簡(jiǎn)諧振動(dòng);簡(jiǎn)諧激勵(lì)

1、振動(dòng)力學(xué)主講：李龍飛山東科技大學(xué)理學(xué)院力學(xué)教研室2011.9教學(xué)內(nèi)容緒論單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)連續(xù)體系統(tǒng)的振動(dòng)振動(dòng)問(wèn)題的近似解法第一章緒論1-1振動(dòng)概述與分類1-2振動(dòng)系統(tǒng)模型與動(dòng)力自由度1-3振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的建立方法1-4簡(jiǎn)諧振動(dòng)基礎(chǔ)1-1振動(dòng)概述與分類振動(dòng)的走艾煬體在平衡住置附近來(lái)曰往復(fù)的運(yùn)動(dòng)或糸統(tǒng)的物理量在其平均值附近來(lái)回炙動(dòng)。自然界最普遍現(xiàn)象之一；各種物理現(xiàn)象，如聲熱、振蕩性電磁、光等都包含振動(dòng)；UtfflW計(jì)1IflKtflMBY：coiMechanicsofVibration二，振動(dòng)的利與彝振動(dòng)的危害：影響精密儀器設(shè)備的功能、降低機(jī)械加工的精度；加劇構(gòu)件的磨損和疲勞；危

2、害結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，發(fā)生大變形導(dǎo)致機(jī)器或結(jié)構(gòu)的破壞甚至釀成災(zāi)難性的事故。11!大林振動(dòng)破壞1940年，美國(guó)華盛頓州Tacoma大橋懸索橋結(jié)構(gòu)，中央跨距為853IITacoma大林連庵塌毀的廉因：Tamna大橋的橫截面與氣流的旋渦脫落卜輛6-SHz臍痛5-7Hz自Jfi肌崗啟塔4.5-91U下靜痛歆不適4.仏說(shuō)話困琥13-ZOHzK3喉瓷干捉13-丄6辰呼喙團(tuán)難1-2H工呼喙圉難i-SHz肌肉翌迫笊星加劇坐連人注乘靑激娠八年部打出現(xiàn)的疥?duì)?MaidRCoermfinn畏Z由gErtriickcr)大便急io.A1GT氏w康急10ISHe0Hz賣殮表明：振動(dòng)頻率在48Hz時(shí)，人體將處于垂直方向振動(dòng)的共振

3、狀態(tài)，胸、心臟不這。1012Hz對(duì)，服部共振。00.3Hz對(duì),頭暈。囁步對(duì)人體機(jī)能的彩響噤聲聘人怵機(jī)能的夠晌振動(dòng)的血處：振動(dòng)給料機(jī)、振動(dòng)師選機(jī)、振動(dòng)破碎機(jī)、振動(dòng)球磨機(jī)、振動(dòng)打樁、振動(dòng)測(cè)樁、振動(dòng)拋光、結(jié)構(gòu)的減振、抗震等都是利用振動(dòng)的特性進(jìn)行工作的。振動(dòng)按摩椅三.振動(dòng)力學(xué)JI其學(xué)習(xí)冃的振動(dòng)具有共性，可建立統(tǒng)一的理港來(lái)描述。振動(dòng)力學(xué)借助創(chuàng)體力學(xué)和變形體力學(xué)、腸理學(xué)和數(shù)學(xué),採(cǎi)討各種振動(dòng)現(xiàn)象的機(jī)理，描述和闡朗振動(dòng)的基采力學(xué)與暢理規(guī)律，以便克服振動(dòng)的諂圾有窖的因素，利用其積根有利的因素，為合理解決賣跋中遇到的各種振動(dòng)問(wèn)題提供理論依據(jù)。學(xué)習(xí)振動(dòng)力學(xué)的目的之一蠱掌握振動(dòng)的基本理論和分析方法，用以確定和限制振動(dòng)

4、對(duì)工程結(jié)構(gòu)和機(jī)械產(chǎn)品的性能、壽命和安全的有害影響。振動(dòng)也有它積極的一方面，是可以利用的例如，振動(dòng)是通信、廣播.電視、達(dá)等工作的基礎(chǔ)工業(yè)用的振動(dòng)篩、振動(dòng)沉樁、提動(dòng)輸送、地震儀等學(xué)習(xí)振動(dòng)力學(xué)的目的之二：運(yùn)用振動(dòng)理論去創(chuàng)造和設(shè)計(jì)新型的振動(dòng)設(shè)備、儀器及自動(dòng)化裝置揍房的抗震現(xiàn)車的振動(dòng)挫制田.振動(dòng)問(wèn)題的提弘巴系統(tǒng)：通常的研究對(duì)象TJ一臺(tái)機(jī)器或者一個(gè)完整的工程結(jié)構(gòu)等。巴激勵(lì)（輸入）：外部激振力等因素;巴響應(yīng)（輸出）：系統(tǒng)發(fā)生的振動(dòng);響應(yīng)（輸入）（輸出）系統(tǒng)激勵(lì)響應(yīng)（輸入）（輸出）系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題按這三個(gè)環(huán)節(jié)可分為三類問(wèn)題第一類：已知激勵(lì)和系統(tǒng)，求響應(yīng)第二類：已知激勵(lì)和響應(yīng)，求系統(tǒng)第三類：已知系統(tǒng)和響應(yīng)，求激勵(lì)第

5、一類：已知激勵(lì)和系統(tǒng)，求響應(yīng)一振動(dòng)正問(wèn)題動(dòng)力響應(yīng)分析主要任務(wù)在于驗(yàn)算結(jié)構(gòu)、產(chǎn)品等在工作時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)（如變形、位移、應(yīng)力等）是否滿足預(yù)定的安全要求和其它要求。在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段，對(duì)具體設(shè)計(jì)方案進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)驗(yàn)算，若不符合要求再作修改，直到達(dá)到要求而最終確定設(shè)計(jì)方案，這一過(guò)程就是所謂的振動(dòng)設(shè)計(jì)。第二類：已知激勵(lì)和響應(yīng)，求系統(tǒng)-第一個(gè)逆問(wèn)題系統(tǒng)識(shí)別,系統(tǒng)辨識(shí)求系統(tǒng)，主要是指獲得對(duì)于系統(tǒng)的物理參數(shù)（如質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)等）和系統(tǒng)關(guān)于振動(dòng)的固有特性（如固有頻率、主振型等）的認(rèn)識(shí)6以估計(jì)物理參數(shù)為任務(wù)的叫做物理參數(shù)辨識(shí)，以估計(jì)系統(tǒng)振動(dòng)固有特性為任務(wù)的叫做模態(tài)參數(shù)辨識(shí)或者試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析。第三類：已知系統(tǒng)和響應(yīng)，求

6、激勵(lì)第二個(gè)逆問(wèn)題振動(dòng)環(huán)境預(yù)測(cè)例如：為了避免產(chǎn)品在公路運(yùn)輸中的損壞，需要通過(guò)實(shí)地行車記錄汽車振動(dòng)和產(chǎn)品振動(dòng)，以估計(jì)運(yùn)輸過(guò)程中是怎樣的一種振動(dòng)環(huán)境，運(yùn)輸過(guò)程對(duì)于產(chǎn)品是怎樣的一種激勵(lì)，這樣才能有根據(jù)地為產(chǎn)品設(shè)計(jì)可靠的減震包裝。振動(dòng)糸統(tǒng)分類按照系統(tǒng)的物理特點(diǎn)分類:線性振動(dòng)A振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量不變，彈性恢復(fù)力和阻力與運(yùn)動(dòng)參數(shù)（位移、速度）成線性關(guān)系;；描述其運(yùn)動(dòng)的方程為線性微分方程；線性疊加原理是其重要特性。非線性振動(dòng)A不能簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng);A描述其運(yùn)動(dòng)的方程為非線性微分方程;A線性疊加原理不成立;自由振動(dòng)噩強(qiáng)迫振動(dòng)=自激振動(dòng)弋按照對(duì)系統(tǒng)激勵(lì)的類型分類:系統(tǒng)在特定初始激勵(lì)作用（如初始位移或初始速度）下產(chǎn)生的振

7、動(dòng)。系統(tǒng)在給定的外界激勵(lì)作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。無(wú)激勵(lì)時(shí)系統(tǒng)所有可能的運(yùn)動(dòng)集合，反映系統(tǒng)關(guān)于振動(dòng)的固有屬性。激勵(lì)是受系統(tǒng)振動(dòng)本身控制的，在適當(dāng)?shù)姆答佔(zhàn)饔孟?，系統(tǒng)將自動(dòng)地激起定幅的振動(dòng)；當(dāng)系統(tǒng)的振動(dòng)被抑制時(shí)，激勵(lì)也將隨之消失。參數(shù)振動(dòng)：這種激勵(lì)方式是通過(guò)改變系統(tǒng)的物理特性參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的Q按照對(duì)系統(tǒng)激勵(lì)的特點(diǎn)分類：確定性振動(dòng):確定性系統(tǒng):；系統(tǒng)的物理特性是確定的,不論它是常參數(shù)系統(tǒng)還是變參數(shù)系統(tǒng)。確定性激勵(lì)：外界的激勵(lì)可以用時(shí)間的確定性函數(shù)來(lái)描述。確定性系統(tǒng)，在受到確定性激勵(lì)作用時(shí)，其響應(yīng)隨機(jī)振翳*定的。隨機(jī)激勵(lì)不能用時(shí)間的確定性函數(shù)表示；具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，可用概率統(tǒng)計(jì)方法描述;A系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)也是隨

8、機(jī)的（隨機(jī)振動(dòng)）；確定性激勵(lì)可分為：周期性激勵(lì)沖擊激勵(lì)周期性激勵(lì)激勵(lì)隨時(shí)間周期性變化簡(jiǎn)諧激勵(lì):激勵(lì)隨時(shí)間的變化規(guī)律可用正弦或余弦函數(shù)表示；A振動(dòng)響應(yīng)亦為時(shí)間的正弦和余弦函數(shù)（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）；非簡(jiǎn)諧的周期激勵(lì):除簡(jiǎn)諧激勵(lì)外的周期激勵(lì)：A利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，將周期激勵(lì)表示成無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)諧函數(shù)的疊加。A對(duì)于線性系統(tǒng)，利用疊加原理，將各個(gè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的響應(yīng)疊加起來(lái)，可得系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)作用下的響應(yīng)；1-2振動(dòng)系統(tǒng)模型與動(dòng)力自由度一. 振動(dòng)糸統(tǒng)模憂振動(dòng)系統(tǒng)三要素：質(zhì)量，剛度，阻尼質(zhì)量：感受慣性（包括轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）的元件;剛度：感受彈性的元件;阻尼：耗能元件;振動(dòng)系統(tǒng)模型的分類:離散系統(tǒng)模型（單自由度系統(tǒng)，多自由度系統(tǒng)

9、）結(jié)構(gòu)參數(shù)為集中參量數(shù)學(xué)工具：常微分方程連續(xù)系統(tǒng)模型（無(wú)限多自由度系統(tǒng)，分布參數(shù)系統(tǒng)）結(jié)構(gòu)參數(shù)（質(zhì)量，剛度，阻尼等）在空間上連續(xù)分布數(shù)學(xué)工具：偏微分方程劭力角由度動(dòng)力自由度:確定系統(tǒng)的全部質(zhì)量在任一時(shí)刻的位置所需獨(dú)立的幾何參數(shù)（坐標(biāo)）的數(shù)目;將無(wú)限自由度系統(tǒng)簡(jiǎn)化為有限自由度系統(tǒng)的方法1集中質(zhì)量法2.廣義坐標(biāo)法3.有限單元法1-3振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的建立方法一、動(dòng)靜法將質(zhì)點(diǎn)上實(shí)際存在的力和假想的慣性力分別用自由度坐標(biāo)及其導(dǎo)數(shù)來(lái)表示，通過(guò)列靜力平衡方程即可得到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。工耳+-ma)=0I動(dòng)靜法將本質(zhì)上是動(dòng)力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)形式上的靜力學(xué)問(wèn)題。動(dòng)靜法包括剛度法和柔度法O二、拉格朗日方程方法從能

10、量觀點(diǎn)出發(fā)，將系統(tǒng)中的動(dòng)能.勢(shì)能和功等物理量表達(dá)為自由度坐標(biāo)及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，從動(dòng)力學(xué)普IZJ方程推到出來(lái)。對(duì)于具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系，拉格朗日方程為:式中，勺為系統(tǒng)中的第j個(gè)廣義坐標(biāo)（自由度坐標(biāo)）：T為系統(tǒng)的動(dòng)能，0為作用于系統(tǒng)的所有主動(dòng)力關(guān)于廣義坐標(biāo)幻的廣義力，可用虛動(dòng)求出。工程中大多數(shù)問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)都受到周圍物體的限制，不能任意運(yùn)動(dòng)，這種限制稱為純，這種質(zhì)點(diǎn)系稱為韭自由質(zhì)點(diǎn)系6對(duì)非自由質(zhì)點(diǎn)系最常見(jiàn)的約束是限制其各質(zhì)點(diǎn)的位移關(guān)系,這種約束稱為幾何約束。在選定的坐標(biāo)系內(nèi)，限制質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)位移的幾何約束可用相應(yīng)的約束方程來(lái)描述?？谌艏s束方程只含坐標(biāo)本身和常數(shù)項(xiàng)，此稱為定常約束（或穩(wěn)定約束）；若約束方程中包

11、含時(shí)間變量，則稱為非定常約束。n這兩類約束通常稱為完整約束。當(dāng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，即主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí):式中，為系統(tǒng)的勢(shì)能，僅與廣義坐標(biāo)有關(guān)。n保守系統(tǒng)的拉格朗日方程為:口拉格朗日函數(shù)：L=T-U以拉格朗日函數(shù)表示的，保守系統(tǒng)的拉格朗日方程為:如果系統(tǒng)除了有勢(shì)力的作用外，還存在其它非有勢(shì)力的作用，則此非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程為:或:拉格朗日方程主要應(yīng)用于建立有限自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程三、哈密爾頓原理對(duì)于保守系統(tǒng)而言，系統(tǒng)在給定初始和終了運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的真正運(yùn)動(dòng)，它和運(yùn)動(dòng)學(xué)上許可的運(yùn)動(dòng)的區(qū)別在于，對(duì)于真正的運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，哈密爾頓作用量的變分等于零，即礦Ldt=62(T-U)dt=0若系統(tǒng)還存在非有勢(shì)力的作

12、用，相應(yīng)的哈密爾頓原理可表示為町;(T-U)dt+SWdt=0哈密爾頓原理主要應(yīng)用于建立連續(xù)彈性體的運(yùn)動(dòng)微分方程一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征ZZZZZZZ2/X1-4簡(jiǎn)諧振動(dòng)基礎(chǔ)滑塊受到的合外力：F=-kx(1)加速度為：_Fk一a=xmm令：CD2得到：5=CD2x(2)m(1)式表達(dá)了簡(jiǎn)諧振動(dòng)白勧力學(xué)特征；(2)式表達(dá)了悔諧振動(dòng)白*運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方廖其解:它的解為：x=Acos（pt+（p）2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度和加M度v=coAsin(cot+cp)vm=Acodtdxa亍co2Acos(cot-cp)amAa2可見(jiàn)，有：a=co2x3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的xt，v弋a(chǎn)t圖x

13、=Acos(cot+)v=-Acosin(cot+cp)=Acocos(o)t+0+;z72)三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量我們以彈簧振子為例來(lái)討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量問(wèn)題。設(shè)振動(dòng)物體在任一時(shí)刻I的位移為兀,速度為y,于是它所具有的動(dòng)能Ek和勢(shì)能坊分別為=mv22考慮至tlx=Acosf+0)及u=coAsin(cot+cp)co2klm可得到：Ek=丄kA2sin2+cpEp=kA2cos2cot+0)因此彈簧振子的總機(jī)械能為：E=Ek+Ep=kA2結(jié)論：(1)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體，其機(jī)械能守恒。(2)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的總能量和振幅的平方成正比?？诤?jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程：X=Acos(+9)上式中A、e是描述簡(jiǎn)

14、諧運(yùn)動(dòng)的三喑寺征量。1、振幅4表示振動(dòng)物體離開(kāi)平履了立置的最大位移的絕對(duì)直，稱為振幅。振動(dòng)系統(tǒng)的能量決定擴(kuò)昂。2、周期和圓頻率周期：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體作一次全振動(dòng)所需的時(shí)間:用卩表示。cdT=2r,又62=公/加，所以T=2心怛（2）頻率與圓頻率*單位時(shí)間內(nèi)物體所完成fe振動(dòng)的次數(shù)稱斕率,用/表示。稱為振動(dòng)的圓頻率或角頃率。注意:Q）周期和頻率都是反映臓快慢的物理量b）一個(gè)系統(tǒng)自由振動(dòng)的翩和頻率完全由這個(gè)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定該頻率稱為系統(tǒng)的固有頻率。C）頻率的單位是赫茲也），可記作L/秒（5-1）。圓頻率的單位是弧度秒（mdo3、相位和初相相位是決定物體振動(dòng)歲態(tài)的物理量c0是f=寸的相位，稱為初相位

15、簡(jiǎn)稱為初相c（曲+0）稱為物體每時(shí)刻振動(dòng)的相位（或相）O注意：a）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率或關(guān)率由系統(tǒng)本身的性質(zhì)夬定b）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅1和初相位0則由初始條件確定C下面指出由初始條件儺A和0的方法：x=4cos（創(chuàng)+0）,v=-Aa）sin（60t且已知T=0時(shí)的初位移和初速度仏（稱為初始條件）/.我彳門有x0=Acos（p,v0=-（vAsin（p由此，可解得：a=L+（p=tg-VCDCDXq4、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法為了直觀地表明簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征量的物理意義，可以用一個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量來(lái)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。(1) 旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度等于振幅4,記作(2) 矢量久在圖平面內(nèi)繞0點(diǎn)以爐為角速度作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。因此

16、，旋轉(zhuǎn)矢量S的床投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)ifX(3) f=0時(shí)刻,2與O帶由的夾角等于初位木助。則：在任一時(shí)亥,該矢量與V軸的夾角為妙+0,其末端M點(diǎn)在O稻由上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)為財(cái)(4)比較兩個(gè)諧振動(dòng)的相位差2(P=2kjt稱同相2申(2k+l)兀稱反相心20/0稱2超前龍,20稱1超前旋轉(zhuǎn)矢量與諧振動(dòng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量A振幅半徑初相初始角坐標(biāo)G)t+(p相位角坐標(biāo)CD圓頻率角速度T諧振動(dòng)周期園周運(yùn)動(dòng)周期平行簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成、同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)某個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩卜-頻率相等、沿著同一方旬4（X軸方向）振動(dòng)的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，分別頭j：%=Acos（創(chuàng)+）兀2=A2cos（at+（p2）0x2下

17、面用旋轉(zhuǎn)矢量法求能動(dòng)x=Acos（cot+0）其中：A=Ja；+A；+24/2cos（02-（P）A1sin（p+A2sincp2Xx然是同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)結(jié)論:cos+A2cos%討論一:02一0=2kjik0,l,2,4-4.4合振幅最大，1稱為干涉相長(zhǎng)討論二：(P=(2k+l)7rk=0,+l,+2,A=l-%丨稱為干涉相消。Aj=A2時(shí)，A=0討論三：_般情況:144Iv4vi4+4I(p2-(pxk7ik=O，1，Z二、同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成(0=4cos(q+0)x2(0=Acos(y2/L+(z?)壬【中cra-Ba+)3利用:cosor+cosp=2coscos22合成振

18、動(dòng)表達(dá)式：x(0=Acos(t+0)+Acos(o2Zl+0)=2Acos(0).-co.)tr+co.)tcos+(p22當(dāng)與血2都很大，且相差甚微時(shí)，可將12Acos(-)2視為振幅變化部分，合成振動(dòng)是以(。2+)/2為角頻率的諧振動(dòng)。其振幅變化的周期由振幅絕對(duì)值變化來(lái)決定，即振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱，所以它是近似的諧振動(dòng)。這種合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象稱為拍。2t)的頻率的兩倍。單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻顯然，拍頻是振動(dòng)cos(S拍周期：片門=17T拍頻率：/拍/;垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成、同頻率垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)振動(dòng)方向相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即兀=Acos（c（）t+0）;y-A2cos（qt+輕）x2+y22xyA：A；AtA2cosA9=sin2A(p上式是個(gè)橢圓方程，具體形