第2章：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)的振動(dòng)

1、第篇離散系統(tǒng)的線性振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)§2-1單自由度系統(tǒng)的力學(xué)模型與運(yùn)動(dòng)方程1k一InM/WW-mtcX1OF(a)m彈性恢復(fù)力: 阻尼力： 慣性力：直接平衡法：(丫)=k£)(0=Cx(t)F=mx(t)mx-cxkx=F(t)(2.1.1)恥)一你一(b)圖2.1.1質(zhì)量一彈簧一阻尼器系統(tǒng)x+2i+co2x=f(t)(2.1.2)阻尼比:C2ymk無阻尼自振圓頻率:co-ylk/m第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)系統(tǒng)的等價(jià)例：外伸梁的尺寸如圖所示，梁的抗彎剛度為£1,伸臂的端點(diǎn)固定一質(zhì)量為M的重物，不計(jì)梁的質(zhì)量,試確定其自由振動(dòng)的頻率。問題：如何確定氐他？曠

2、為柔度系數(shù)解：(1)畫單位彎矩圖，求柔度系數(shù)。CM2ds3"2宀E八48)II3X=38EI(2)求等效剛度系數(shù)和固有頻率。8EI第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例211試列出圖示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的微分方程，并計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率。牯色負(fù)/2m工可*匕e°E44丁4憶_二圖2.1.2以轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)的單自由度系統(tǒng)解：取轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，應(yīng)用虛功方程，設(shè)系統(tǒng)發(fā)生一個(gè)約束允許的虛位移:慣性力的虛功:旳=-l3+m(|)26»+1m()26>50=(/+等廠加)/50圖2丄2以轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)的單自由度系統(tǒng)慣性力的虛功:阻尼力的虛功：旳=-l0+m(|)2歹+*m(f)2350=-(/

3、+|/2m)<956»先=媳邊=-河令33外力的虛功：3Wp=MS0+FSe=(M+Fl)3e彈性力的虛功:6WS=-k(0Se=-kl20Se虛功原理：3Wp-5Wj+<5整理得：M+Fl-(I+l2m)O-cl23-kl2ddO=O(2.1.3)由的任意性：7(125)(I+l2m)O+cl20+kl20=M+Fl(2.1.4)固有頻率:(0=keq2臚32/+1lm/2叫q等效質(zhì)量：叫q=】+哥卩m等效阻尼：C=|c/2eq4等效剛度：九=16燼等效荷載：F=M+Fleq2典型方程:meqCegkeqX=第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)應(yīng)用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程2T=|（

4、I32+m（£莎+訥（號(hào)嗎（2丄6）拉格朗日函數(shù)：L=T-V=imeq-ike(2.1.7)F*=F-ce(2.1.8)qeqeqv7-|j=F*(2.1.9)d_dtm3+k3=F=Fc0(2.1.10)eqeqqeqeq'7例2.1.2試推導(dǎo)系統(tǒng)作自由扭振時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程。丁解：圓盤的扭振由扭轉(zhuǎn)角0來確定| 由于扭振，園盤產(chǎn)生慣性扭矩/ 圓桿的扭轉(zhuǎn)變形對(duì)園盤產(chǎn)生必丁動(dòng)平衡方程：變形與內(nèi)力的關(guān)系：ieo2.1.3單自由度扭振系統(tǒng)Id+MT=OM丁=0=kT0J=r4尺一園盤的半徑，廠一圓桿的半徑，(2.1.12)加一園盤的總質(zhì)量，心一圓桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形的線剛度。運(yùn)動(dòng)方程:Io0+

5、kT0=O(2.1.13)例2.1.3圖示水塔，水箱的總質(zhì)量為M,抗彎剛度和單位長度的質(zhì)量分別為刃優(yōu)）和加優(yōu)），塔受水平分布荷載譏兀昇）的作用，試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。問題：如何將無限自由度問題簡(jiǎn)化為單自由度問題？解：設(shè)描述塔身彎曲變形的形狀函數(shù)為（p將塔的彎曲變形表示為t）=（p（x）y（f）（1214）僅x）滿足=丫為水箱的水平位移，為廣義位移。注意卩（兀）有多種選擇的可能，只要滿足約束條件即可，例如，取“靜力問題中懸臂梁在均布荷載作用下的撓度曲線函數(shù)。第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)應(yīng)用哈密頓原理來推導(dǎo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程T=|Jom(x)y(x,t)2dx+MY2(t)V=|JoE/(x)y"

6、;(x,/)2dx(1.2.15)=匸qx.t)Sy(x,t)dx=t)(p(x)SYdx(2.1.16)yu=d2y/dx2W祝為非保守力，即外荷載所做的功。哈密頓原理:6T-8V)dt+dWncdt=0(2.1.17)(2.1.18)就訊(加Wy-EIy''Sy'')dx+MYSydt+J；：Joqgt)cp(x)6Ydxdt=0廣義質(zhì)量：rri=M+匸mx)(p2(x)dx令：廣義剛度：F=EZ(x)nW2(2.1.19)廣義荷載：F*(t)=Jqq(x,t)0(jv)dx"m'Y3Y-kA：Y3Y+Ft)Ydt=Q(2.1.20)y(r

7、o)=5y(r1)=o(2.1.21)因?yàn)椋簃YSYdt=-f；1mYdYdtJs(2.1.22)；-mY-k*Y+F*(r)SYdt=0(2.2.23)由刃的任意性：+k'Y=F*(O(2.1.24)優(yōu)點(diǎn)：以能量積分為基礎(chǔ)，可對(duì)任意形式的連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散。與數(shù)值方法相結(jié)合，便于大型結(jié)構(gòu)體系的數(shù)值計(jì)算。§22單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)分析mx+cx+kx=F(t)F(t)=0齊次解，自由振動(dòng)；尸工0特解，受迫振動(dòng)；c=0無阻尼振動(dòng)；cHO有阻尼振動(dòng)。x+co2x=0(2.2.1)mx+kx=0固有圓頻率:co=ylk/m(2.2.2)單位：rad/s通解:兀=£cos亦

8、+&sinqf(2.2.3)周期振動(dòng):x(t+T)=自然頻率:f=l/T2.2.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)分析自由振動(dòng)方程：?jiǎn)挝唬篐z,每秒鐘往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)。關(guān)系：0)=2兀f=等/=q/(2k)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)x=Acosco/+企sinM(2.2.3)x(0)=x0,x(0)=x0初始條件：Xq322=兀0/自由振動(dòng)響應(yīng):x=x0cosa)t+sin(Dt(2.2.4)圖221無阻尼自由振動(dòng)曲線一般形式:x=4sin(e+0)振幅:初相角:CDXn69=arctan%(2.2.6)x=Asin(ef+0)x=Acocos(cot(p)=A(2>sin(2)/+/2)x=-

9、Ao2sin(eyt(p)Aco2sin(/+°+%)相位關(guān)系:速度超前位移71/2，加速度超前位移兀。尸=kx=Aksin(a)t+(p)(2.2.8)F=mk=mA(o2sin(Qt+(p)=Aksin(a)t+(p)動(dòng)態(tài)平衡:2.2-2有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)分析有阻尼自由振動(dòng)方程:mx+cx+kx=0(2.2.9)衰減系數(shù)=c/2m耳x+2nx+co2x=0(2.2.10)設(shè)解：x=K(2.2.11)哺r2+2nr+2=0(2.2.12)特征根：斤2=n±y/n2co1(2.2.13)通解：x(t)=Cf+C2er(2.2.14)臨界阻尼系數(shù)：5=2mncr=2m0)=

10、2皿(2.2.16)臨界衰減系數(shù):n.=co=4k/m(2215)阻尼比：X牛(2.2.1刀Cx/1/crcrHr12=(-±V2-l)(2.2.18)(1)小阻尼系統(tǒng):復(fù)共機(jī)特征對(duì):自由振動(dòng)通解:由歐拉公式和COd=(孑6<1廠1,2=(-歹土A/1-/)血兀=+q戶口町(2.2.19)x(t)=幺cosr+A2sina)dt)=Ae601sin(Q/+0)(2.2.20)x(0)=x0x(0)=x0心。心進(jìn)嚴(yán)(2222)振幅:gox(0)23兀4V兀2X3/tan<7=x(0)圖(222)有阻尼單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)衰減曲線初相角：(p=arctan廠°.(2

11、.2.23)g(ox0+x0特點(diǎn)： 振幅按負(fù)指數(shù)函數(shù)的規(guī)律率減; 小阻尼時(shí)：CDd-co.Td; 關(guān)系：Qd<QTd>T"+i=%+Td忤=2兀實(shí)驗(yàn)測(cè)定阻尼比的方法 記錄下系統(tǒng)作自由振動(dòng)的衰減曲線; 計(jì)算相鄰兩個(gè)位移峰值之比值:(2.2.24)Aelisin(0/£.+0)人幺-旳仏+乙)sm(co(lt.+codTd+cp) 計(jì)算對(duì)數(shù)衰減率:(2225)(2226) 阻尼比:X.張niTcl%.In2jr=comTd=&D皿石u嚨2兀=m3第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)mxi+m(2.2.27)優(yōu)點(diǎn)： 減少讀數(shù)隨機(jī)誤差； 平均結(jié)果更接近實(shí)際情況。實(shí)用公式:例

12、2.2.1某系統(tǒng)作自由衰減振動(dòng)，由衰減實(shí)驗(yàn)曲線的測(cè)量發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過5個(gè)周期振幅減至原來的一半，求系統(tǒng)的阻尼比。解：8=2=ln-=-ln25x+55訂加2=0.022(2)大阻尼系統(tǒng)：孑1一對(duì)實(shí)特征根：廠,2=(-孑土侶_1)血(2.2.28)通解：兀二戶如(C?fJ&s+G«Q-s)(2.2.29)根據(jù)初始條件得:無o+做兀00書2_最后結(jié)果:(2.2.30)兀(丫)=幺一彳69'xQcosh?t+九+做兀0(5(2231)(3)臨界阻尼系統(tǒng)：兀=(C+C2t)eMt(2.2.32)才艮據(jù)初始條件得:大阻尼和臨界阻尼系統(tǒng)的共同特點(diǎn):不呈現(xiàn)振動(dòng)形式;隨時(shí)間逐步衰減直至消失

13、。2.2.3能量法求系統(tǒng)的固有頻率自由振動(dòng)響應(yīng)：x=4sinK+0)Tnvc2cos2（yt+（p）,V=|kx-1L42sin2t+（p）（2.2.34）=k/mHT=|kA2cos2（cot-（p）總能量守恒：E=T+V=|M2E仏嘰T"（2235）例222試確定圖示倒擺在鉛垂平面內(nèi)作微小旋轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)的穩(wěn)定條件和角頻率血0解：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅為（pm,彈簧變形為0%,球的重心降低位移為/0=2(1-cos血唸max=井/0：_*Mg妙;7=0席0；九=%/圖22.3倒擺及其穩(wěn)定性穩(wěn)定條件：kfMgl§2-3單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧荷載作用下的響應(yīng)2.3.1無阻尼單自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方

14、程：mx-kx=Fsinpt(2.3.1)齊次解：兀(r)=C,cosqt+C2sin(Dt(2.3.2)特解：xF(t)=Asinpt(2.3.3)(2-3-3)代入(2-3-1)靜位移：A=¥J，=rfdxst(2.3.4)頻率比：動(dòng)力放大系數(shù):一般解：x(t)=CxcosE+Gsinft?+Asinpt(2.3.5)=旦口k0)1x(0)=i(0)=0耳Cj=0,C9=ApIco(2.3.6)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)最終解:XO=A(sinpt£sinco/)(2.3.7)右端第一項(xiàng)：純粹的受迫振動(dòng)，為等幅的穩(wěn)態(tài)振動(dòng);右端第二項(xiàng)：由外力引起的自由振動(dòng)，有阻尼時(shí)為衰減振

15、動(dòng)，稱為瞬態(tài)振動(dòng)。幅頻響應(yīng)曲線:動(dòng)力放大系數(shù)d隨激振頻率P的變化曲線共振現(xiàn)象：當(dāng)擾頻p接近固有頻率時(shí)，4趨于oo不利的一面：導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞；噪聲污染。有利的一面：各種振動(dòng)機(jī)械；共振實(shí)驗(yàn)。工程應(yīng)用：用穩(wěn)態(tài)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來測(cè)定有關(guān)動(dòng)力學(xué)參數(shù)k1-p2/co1Fk-mp2k-mp?=g(2.3.8)例231振動(dòng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量單層廠房的動(dòng)力學(xué)特性，測(cè)得兩組數(shù)據(jù)人=100QV,A,=0.0012mm,位移與激振力同相位；厶=15&,=1000VM2=0.0018m/n9位移與激振力反相位。解：p、=2兀億=20(rad/s)p2=2兀扎=35(rad/s)£一4002加二10000.0012x1

16、03k-9002m=10000.0018x103解得：Jt=1.94444xlO9A/mm=0.28145<106co=y!k/m=83.11839(rad/s)mx+ex+kx=Fsinpt(2.3.9)232有阻尼單自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程：等效激振加速度:f=F/m無+2吳x+a)2x=fsinpt(2.3.10)f<l齊次解：(0=(Acosz+Asin0(2311)xF(t)=CcosZ+C2sinpt(2.3.12)特解：#(2.3.12)代入方程式(2.3.10),比較系數(shù)如az)2Q_2舸pC+(co-p)C2=fc=FS(=F1(1-L>2)2+42L>2&

17、#39;2(1-L>2)2+4f2l>2第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)xF(0=4sin(00)(2.3.15)特解的一般形式：心婷7"尿_砂+4冷"tan-C>-2Gi316)最終解:兀(/)=幺-弘(£cosq/+4sinQ/)+4sin(00)(2.3.17)右端第一項(xiàng)：瞬態(tài)振動(dòng)，由于阻尼，很快衰減消失；第二項(xiàng)：穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，與干擾力同頻率，但存在相位差。動(dòng)力放大系數(shù):1J(l-02)2+4®(2.3.18)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)g二0時(shí)，退化為無阻尼親統(tǒng)的;"d丁（1_旳；+4刊2 由于阻尼存在，當(dāng)Ufl時(shí)，幅頻響應(yīng)曲線&qu

18、ot;趨于某一有限值； 在遠(yuǎn)離共振區(qū)的地方，阻尼對(duì)的影響較小； 當(dāng)LHT0時(shí)，接近于1,此時(shí)的干擾力可近似作為靜荷載來處理； 當(dāng)L>-»oo時(shí)，"一>0； 當(dāng)鹽#時(shí)，%<。第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)相頻響應(yīng)曲線:(P隨頻率比U的變化曲線。位移響應(yīng)總是滯后于干擾力;®p=co,0=/2,相位共振;當(dāng)u-0時(shí)，(p>0，4移與激振力同相位;當(dāng)V>oo時(shí)，0>龍，位移與激振力反相位。工程應(yīng)用：用穩(wěn)態(tài)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來測(cè)定有關(guān)動(dòng)力學(xué)參數(shù)圖2.3/2相頻曲線(2319)F1刈_詞1+tan2(pFcos(p_Fcos(p£(1_，)k

19、-mp2kmp2=Fcos(p/A(2320)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例2.32考慮結(jié)構(gòu)的阻尼，重新計(jì)算例2.31。兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下f、=10HF=100QV，A=0.001加觀©=15°f2=15/z,耳=100QV，4=°001加02=146。解：P=2兀f、=20兀(rad/s)p2=2兀扎=3。兀(rad/s)固有頻率：co=y!k/m=84.18174(rad/s)阻尼比：=8OT3=0-746齊(if。)=0.07950=習(xí)叛TI"1957煌=(i絆映46。)=0.076342q£一400丹加=1000cos(15°)0.

20、0012x103900°°°曲146；)0.0018x103k=1.81735x109N/mm=0.25645<106kg阻尼系數(shù):=|(+2)=0.07792c=2m6?=3.36434xl06(N-s/m)2.3.3穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中各力的功(1)彈性恢復(fù)力的功：Ws=kxdx=kxxdt=|sin2(pt(p)dt(2.3.21)T一為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的周期，pT=2ttWs=fLA?cos2(0卩兒=0(2.3.22)(2) 慣性力的功:Wjmxdx=jjmp2xxdt=0(2.3.23)(3) 阻尼力的功：WD=jcxdx=cX2力=Jocy?2A2cos2(pt

21、(p)dt=Ic/22A21+cos2(pf(pjdt=7tpcA2(2.3.24)(4) 干擾力的功：=jFsinptdx=Fsinptxdt=Jg/sinptcopt(p)dt=7Asincp(2.3.25)機(jī)械能守恒定律：wI+WD+WS+WF7iFAsin(pnpcA2=0A=Fsin(p/cp(2.3.27)p=co,sin=1maxF_F_Jmk_CCDkC2c2£(2328)共振時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)：仏c=4nax/£=l/結(jié)（2329）平衡關(guān)系和相位關(guān)系幾何關(guān)系：F2=(k-mp2)A2+(pcA)2(2.3.33)mx+cx+kx=Fejpt(2.3.30)穩(wěn)

22、態(tài)響應(yīng)：Fejpf+(mp-k-jpc'AeHpr)=02.3.4矢量分析方法復(fù)數(shù)形式運(yùn)動(dòng)方程：02.3.3力的矢量合成FF1yj(k-mp2+(pc)2*J(1_l)2)2+4歹tan©=7卩。=半與(2.3.34)k-mjrl-u第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.3.5靜荷載的影響外荷載：F("二F°+戸(t)零均值動(dòng)荷載：戸®等效靜荷載：Weq=F0+W運(yùn)動(dòng)方程：mx+cx+kx=F(Z)+W6/(2.3.35)圖2.34靜荷載的影響(2.3.36)初始靜位移:總位移:X0=元C)+4/(2.3.37)(2.3.38)(2.3.39)mx+cx+

23、kx+kA寸=F(t)+Wec/mx+cx+kx=F(t)結(jié)論：在計(jì)算附加的動(dòng)位移W,可以不考慮靜荷載的影響。§2-4單自由度系統(tǒng)在周期荷載作用下的響應(yīng)周期荷載：fq+r）=F（t）con=富里葉級(jí)趙開：F（甘分埶嚴(yán)2尹+5亨展開系數(shù):an尋J；F(t)cos駕dt(n=0丄2,)11(242)%=話:F(f)sin普fdf(n=1,2,-)荷載的基頻：Pq=271IT荷載的倍頻:荷載的平均值：相當(dāng)于靜荷載20FQ)=牛+£(%cospnt+bnsinpnt)(2.4.3)乙n=2-4-1無阻尼單自由度系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)弘）=守+幼"皿爺f+化sin爺fmx+kx=+

24、(巳cospnt+bnsinpnt)(2.4.4)Zn=靜位移項(xiàng)：=%/(2E)(2.4.5)八八十Q1b1動(dòng)位移項(xiàng)：x=¥cosnt.x=¥sinpt必k1，fns上1-2nn總位移：X=k8/2+2xcost+bnsinpnt)_n=/?_Df=pn/G）為對(duì)應(yīng)于荷載中的次諧波分量的頻率比。2.4.2有阻尼單自由度系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程：mx+ci:+£x=?+£(巳cospnt+bnsinpnt)2n=ln次諧波分量所對(duì)應(yīng)的方程:加九+ci+kxn=ancospnt+bnsinpnt(2.4.9)設(shè)解：£=Acos幾t+Bnsinpnt代

25、入方程(2.4.9),兩邊比較系數(shù)得f(kmp2)A+cpB=a(2.4.10)Jxn/nrnnnIcpA+(kmp2B=bIrnnrn/nn(2.4.11)A亠(k_mp滬"cpnbbn(k-mp+acpnn(km+c?p：n(km+c?p；第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)n(k-mp：Y+c1plA二勺仗加P；)化egB二"(kmp打+ancp"Zl°x2'n(k-m+c2pc=2mco,vn=pjco1a2fuib(1_u?)+q2guA_丄nn丿n=tzd丄nn/nn匕b=-二，?k(1丄)2+4孑就總響應(yīng):魚1孕暫(1一尤)一化2和2kkt(1

26、_仍+4廠°n'nnnsinpnn2u2ncospnt100+丄£kn=(1一。汙+4§2丄nk(l-)2+4V|A當(dāng)0<t<T-A當(dāng)T<t<T例2.4.1求無阻尼系統(tǒng)在周期荷載作用下的響應(yīng):W)=AIL-A解：荷載反對(duì)稱耳勺=0S=0,1,2,)Pn=npp0=27r/T耳T=2tt/p0bn=F(t)sintdt二孕(加-J驚OsinGPot)dt0當(dāng)=2,4,6,»=<“4A/(n7T)當(dāng)農(nóng)=1，3,5,勺=0（=0丄2,）0當(dāng)=2,4,6,=<"44/（砲）當(dāng)=1，3,5,總響應(yīng):X=bn-嚴(yán)

27、24Ay兀k77=1,3,5次諧波頻率比：q=pco=2ri兀I&T)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例242單自由度系統(tǒng)受三角鋸齒波周期荷載作用，系統(tǒng)的固有頻率與荷載的基頻pQ之比為1：2,阻尼比$0.05,求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。T圖2.4.1鋸齒波解：先計(jì)算富里葉展開系數(shù)4=黑F沁攀tdt=牛（嚴(yán)知8S（npQt）dt丁當(dāng)=0=<2兀/卩0卡tsin（®0丫）dtFn7i0當(dāng)心0總響應(yīng)：兀=芻+丄力才(l-t>2)sinpt-2gucospt2k齡(1_疔)2+4嚴(yán)屛"匕八匕=f心+£a2Jg2陜。伽k|_心1(1一4滬)+0.04zz2兀%兀_取級(jí)數(shù)

28、的前三項(xiàng)：xq令0.5+(0.007(Mcospj+0.000283bos2pQt+0.000052?os3pQt)-(0.1056sinpQt+0.0106sin2pQt+0.00303sin3pQt)級(jí)數(shù)收斂速度快，只需取前幾項(xiàng)，就能滿足工程需要的精度。§2-5單位脈沖激振和單位階躍激振2.5.1單位脈沖激振力F的沖量:IF=j+AtFdt=FAt(2.5.1)單位脈沖：/ftO時(shí)，F(xiàn)tbif=1單位脈沖函數(shù)：F(t)=8(t-心)Cot工t、t=t性質(zhì):AtqLq圖2.5.1單位脈沖函數(shù)(1)s(r)=(2)怎犯切/=1(2.5.2)(2.5.3)(3)JX/(O犯-1沖=f(

29、)(2.5.4)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單位脈沖激振:mx+cx+kx(2.5.5)工+2做x+a)2x=id(t(2.5.6)脈沖結(jié)束后，系統(tǒng)作自由振動(dòng)。關(guān)鍵：確定初始條件!沖量定理：mx0=IF=l耳0=m(2.5.7)初始條件：x0=0,x0=-(2.5.8)也可用積分來求脈沖結(jié)束后的速度和位移x-8t)lm沏M=xQ=+xdt=J，工力=0單位脈沖響應(yīng)函數(shù):m(Dd_如sin(Q/)a<o)a>o)(2.5.11)一般情況:0h(tT)=1mco_加(巧sinbd(tt)（G）(2.5.12)2.5.2單位階躍激振a<o)(1=0)(2.5.13)u（t）111(t&

30、gt;0)運(yùn)動(dòng)方程:一般解：x=|+ez(Acosy/+4sincodt)0圖252單位階躍函數(shù)圖253單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng):(2.5.16)§2-6單自由度系統(tǒng)在任意荷載作用下的響應(yīng)FF(r)dr1"Tdrt0圖261杜哈美積分中的元沖量2.6-1任意荷載作用下的響應(yīng)計(jì)算公式基本思想:將任意的激振力劃分為無限多個(gè)微小的脈沖函數(shù)，求出單位脈沖響應(yīng)，再應(yīng)用疊加原理。元沖量引起的系統(tǒng)響應(yīng):h(t-T)F(T)dT=里耳-細(xì)(1)svco,(t-T)dT(t>t)(2.6.1)mcodLaJ疊加得總的響應(yīng)杜哈美積分，數(shù)學(xué)上稱為卷積x(t)=J0h紅一T)F(T)dr=j

31、'空2幺-他(I)sin切“一萬)dr(2.6.2)0mcod應(yīng)用：計(jì)算處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度系統(tǒng)在任意荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)有初始干擾的一般情況:兀(/)=幺-RxQCOSCDdt+sin。/丿無阻尼情況:d)sin0d(r訓(xùn)dr(2.6.3)F(e).sin16)(t-T)drmco(2.6.4)x(0=x0coscoZ+sinco(Z-r)dr(265)例261利用杜哈美積分計(jì)算單位階躍響應(yīng)。解：F(t)=U(t)F(r)rfr=l-rfr(r>0)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)歐拉公式：sinb'C二右（R引（I）_幺一屈（1）M1x(t)=02jm(od變量替換:古糾閥

32、）（心）"（-斜閥）（-）dr(267)tTa4"da12jm®d1_4+冋一一j叭(念y(2.6.8)cos6?/+sino)jtI叫d)結(jié)果與式（2.5.16）完全一致。第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.6.2杜哈美積分的數(shù)值解法工程應(yīng)用：對(duì)一般任意荷載，杜哈美積分比較困難。數(shù)值解的兩種基本形式:1.數(shù)值積分法:給出動(dòng)力響應(yīng)的具體表達(dá)式,杜哈美積分，再用數(shù)值積分進(jìn)行計(jì)算。由于杜哈美積分基于疊加原理，故只能解線性問題。2.直接積分法：直接從運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，根據(jù)在時(shí)間軸一系列區(qū)間端點(diǎn)上所滿足的動(dòng)力方程，建立逐步積分的遞推公式，逐次求出動(dòng)力響應(yīng)。它既能解線性問題，也能解非線

33、性問題。一.數(shù)值積分1-辛卜生積分法x(t)=f幺fFsin0/(t_£)drJ0ma)d將杜哈美積分改寫成：x(0=A(0sincodtBcosq/(2.6.9)(2.6.10)s(Dsin(CdE)d£弘)=馬匸尸&)”w)cos(3)必辛卜生積分公式：廠1("心#“(切+4心+抽)+心)(2.6.11)=AQ.)二盤J：F(z)cos(r)dr(2.6.12)以川)為例：一做G+&t)CosS舁)d萬-埶+)cos(om)dTj"+F+i)cosS#+i)Cr；+ArA=-F(r)e(2.6.13)卄i叫J°v7七八A,C

34、+=Ae-Ar+fF(z)e=4幺血&+F()cos(zf)e6mcod計(jì)算步驟.+4F(X+|Ar)cos(£+1Ar)eMSt/2(1) 選擇(,4=0,Az=Bz=0;(2) 按照式(2.6.13)分別計(jì)算令+i和色+1;(3) 計(jì)算如1時(shí)刻的響應(yīng)；g=0,CD=CD(4) 令f=i+l,轉(zhuǎn)第(2)步，循環(huán)計(jì)算下去。無阻尼系統(tǒng)，?。?.逐步積分法在小區(qū)間右，ti+li=tif坍心內(nèi)直接計(jì)算杜哈美積分sina)(r-5)ds(r<At)(2.6.15)(、&rrF(s).X(T)-XiCOS69T+Sina)t+cos0mco(0(r-5)jds(2.6.1

35、6)coJ0mcocoFC)在區(qū)間內(nèi)線性變化:-x.sin0)?+cos®r+fZCDF(Q=(l-s/4)+£+s!At(2.6.17)sincoAt將式(2.6.17)代入式(2.6.1516),積分并令，得x.F.x.=x.cosa)At+sina)At+(1一coscoAt)+/+17cokx.x.FAF.iiCD二一兀.sincoAt+-coscoAt+-rsin(oAt嚴(yán)(1一cos/Zk)cokkcoAt-x.FAF.(x.二兀.coscoAt+sincoAt+y(1coscoAt)H-Iz1zcokk'x.x.FAF.i二一兀sin6；At+-Lco

36、s(oAt+-Lsina)At+rL(1一cos/zk)ICD1G)kKCOAt1一一LsincoAtcoAt荷載增量:遞推公式:xi+i=ax.+bx.+cF.+dF.+i=Ax.+Bx+CF.+DF.1lIIz+1"COS心,心晉空,c皿1/si叱ZkCOSQ0)sinqzkcoAt,A=-cosino)At,B=cosqAtd=lvC=(/Atsin(DAt+cos(dAt-),D=羅占(2.6.19)(2.6.20)k/vz_iTKZ_u第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)對(duì)有阻尼系統(tǒng)，遞推公式仍為式(2.6.19)sinco.At叫幺一如°cosco.

37、At+dckcotAt(1一2孑geozV)sin0/Zksinco.At,b=叭、+04COS04+丿_2gka>Atd=kAi-(1-22)sincoAt+6CDCOS04+卜K(2.6.21：(叫coscodAt-SsincodAt)幺-如2sin©zk,B叭叭C=(做+”°)sin。°。cos叫吉p-1D=(Dsinco,Ato).cos&),At)+-j-kco,Atdd“丿kAtd數(shù)值積分法的計(jì)算精度與時(shí)間步長(的大小有關(guān)沖擊荷載：一般取ZUV7730,T為沖擊荷載的持續(xù)時(shí)間；長時(shí)間作用荷載，取AfWGin/lO,幾訕為結(jié)構(gòu)的最小固有周期

38、。§2-7求動(dòng)力響應(yīng)的直接積分法杜哈美積分：應(yīng)用了疊加原理，只能解線性問題。直接積分法:直接由運(yùn)動(dòng)方程建立遞推公式，適合解非線性問題。以平均加速度法為例來說明求解過程平均加速度：x(r)=+x+1)(0<r<Z10積分得：x+1+|(x+%+i)zU(2.7.1)xj+l=x.+xAf+*(x+x.+1)Zlt2(2.7.2)和+當(dāng)區(qū)+和0(27.1)x+1=x+x.At+1(x+x+1)At2(2.7.2)運(yùn)動(dòng)量的增量：；+i呂，AzAx,=%7,*二羽+i®(2.7.3)x.+1=xz.+Ax.,i/+1=+Ax.,x/+1=x.+Ax.(2.7.4)由式(

39、272)解出：=4(Ax:.-x.At/At2-2x.(2.7.5)式(2.75)代入(2.7.1):%=2禺/4-2咅(2.7.6)mx.+cx.+kx.=F.丄丄；，（277）m兀+1+c兀+1+k=FmmZlx.+cAx.+kAx.=AF.(2.7.8)式(2.7.5)和(2.7.6)代入(2.7.8):kAx.=AF；(2.7.9)等效剛度：七+和等效力：AF；=AF.+(2c+4m/At)x.+2mx.(2.7.10)=AF；/e(2.7.11)耳AxAxt初始條件：Xo=兀(°)，無0=兀(°)x0=(F°cx0mxlm(2.7.12)§2-

40、8響應(yīng)的頻率域分析法2.8.1周期函數(shù)富里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式F(0=#+級(jí)cos爺f+仇sin爺J(2.8.1)a”=*F(t)cos2”兀tdt("=0,1,2,)«11(2.&2)“=岸2卩曲2學(xué)tdt("=1,2,)根據(jù)歐拉公式，得FQ)=今+名(經(jīng)；九)ei叭t+(""-；九eT叫t(2.8.3)cdq=2ji/Ta_n=anb=bnb°=0F(f)肌十f%他ejnco01y"n旳訓(xùn)如=yQ2/?=ly2丿n=-y2丿n=-co"第2章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng).,ci(、jb(、coF(z)=_n)+Z乙n

41、=一s嚴(yán)of+£n=-y'a-jb)nJn丿ePQt-y(JejncoQtH=-O0Cn=i(d“-旳)1rr/2=F(r)(cosn(oQt-jsinnG)Qtjdt(2.8.5)1rt/2.fz、二討”F°力("°，±1，±2,)復(fù)數(shù)形式的富里葉展開式:CO弘)=工v(2.8.6)1rt/2fC1=-F(t)廠叫/nT-T/22.8.2富里葉變換nor.CDAcoCD.coCD0n+lnco0=5ITF=£占g)嚴(yán)£g)"也n=cDJ-乙兀n=co(2.8.7)TCn=f7/2F(r)幺一悶r

42、dtnJ-T/2卩T00時(shí)，力力>dcoCDn>CDF（嗨恒等式：1fIjrC(rF(t)e-j0)tdteia)tdcoJCOJ09/Fu)ejco(tLi)dudcoco(2.8.8)oo富里葉變換對(duì):coF)=eja)tdtJco1/coF(t)=F)嚴(yán)de、17T(2.8.9)002.8.3系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)運(yùn)動(dòng)方程：mx+cx+kx=Fejpt(2.8.10)復(fù)形式的解答：x(0=乂訓(xùn)(2.8.11)復(fù)振幅：X=-尸(2.8.12)(Kmp)+jcp復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)：一單位復(fù)激振力引起的復(fù)響應(yīng)=1Fjcco(2.8.13)系統(tǒng)在復(fù)激振力作用下的復(fù)響應(yīng)：兀(匚。)=H(0)F(

43、0)ej(0t(2.8.14)2.8.4頻域疊加原理和系統(tǒng)的頻域分析方法(1) 非周期荷載F的頻譜是連續(xù)頻譜(2) F(砂代表連續(xù)頻譜中不同的激振頻率少處的力幅頻率域疊加原理:H(e)F(e)ejcotd(o乩+(2.8.15)xC)的富里葉變換：XQ)=(2.8.16)時(shí)域公式(262)與頻域計(jì)算公式(2.8.15)之間的關(guān)系因?yàn)閄0時(shí)，F(xiàn)(T)=h(T)=O,所以x(t)=J*0h(t-r)F(T)dr-jcoh(t-T)F(r)dT(2.8.17)00X(0=j*0h(t-T)F(T)dT-jCOh(t-(2.8.17)00X(/)的富里葉變換:xg)=8-x(t)eJC01dtCO,h(t-T)F(T)dreJC0dtco00co00作變換：t41(!=匚尸(訓(xùn)TUe'j(vtdtdr(2.8.18)h(u)ejcoudu00X(q)=JF(r)J00廣S00=IFg®TdrIhu)e'JC0UduJcoJco(2.8.19)Q00,=%)h(t)eJC0dtCO比較式(2.8.16)和(2.&19)：00H()=h(t)eJC0fdt(2.8.20)H(6)=fh(f)eJMrdtV1f00h(t)=fH()eJco