用的是半徑為r的球體原子模型，其球體內(nèi)均勻分布有總電荷量為-Zea的電子云，在球心有一正電荷Ze(Z是原子序數(shù)，e是質(zhì)子電荷量)，通過

42、實驗得到球體內(nèi)的電通量密度Ze(1r表達(dá)式為D=e-，試證明之。0r4兀(r2r3丿a解位于球心的正電荷Ze球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為D=e1Ze原子內(nèi)電子云的電荷體密度為P=-=4兀r3Ta'qa(r2+a2)12bZe4兀r23Ze4兀r3aP4兀r3/3=Zer電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為D=e-=e2r4兀r2r4兀r3aZe(1r)故原子內(nèi)總的電通量密度為D=Di+D2之無r2r3丿a電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為P。Cm3,兩圓柱面半徑分別為a題3.3圖(a)和b，軸線相距為c(c<b-a)，如題圖(a)所示。求空間各部分的電場。解由于兩圓柱面間的電荷

43、不是軸對稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為a的小圓柱面內(nèi)看作同時具有體密度分別為土P。的兩種電荷分布，這樣在半徑為b的整個圓柱體內(nèi)具有體密度為P。的均勻電荷分布，而在半徑為a的整個圓柱體內(nèi)則具有體密度為-P。的均勻電荷分布，如題圖(b)所示?？臻g任一點的電場是這兩種電荷所產(chǎn)生的電場的疊加。°在r>b區(qū)域中，由高斯定律&EdS旦，可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點P產(chǎn)生的電場分別£兀b2PPb2r為E=eo=oir2兀£r2£r200s0B丄兀a2PPa2E=e0=oir2兀£r2sr200bacPo題3.3圖(b)E=E

44、+Er=(空1 i2sr2r'20在r<b且r'>a區(qū)域中，同理可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點P產(chǎn)生的電場分別為兀r2PPr兀a2PPa2rre=e=e=e=2r2兀sr2s2r2兀sr'2sr'20000E=E+E=-P(r空)2 22sr'2在r'<a的空腔區(qū)域中，大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點P產(chǎn)生的電場分別為-兀r'2PPr'E=e0=3r2兀sr'2s00P(rrJ亠c2s0已知電位移分布為點P處總的電場為點P處總的電場為兀r2pPrE=eo=o3r2兀£r2s00E=E+E'

45、;=0-332s0半徑為a的球中充滿密度P(r)的體電荷，點P處總的電場為r3+Ar2(r<a)其中A為常數(shù)，試求電荷密度P(r)。r2解：由VD=P，有P(r)=VD=丄(r2D)r2drr故在r<a區(qū)域P(r)=£r2(r3+Ar2)=s(5r2+4Ar)0r2dr0在r>a區(qū)域p(r)=sAr2(a5+Aa4)=00r2drr2一個半徑為a薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為Q為的體電荷，球殼上又另充有電荷量Q。已知球內(nèi)部的電場為E=e(r;a)4，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計算：(1)球內(nèi)的電荷分布;r(2)球殼外表面的電荷面密度。解(1)由高斯定

46、律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為1d1dr4r3P=sE=s(r2E)=s(r2)=6s一00r2dr0r2dra40a40(2)球體內(nèi)的總電量Q為ar3=J6s4兀r2dr=4兀sa20a40T0球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應(yīng)電荷-Q，而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷Q，所以球殼外表面上的總電荷為2Q，故球殼外表面上的電荷面密度為2Q4兀a2兩個無限長的同軸圓柱半徑分別為r=a和r=b(b>a)，圓柱表面分別帶有密度為°和篤的面電荷。(1)計算各處的電位移D；(2)欲使r>b區(qū)域內(nèi)D=0，則o和0應(yīng)具有什么關(guān)系？2解由高斯定理6D0>dS=q，當(dāng)r<a時，

47、有D=0S2krD=022kaQ，則1D02aQ=e十rr2krD2kaQ+2kbQ，則De031203aQ+bQQb0，則得到1=rQa當(dāng)aVrVb時，有raQ+bo12rr2)令D=e03當(dāng)bVr<g時，有L2-L2Jr2+(L2)2+L2=r2+(L2)2-L2pJr2+(L2)2+L22計算在電場強度E=ey+ex的電場中把帶電量為2卩C的點電荷從點P(2,1,1)移到點xy1P(8,2,-1)時電場所做的功：(1)沿曲線x=2y2；(2)沿連接該兩點的直線。解(1)W=JFdl=qJEdl=qJEdx+Edy=xyCCCqJydx+xdy=qJyd(2y2)+2y2dy=qJ6

48、y2dy=14q=-28x10-6(J)C1(2)連接點P(2,1,-1)到點P(8,2,-1)直線方程為x2x8y1y2故W=qJydx+xdy=qJyd(6y4)+(6y4)dy=qJ(12y4)dy=14q=28x10-6(J)C11長度為L的細(xì)導(dǎo)線帶有均勻電荷，其電荷線密度為P。(1)計算線電荷平分面上任意點的電位申；(2)利用直接積分法計算線電荷平分面上任意點的電場E，并用E=-V申核對。解(1)建立如題圖所示坐標(biāo)系。根據(jù)電位的積分表達(dá)式，線電荷平分z面上任意點P的電位為L2pdz'申(r,0)=J10/4兀£Jr2+z'2-L2041n(z'+Pr2+z'2)4兀£0P4ln4兀£02兀£0(2)根據(jù)對稱性，可得兩個對稱線電荷元Pi0dz'在點p的電場為pdz'0prdz'10cos0=e10r2兀£(r2+z'2)320dE=edE=errr2ksJr2+z'20故長為L的線電荷在點P的電場為L2Prdz'E=J