米散射理論基礎(chǔ)..

1、米散射(Miescattering);又稱“粗粒散射”。粒子尺度接近或大于入射光波長的粒子散射現(xiàn)象。德國物理學(xué)家米(GustavMie,18681957)指出，其散射光強(qiáng)在各方向是不對(duì)稱的,順入射方向上的前向散射最強(qiáng)。粒子愈大,前向散射愈強(qiáng)。米散射當(dāng)球形粒子的尺度與波長可比擬時(shí)，必須考慮散射粒子體內(nèi)電荷的三維分布。此散射情況下，散射粒子應(yīng)考慮為由許多聚集在一起的復(fù)雜分子構(gòu)成，它們?cè)谌肷潆姶艌?chǎng)的作用下,形成振蕩的多極子,多極子輻射的電磁波相疊加，就構(gòu)成散射波。又因?yàn)榱Ｗ映叨瓤膳c波長相比擬，所以入射波的相位在粒子上是不均勻的，造成了各子波在空間和時(shí)間上的相位差。在子波組合產(chǎn)生散射波的地方，將出現(xiàn)相

2、位差造成的干涉。這些干涉取決于入射光的波長、粒子的大小、折射率及散射角。當(dāng)粒子增大時(shí)，造成散射強(qiáng)度變化的干涉也增大。因此，散射光強(qiáng)與這些參數(shù)的關(guān)系，不象瑞利散射那樣簡單,而用復(fù)雜的級(jí)數(shù)表達(dá)，該級(jí)數(shù)的收斂相當(dāng)緩慢。這個(gè)關(guān)系首先由德國科學(xué)家G.米得出，故稱這類散射為米散射。它具有如下特點(diǎn)：散射強(qiáng)度比瑞利散射大得多，散射強(qiáng)度隨波長的變化不如瑞利散射那樣劇烈。隨著尺度參數(shù)增大，散射的總能量很快增加，并最后以振動(dòng)的形式趨于一定值。散射光強(qiáng)隨角度變化出現(xiàn)許多極大值和極小值，當(dāng)尺度參數(shù)增大時(shí)，極值的個(gè)數(shù)也增加。當(dāng)尺度參數(shù)增大時(shí)，前向散射與后向散射之比增大，使粒子前半球散射增大。當(dāng)尺度參數(shù)很小時(shí)，米散射結(jié)果可

3、以簡化為瑞利散射；當(dāng)尺度參數(shù)很大時(shí)，它的結(jié)果又與幾何光學(xué)結(jié)果一致；而在尺度參數(shù)比較適中的范圍內(nèi)，只有用米散射才能得到唯一正確的結(jié)果。所以米散射計(jì)算模式能廣泛地描述任何尺度參數(shù)均勻球狀粒子的散射特點(diǎn)。19世紀(jì)末，英國科學(xué)家瑞利首先解釋了天空的藍(lán)色：在清潔大氣中，起主要散射作用的是大氣氣體分子的密度漲落。分子散射的光強(qiáng)度和入射波長四次方成反比，因此在發(fā)生大氣分子散射的日光中，紫、藍(lán)和青色彩光比綠、黃、橙和紅色彩光為強(qiáng)，最后綜合效果使天穹呈現(xiàn)藍(lán)色。從而建立了瑞利散射理論。20世紀(jì)初，德國科學(xué)家米從電磁理論出發(fā)，進(jìn)一步解決了均勻球形粒子的散射問題，建立了米散射理論，又稱粗粒散射理論。質(zhì)點(diǎn)半徑與波長接近

4、時(shí)的散射，特點(diǎn)：粗粒散射與波長無關(guān)，對(duì)各波長的散射能力相同，大氣較混濁時(shí)，大氣中懸浮較多的的塵粒與水滴時(shí)，天空呈灰白色。米散射理論是由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來的均質(zhì)球形粒子在電磁場(chǎng)中對(duì)平面波散射的精確解。一般把粒子直徑與入射光波長相當(dāng)?shù)奈⒘Ｗ铀斐傻纳⑸浞Q為米散射。米散射適合于任何粒子尺度,只是當(dāng)粒子直徑相對(duì)于波長而言很小時(shí)利用瑞利散射、很大時(shí)利用夫瑯和費(fèi)衍射理論就可以很方便的近似解決問題。米散射理論最早是由G1Mie在研究膠體金屬粒子的散射時(shí)建立的。1908年,米氏通過電磁波的麥克斯韋方程,解出了一個(gè)關(guān)于光散射的嚴(yán)格解,得出了任意直徑、任意成分的均勻粒子的散射規(guī)律,這就是著名的米氏理論4-6。

5、根據(jù)米散射理論,當(dāng)入射光強(qiáng)為10,粒子周圍介質(zhì)中波長為入的自然光平行入射到直徑為D的各向同性真球形粒子上時(shí)，在散射角為8，距離粒子r處的散射光和散射系數(shù)分別為:從上式中可以看到，因?yàn)槭歉飨蛲缘牧Ｗ?，散射光?qiáng)的分布和屮角無關(guān)。同時(shí),上式中:m心鹽化丿h=工瑞$,丿Xf丹&川訂、i2為散射光的強(qiáng)度函數(shù);si、s2稱為散射光的振幅函數(shù);a為粒子的尺寸參數(shù)(a=nD/入);m=mi+im2為粒子相對(duì)周圍介質(zhì)的折射率,當(dāng)虛部不為零時(shí),表示粒子有吸收。對(duì)于散射光的振幅函數(shù),有:式中an、bn為米散射系數(shù)，其表達(dá)式為:其中：札=廣;丿”幾+*0S=少叱_&P百fo”步6二心汕j=為尸;心撫丿是半奇階的第一

6、類貝塞爾函數(shù)；是第二類漢克爾函數(shù);Pn(coSe)是第一類勒讓德函數(shù);P(1)n(cose)是第一類締合勒讓德函數(shù)。Mie散射理論Mie散射理論是麥克斯韋方程對(duì)處在均勻介質(zhì)中的均勻顆粒在平面單色波照射下的嚴(yán)格數(shù)學(xué)解。由Mie散射知道，距離散射體r處p點(diǎn)的散射光強(qiáng)為Q審=IsliQ)愉(Rs式中：九為光波波長;I0為入射光強(qiáng);Isca為散射光強(qiáng)；0為散射角；9為偏振光的偏振角。8Si(9=少/:+;)%兀+甌oo$2(0=占/：+I)皿石+瓦幣式中:S(e)和S2(e)是振幅函數(shù);an和bn是與貝塞爾函數(shù)和漢克爾函數(shù)有關(guān)的函數(shù)；兀n和工n是連帶勒讓得函數(shù)的函數(shù)，僅與散射角。有關(guān)。其中_q?i.M

7、:(出(X)出；i成|翅僦(X)ar&(0()q；(mOfJ-m6；(0()9?伽(X)_出q?i、&；仙a):：)述用&(c()卩；腳c)-e(oOc)f式中:9(a)和8(a)分別是貝塞爾函數(shù)和第一類漢克爾函數(shù)；9(a)和nnnr8n(a)是9n(a)和8n(a)的導(dǎo)數(shù)；a為無因次直徑，a=兀D/九,D為顆粒的實(shí)際直徑；九是入射光的波長;m是散射顆粒相對(duì)于周圍介質(zhì)的折射率，它是一個(gè)復(fù)數(shù)，虛部是顆粒對(duì)光的吸收的量化。由以上公式可見,Mie散射計(jì)算的關(guān)鍵是振幅函數(shù)片()和S2(e),它們是一個(gè)無窮求和的過程，理論上無法計(jì)算。求解振幅函數(shù)的關(guān)鍵是計(jì)算an和bn，所以Mie散射的計(jì)算難點(diǎn)是求解an

8、和bn。Mie散射理論的數(shù)值計(jì)算通過以上分析可知,Mie散射計(jì)算的核心是求解an和bn，我們編制程序也ff是圍繞它進(jìn)行編寫。在an和bn的表達(dá)式中9(a),9(a),8(a)和8(a)nnnn滿足下列遞推關(guān)系:汽丄廠-韓貞應(yīng)卩；(便=-$卬+農(nóng)L)G.(0()=i；咯-G-2反)C.U(X)=-7&(時(shí)+G-L(W這些函數(shù)的初始值為;CPi(Of)=co呂0(smCtCl(tt)=cosft-lsmftCc-(0()=siiiCi-lcosft與散射角有關(guān)的9(a)和8(a)滿足下列遞推公式：nnT-=壓co虧0TTsuf9h-1n譏7E?=1Hi-ICOs0-1皿z7i-171-1ITn=L

9、-1)壓-i77=1-277j=077j=07Tc=7T；=0有了這些遞推公式可以很方便地通過計(jì)算機(jī)程序求解。但是對(duì)于N的大小，因?yàn)橛?jì)算機(jī)不可能計(jì)算無窮個(gè)數(shù)據(jù)，所以n在計(jì)算之前就要被確定。散射理論基礎(chǔ)與Matlab實(shí)現(xiàn)若散射體為均勻球體，如圖1所示，照射光為線偏振平面波,振幅為E,光強(qiáng)10,沿z軸傳播，其電場(chǎng)矢量沿x軸振動(dòng)。散射體位于坐標(biāo)原點(diǎn)O,P為觀測(cè)點(diǎn)。散射光方向(OP方向)與照射光方向(z軸)所組成的平面稱為散射面，照射光方向至散射光方向之間的夾角8稱為散射角，而x軸至OP在xy平面上投影線(OPZ)之間的夾角屮稱為極化角。觀測(cè)點(diǎn)與散射體相距R。根據(jù)經(jīng)典的Mie散射理論，散射粒子的尺度參

10、數(shù)為a=2na/入，其中a為球形粒子的半徑，散射粒子相對(duì)周圍介質(zhì)的折射率為m=Ml+i*m2。則散射光垂直于散射面和平行于散射面的兩個(gè)分量的振幅函數(shù)為:化f爭：匚迢口丿-陀匹；口丿旺5匍爐；5口丿-mn(a)Wn(wicj叭(甲；5山-甲1玖二用化30,出刎-；f勿(ma)以上式中：Jn+1/2(z)和Yn+1/2(z)分別為半整數(shù)階的第一類,第二類貝塞爾函數(shù)。P(i)n(cos8)為一階n次第一類締合勒讓德函數(shù);Pn(cos0)為第一類勒讓德函數(shù)。在數(shù)值模擬過程中選取初始下:微粒子對(duì)光的散射和吸收是電磁波與微粒子相互作用的重要特征,而微粒對(duì)電磁輻射的吸收與散射與粒子的線度有密切關(guān)系,對(duì)于不同

11、線度的粒子必須應(yīng)用不同的散射理論。Mie散射理論主要用于從亞微米至微米的尺寸段;在微米以下至納米的光散射則近似為形式更明晰簡單的瑞利散射定律,散射光強(qiáng)烈依賴于光波長入(I入-4);而對(duì)大于微米至毫米的大粒子則近似為意義明確的夫朗和費(fèi)衍射規(guī)律了。J.JJMie散射理論給出了球型粒子在遠(yuǎn)場(chǎng)條件下的散射場(chǎng)振幅an、bn以及粒子內(nèi)部電磁場(chǎng)振幅cn、dn的計(jì)算表達(dá)式，通常稱為Mie散射系數(shù)jnOnx)x(x)-血譏)祖JCj“f粗劉沖？工丿工弗if工丿r-&f工丿f打工丿旳幾(THx)fxhJfX.)-hHi幾丿-Hir彈g)爲(wèi)Ff己-(x)mxjn(mx)女1f工丿WJ工丿-女i粧襯f心兀f応1V仃工

12、丿J-/r1J(x)fmx)Ja)式中m表示微粒子外部介質(zhì)的相對(duì)折射率,X=Ka,a為球的半徑,K=2n/入稱為波數(shù),為相對(duì)磁導(dǎo)率，即球的磁導(dǎo)率與介質(zhì)磁導(dǎo)率的比值,jn(x)和h(i)n(x)分別為第一類虛宗量球Bessel函數(shù)和Hankell函數(shù)。散射系數(shù),消光系數(shù)及偏振狀態(tài)下散射相位函數(shù)：散射截面o（散射率Q）、吸收截面ob（吸收率Qb）、消光截面ot（消光scascaabsabsext率Qext）、后向散射截面ob（后向散射率Qb）以及輻射壓力or（輻射壓力效率Qpr）。其表達(dá)式如下:pr其中i為sea、abs、ext、pr分別表示散射、吸收、消光、輻射壓力。按照能量守恒定律有:Q（輻射

13、壓力效率的計(jì)算公式）：prQ哉fiQheQb（后向散射系數(shù)）:+bf-1丿f厲i-這些都是無窮級(jí)數(shù)求和，在實(shí)際計(jì)算過程中必須取有限項(xiàng),Bohren和Huffman給出了級(jí)數(shù)項(xiàng)最大值取舍的標(biāo)準(zhǔn):對(duì)于單位振幅入射波經(jīng)微粒散射后,其散射場(chǎng)振幅的大小與散射角有關(guān),在球坐標(biāo)系下,遠(yuǎn)場(chǎng)散射振幅的大小為:E-e=_cos-fcosikf-Sifcos）其中SI和S2為散射輻射電場(chǎng)在垂直及平行于散射面的兩個(gè)偏振分量。微球內(nèi)部場(chǎng)振幅計(jì)算公式顆粒內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度為:和N“，n為矢量波球諧函數(shù)，在球坐標(biāo)系中定義如下:其中M(gin八(1)e1n0COST?ifcos)J?i(aJsin0rn(cos6)j(rmx)齊心

14、+1丿(?0虧0-SUl.Tj,fco6)乩Xy，廠Pj*hf5COS?jfg沙丿訕+汕mm吸收截面Qabs具有損耗介質(zhì)顆粒的吸收截面為：%7士=12dv其中是粒子相對(duì)介電常數(shù)的虛部,經(jīng)整理可得：oog=2(2,14-1)jr(-/Zz)2zj(z)fJH=2R1F27i+1丿:f：2和偏正度（I&PT匍1&卩+釦弓連分式算法總結(jié)：Mie散射計(jì)算的核心是計(jì)算an和bnan霽(憶)嘰(ma)-用爲(wèi)(a)嘰(ma)-卜_川嘰丫尬丿嘰f丿肝f旳嘰f吹)収、fma)-(a)0(moj其中(a)=aJn(a),En(a)=aJn(a)+iaY”(a),J”和Y”分別是第一和二類貝塞耳函數(shù),a稱為當(dāng)量直徑

15、,a=2nr/X,r是球形顆粒的真實(shí)半徑，入是入射光的波長m為折射率叫6)二(帖/刃說幾神盤&=(彩/2)叫琮注斗(-1F込加式中P為函數(shù)任一自變量。貝塞耳函數(shù)遞推關(guān)系式：b_汎DM叩+注久Jk3-也皆_1f耳丿mDn(諛丿一m/an(a)-fn_!a)Mie散射計(jì)算中Jn、Yn、Dn的計(jì)算是關(guān)鍵和難點(diǎn)。對(duì)于Dn,我們采用的是Lentz的連分式的算法:Lentz證明有如下關(guān)系:其中-宀。我們注意到當(dāng)1一2時(shí),1心廠:I：心。所以可以利用上式累積相乘直到滿足精度要求。何根據(jù)精度要求例如10-來確定所要達(dá)到的k值)對(duì)于j、y的生成本文也采用連分式的算法。具體方案如下:nn令Cn=j”-1(a)/j

16、n(a)，根據(jù)貝塞耳差積公式：J剜Y?_i心丿J-iS由以上二式整理得：上式中Cn的計(jì)算是采用類似于Dn的連分式的形式，計(jì)算中可調(diào)用同一函數(shù)計(jì)算。若已知初值：Jo=sin/Jif久丿=siuot/厲cost/旳;Yo=-cosa;Yi（吠）=-cos獷-sin這樣就可計(jì)算出各級(jí)Jn和Yn。WilliamJ.Lentz關(guān)于連分式的文章:申血）二（帖/刃詵幾卡伉M=（彩/2）叫曲+HP込加1xU）=翌血=-t-厶血其中擰丨也=j-7=仆。亠為基礎(chǔ)，采用貝塞爾函數(shù)比值的連分式表示法：匕川兒利用此法可產(chǎn)生所有的八八一，盡管耗時(shí)，但能減少存儲(chǔ)需求。同時(shí)可通過計(jì)算高階值，使用下面的遞推公式，從后往前算出其

17、他值。燈=紹十1九（刃jn*（力疋上1心不像一般的函數(shù)，貝塞爾函數(shù)的比值一旦超過可控制的邊界，就不再增長，初始的高階值決定了所有低階值的準(zhǔn)確性，因此，采用新方法計(jì)算準(zhǔn)確的初始比值是必要的。處于分母位置的+號(hào)表示分母上加上一個(gè)特殊的連分式。類似于上式中的表示形式。定義一種新的符號(hào)：Lentz給出了n階部分收斂值為:例如：實(shí)變量工=丨門，虛數(shù)m：計(jì)算過程:a=(T嚴(yán)啾3卜nl)1n=1,2,3,J19吟=21隔應(yīng)J4*20*94736842(19)(-20*04736842)(32.95226131)(24.95643131)(26J5993017)JT=J(-21)1295230095)(-34

18、.95643154)(26.95993017J=18.95223198米散射學(xué)習(xí)目前所遇到的困難:到底怎樣的計(jì)算結(jié)果才算正確，如何能找到一個(gè)米散射計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確又有效的數(shù)據(jù)庫，來驗(yàn)證自己算法及程序的正確性。倒退式算法的總結(jié):山于Mie級(jí)數(shù)的收斂速度隨特征值無的增大而減慢，同此不同的X值即便在相同的計(jì)算梢度要求下所需級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)M也不一樣19?9年美國學(xué).I.Wimbe-在大顯計(jì)算的基礎(chǔ)上，參考前人杓工作總結(jié)出個(gè)汕的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式.利用該公式鰭出的項(xiàng)數(shù)可以便整個(gè)計(jì)算誤差小于10!，.Wiscnmt)e公式是當(dāng)龍小于602時(shí)可以利用Rayleigh公式計(jì)算而當(dāng)X比20000更大時(shí)，幾何光學(xué)即可適用Dn的計(jì)算采用Dave的倒推式:gifma)=爲(wèi)n/Dhf屈區(qū)丿丿由于Dn函數(shù)有很強(qiáng)的收斂性，對(duì)于Dn的倒推計(jì)算的初值的選取有很強(qiáng)的隨意性。因?yàn)楫?dāng)n-g時(shí)Dn(ma)-0,所以可以取0作為初值。倒推起點(diǎn)選取大一些，可以保證Dn函數(shù)的收斂完全,但是同時(shí)卻增加了計(jì)算時(shí)間。所以必須選取一個(gè)最佳的選擇標(biāo)準(zhǔn)。通過試算,作者認(rèn)為最佳的上限為N魄=15肌1皿+10這里ml是復(fù)折射率的實(shí)部.同樣，對(duì)于貝塞耳函數(shù)Jn的計(jì)算也可以用倒推的方法計(jì)算產(chǎn)生：JHJ刊;IH-1