第11章 氣體分子運動論

1、第十一章氣體分子運動論章節(jié)簡介熱運動能量均分氣體內(nèi)能本章對理想氣體的微觀與宏觀關(guān)系作了研究，說明了氣體分子運動符合統(tǒng)計規(guī)律。（課時數(shù)：共3講，6學(xué)時）壓強，溫度微觀宏觀分子運動的統(tǒng)計規(guī)律麥克斯韋速率分布玻爾茲曼分布平均自由程真實氣體的范德瓦耳斯方程重力場中的壓強方均根速率平均速率最可幾速率第二十七講 理想氣體的壓強與溫度 均分定理與內(nèi)能主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：狀態(tài)方程，壓強公式，溫度公式，均分定理，內(nèi)能重點要求：重點要求：壓強的形成的微觀機理難點理解：難點理解：溫度與內(nèi)能數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法：代數(shù)運算典型示例：典型示例：課外練習(xí)：課外練習(xí)：思考題11.1，習(xí)題11.2，11.4，11.7，11.8在沒

2、有外界的影響下(與外界無能量和物質(zhì)的交換)，經(jīng)過足夠長的時間后，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間而變化狀態(tài)稱平衡態(tài)。0,.),(VPTf壓強 P(單位Pa )體積 V(單位m3)溫度 T(單位K). 描述宏觀物理性質(zhì)和狀態(tài)的物理量（溫度，壓強，體積.)。 RTMPV nkT單位體積的分子數(shù)VNn 稱玻爾茲曼常數(shù)RTVMPRTmVNNm012301038. 1KJNRk壓力不太大，溫度不太低。實際氣體能夠被看趁成理想氣體的條件動畫演示：布朗運動思維空間：a. 溫度和壓強的分子物理學(xué)含義。b. 統(tǒng)計規(guī)律的重要性。c. 氣體擴散與均勻分布。d. 熱量的對流與傳導(dǎo)。動畫說明：可調(diào)整氣體溫度，范圍200K-100

3、0K；顯示一個固定分子的瞬時速度和碰撞次數(shù)；分子熱運動。每個分子看成一完全彈性球。分子除碰撞外無相互作用；理想氣體可看成大量自由地、無規(guī)則運動著的彈性球分子的集合。（1） 微觀模型氣體分子看成質(zhì)點；（2）統(tǒng)計性假設(shè) 平衡態(tài)下，平均來說，朝各方向運動的分子數(shù)相同。在各不同方向上，分子速度的各種平均值相同。zyxvvv222zyxvvv氣體對器壁的壓強，是大量氣體分子對器壁碰撞的結(jié)果。1. 一個分子碰撞器壁給器壁的沖量；2. 所有分子碰撞給器壁的總沖量；3. 總沖量除以時間、面積即得壓強。壓強公式推導(dǎo)的步驟：一個速度為 vi 的分子對 dA 面碰撞（1）分子 i 碰撞所受的沖量 = mvix mv

4、ix = 2mvi x器壁受到的沖量 2mvix（2）dt 時間內(nèi)和dA碰撞的速 度為vi的分子分子數(shù)vixdtdAni速度 vi 的分子在 dt 時間內(nèi)碰撞 dA,給 dA施加的沖量 = 2mvix2 dtdAnixzyodAvixdtvi2mvi x2dtdAni（3）對各種速度的分子求和，dA受到的總沖量022ixviixdtdAnmvIiiixdtdAnmv2dtdAIP 壓強iiixnmv2iixivnm2iixivnmP2iixixxxnnnvnvnvnv21222221122xvmnP 2222zyxvvvv2222222zyxzyxvvvvvvv23xv231vnmP iiii

5、xinvn2nvniixi2231vnmP )21(322vmn(3) 32n分子平均平動功能221vmP是宏觀量，是微觀量的統(tǒng)計平均值，這說明：理想氣體的壓強是一個統(tǒng)計平均結(jié)果。RTMPVnP32P = n k T將 式比較kT23氣體溫度的本質(zhì)：氣體的溫度是氣體分子平均平動功能的量度。含有統(tǒng)計的意義。確定物體在空間位置的獨立坐標數(shù)稱物體的自由度。單原子分子自由度為3剛性雙原子分子自由度為5剛性多原子分子自由度為6i i(x,y,z)(x,y,z)zxy單原子分子zxy雙原子分子zxy多原子分子(x,y,z)由于大量分子的頻繁碰撞，平衡態(tài)時，無論平動、轉(zhuǎn)動、振動、每個自由度上的能量平均來講是

6、相等的為kTi21每個分子的平均動能kTiEi21mol理想氣體的總動能RTikTiN220M克理想氣體的內(nèi)能 2RTiME(理想氣體分子間無相互作用，內(nèi)能即總動能)第二十八講 麥克斯韋速率分布平均自由程主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：麥克斯韋速率分布，三種速率，平均自由程重點要求：重點要求：速率分布的意義，三種速率難點理解：難點理解：速率分布的意義數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法：求和到積分典型示例：典型示例：課外練習(xí)：課外練習(xí)：思考題11.5，11.6，習(xí)題11.10，11.11，11.13動畫演示：麥克斯韋速率分布思維空間：a. 最概然速率的位置和物理意義。b. 平均速率的位置和物理意義。c. 速度方向的統(tǒng)計分布。

7、d. 統(tǒng)計分布的物理意義和高低溫時的分布特點。動畫說明：調(diào)節(jié)氣體溫度改變分子速率分布曲線，同時改變了方均根速率和最概然速率；改變速率取值，可觀察到在200m/s速率區(qū)間內(nèi)的分子的多寡。l = R = t R2R = v tvRRvRl222lRv22vRoRoRoRoRoRolvvNNvf)(稱分布函數(shù))(vfNdvdN（1）成績（分數(shù)g）分布的描述0102030405060708090100g0112021950187人數(shù)（2）速率分布的描述vvv0v N vfNvvvNfN)(（5）表達式22232) 2(4)(vekTmvfkTmv稱麥克斯韋速率分布函數(shù).表示在平衡狀態(tài)下，分子速率在 v

8、 附近單位速率間隔的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。NdvdNvf)(（3）物理意義（4）性質(zhì)01)(dvvf 曲線中影印部分的面積： f (v)dv 最可幾速率vp01)(歸一化dvvf0)(dvvdfRTmKTvp22v f (v) 0dvvp總面積：同種氣體 不同溫度：相同溫度不同氣體：（7）分布曲線和m，T的關(guān)系T2T1(m1m2)v f (v) 0m2m1v f (v) 0T2T1已知分布函數(shù)NdvdNvf)(（1）求百分率dvvf)(21)(vvdvvfdvvNf)(21)(vvdvvNf（2）求分子數(shù)v附近，dv間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率v1 v2間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率v附

9、近，dv間隔內(nèi)的分子數(shù)v1 v2間的分子數(shù)NdN3. 應(yīng)用08)(RTdvvvfvRTdvvfvv3)(022v f (v) 0dvvpdvvNfdN)(dvvvdvvvNfvdN)(00)()(dvvvfNdvvvNfv先假定其它分子都不動，只有一個分子以平均相對速率 u 跟其它分子碰撞。ABtNzNltvlzvundz2nvdz22 Adu dvu2ndzv221pdkT22第二十九講 玻爾茲曼分布真實氣體的范德瓦爾斯方程主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：玻爾茲曼分布，重力場中的壓強公式，真實氣體重點要求：重點要求：重力場中壓強公式難點理解：難點理解：概念代換數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法：典型示例：典型示例：課外練

10、習(xí)：課外練習(xí)：習(xí)題11.17，11.19三維位置空間dx dydz三維速度空間dvxdvydvzzyxkTvvvmdvdvdvekTmNdNzyx2)(232222zyxkTEdvdvdvekTmk232 將分子數(shù)按動能的分布推廣到保守力場，總能量E = Ek + Ep 勢能是位置的函數(shù)，分子在空間的分布也應(yīng)跟位置有關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)在保守外場中處于平衡態(tài)時，坐標介于：x x + dxy y + dyz z+ dz的分子數(shù)稱玻爾茲曼分布律dxdydzdvdvdvedNzyxkTEmvP22 C CdxdydzdvdvdvCedNzyxkTEmvp22kTEedN處于能量大的粒子數(shù)少 實例實例： 考慮在

11、重力場中mgzmvE221dxdydzdvdvdvCedNzyxkTmgzmv22在高度為z，單位體積內(nèi)各種速度的分子數(shù)dxdydzdNn zyxkTmgzmvdvdvdvCe 22考慮在重力場中zyxkTmgzmvdvdvdvCen 22dveevCkTmgzkTmv0222 4kTmgzemkTC23)2(4v2dv=dvxdvydvz)kTmgzemkTCn23)2(z = 0230)2(mkTCnkTmgzkTennkTP0z = 0 P0 = n0 kTkTmgzePP0P0 = 105 Pa , T = 273.15K升高10m大氣壓下降133Pa玻爾茲曼分布律對所有經(jīng)典粒子所構(gòu)成

12、的系統(tǒng)都成立，是經(jīng)典統(tǒng)計力學(xué)的一條重要規(guī)律。在量子統(tǒng)計中應(yīng)用愛因斯坦玻色分布和費米狄拉克分布。分子間的相互作用對氣體宏觀性質(zhì)的影響l分子力實際上，氣體分子是由電子和帶正電的原子核組成，它們之間存在著相互作用力，稱為分子力。對于分子力很難用簡單的數(shù)學(xué)公式來描述。在分子運動論中，通常在實驗基礎(chǔ)上采用簡化模型。三、范德瓦爾斯方程1. 力心點模型假定分子之間相互作用力為有心力，可用半經(jīng)驗公式表示 （st)r ：兩個分子的中心距離、 s、t ：正數(shù)，由實驗確定。tsrrfr r0 斥力r r0 引力r R 幾乎無相互作用 R稱為分子力的有效作用距離R= r0 無相互作用 r0稱為平衡距離當(dāng)兩個分子彼此接

13、近到r r0時斥力迅速增大，阻止兩個分子進一步靠近，宛如兩個分子都是具有一定大小的球體。2. 有吸引力的剛球模型可簡化的認為，當(dāng)兩個分子的中心距離達到某一值d時，斥力變?yōu)闊o窮大，兩個分子不可能無限接近，這相當(dāng)于把分子設(shè)想為直徑為d的剛球，d稱為分子的有效直徑。 d10-10m R幾十倍或幾百倍d r d時分子間有吸引力d0fRr若將分子視為剛球，則每個分子的自由活動空間就不等于容器的體積，而應(yīng)從vm中減去一個修正值 b。理想氣體狀態(tài)方程應(yīng)改為 P（Vm-b）=RTVm為氣體所占容積VM-b為分子自由活動空間可證明363102344mdNbA3. 范德瓦爾斯方程（分子間引力引起的修正）設(shè)想：氣體

14、中任一分子都有一個以其為中心，以R為半徑的力作用球，其它分子只有處于此球內(nèi)才對此分子有吸引作用。(1) 處于容器當(dāng)中的分子 平衡態(tài)下，周圍的分子相對于球?qū)ΨQ分布，它們對的引力平均說來相互抵消。RR(2) 處于器壁附近厚度為R的表層內(nèi)的分子的力作用球被器壁切割為球缺，周圍分子的分布不均勻，使平均起來受到一個指向氣體內(nèi)部的合力，所有運動到器壁附近要與器壁相碰的分子必然通過此區(qū)域，則指向氣體內(nèi)部的力，將會減小分子撞擊器壁的動量，從而減小對器壁的沖力。這層氣體分子由于受到指向氣體內(nèi)部的力所產(chǎn)生的總效果相當(dāng)于一個指向內(nèi)部的壓強，叫內(nèi)壓強 Pi。所以，考慮引力作用后，氣體分子實際作用于器壁并由實驗可測得的

15、壓強為imPbVRTP(3) Pi的相關(guān)因素Pi表面層分子受到內(nèi)部分子的通過單位面積的作用力與表面層分子（類似 ）的數(shù)密度 n 成正比與施加引力的內(nèi)部分子的數(shù)密度 n 成正比221miVnP2miVaP 或?qū)怏w分子視為有吸引力剛球時1摩爾氣體范德瓦爾斯方程RTbVVaPmm2#a、 b由實驗確定。#實際氣體在很大范圍內(nèi)近似遵守范德瓦爾斯方程。#理論上把完全遵守此方程的氣體稱為范德瓦爾斯氣體。l 范德瓦爾斯等溫線（4） 范德瓦爾斯等溫線由方程可得RTbVVaPmm2023PabPaVVPRTPbVmmm在P-V圖上可得一族等溫線，叫做范德瓦爾斯等溫線。曲線形狀與實際氣體等溫線極為相似，表明范德

16、瓦爾斯方程能很好的說明實際氣體（包括轉(zhuǎn)化為液體后）的性質(zhì)。不同之處在于實際氣體BC段為一平行于V軸的線段，范德瓦爾斯氣體等溫線則在相應(yīng)部分彎曲。其中FE段，P則V，不可能實現(xiàn)；BE和FC段為亞穩(wěn)態(tài)；BE：過飽和蒸汽（缺少凝結(jié)核），F(xiàn)C：過熱液體（缺少汽化核）。（5) 與實際氣體等溫線比較復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1.1.一個溫度為17、容積11.210-3m3的真空系統(tǒng)已抽到其真空度為1.3310-3Pa為了提高其真空度，將它放在300的烘箱內(nèi)烘烤，使吸附于器壁的氣體分子也釋放出來烘烤后容器內(nèi)壓強為1.33Pa，問器壁原來吸附了多少個分子？ 解答烘烤前容器內(nèi)單位體積內(nèi)的分子為n1 = p1/kT1 = 3.32

17、1017(m-3)，烘烤后容器內(nèi)單位體積內(nèi)的分子為n2 = p2/kT2 = 1.681020(m-3)器壁原來吸附的分子數(shù)為N = (n2 n1)V = 1.881018 2.已知275K和1.00103Pa條件下氣體的密度 = 1.2410-5gcm-3，求：（1）氣體的方均根速率2v（2）氣體的摩爾質(zhì)量，并指出是什么氣體 解答（1）氣體的密度為 = 1.2410-2(kgm-3)，根據(jù)氣體壓強和能量的公式 213pv得氣體的方均根速度為 23 /vp= 491.87(ms-1) （2）根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程 MpVRT由于氣體密度為 = M/V，所以方程可變?yōu)?pRT氣體的摩爾質(zhì)量為 =

18、RT/p = 0.0283(kg)這種氣體是氮氣N2 3.當(dāng)溫度為0時，求：（1）N2分子的平均平動動能和平均轉(zhuǎn)動動能； （2）7gN2氣體的內(nèi)能 解答（1）N2分子有t = 3個平動自由度，其平均平動動能為 2ttwkT= 5.6510-21(J) 將N2分子當(dāng)作剛體，它就還有r = 2個轉(zhuǎn)動自由度，其平均轉(zhuǎn)動動能為 2rrwkT= 3.7710-21(J) （2）N2分子的摩爾質(zhì)量為 = 0.028kg，質(zhì)量M = 0.007kg的N2分子的摩爾數(shù)為n0 = M/ = 0.25，分子總數(shù)為N = n0NA，其中NA = 6.021023為阿佛伽德羅常數(shù)，而氣體普適常量R = kNA = 8.31(JK-1mol-1)N2分子的自由度為i = t + r = 5，氣體的內(nèi)能為00222AiiiENkTn N kTn RT= 1.417103(J) 4.4.一容器被中間隔板分成體積相等的兩半，一半裝有氦氣，溫度為250K；另一半裝有氧氣，溫度為310K兩種氣體的壓強均為p0求抽去隔板后的混合氣體溫度和壓強為多少？ 解答設(shè)氦氣和氧氣分子各有N1和N2個，氦氣是單原子分子，自由度為i1 = 3；氧氣是雙原子分子，自由度為i2 = 5隔板抽去前，氦氣和氧氣分子的總能量為 11112iEN kT22222iEN kT隔板抽去后，氦氣和氧氣分子的總能量為 121222iiEN