現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)

1、現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)西南大學(xué) 張廷艷專題1： 圖形1.圖形的定義及分類2.圖形的一般性質(zhì)3.圖形的組合問(wèn)題4.中學(xué)歐拉定理及推廣5.圖及應(yīng)用：回路和一筆畫問(wèn)題 一.圖形的定義及分類1.什么是圖形？ 1 1）點(diǎn)、線、面、體這些可幫助人們有效的刻畫錯(cuò)綜復(fù)雜的世界，它們都稱為幾何圖形（geometric figure）。從實(shí)物中抽象出的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形。有些幾何圖形的各部分不在同一平面內(nèi)，叫做立體圖形（solid figure）。有些幾何圖形的各部分都在同一平面內(nèi)，叫做平面圖形(Plane figure) 2 2） 幾何體的概念：幾何體的概念：幾何體簡(jiǎn)稱體，像正方體、球體、棱椎體等都是幾何體。包

2、圍著體的是面，面有平面和曲面兩種，面與面相交的地方形成線，線與線相交的地方叫做點(diǎn)。3 3）用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)理解點(diǎn)，線，面，體。點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。 一.圖形的定義及分類2.圖形的分類幾何圖形一般分為立體圖形和平面圖形1 1）立體幾何圖形）立體幾何圖形可以分為以下幾類：第一類：柱體；包括：圓柱和棱柱，棱柱又可分為直棱柱和斜棱柱，棱柱體按底面邊數(shù)的多少又可分為三棱柱、四棱柱、N棱柱；第二類：錐體；包括：圓錐體和棱錐體，棱錐分為三棱錐、四棱錐以及N棱錐；第三類：旋轉(zhuǎn)體：包括：圓柱；圓臺(tái)；圓錐；球；球冠；弓環(huán)；圓環(huán)；堤環(huán)；扇環(huán)；棗核形；第四類：截面體：包括：棱臺(tái)；圓臺(tái)；斜截圓柱；斜截棱柱；斜截

3、圓錐；球缺等一.圖形的定義及分類2.圖形的分類2 2）平面幾何圖形也可分為四類：）平面幾何圖形也可分為四類：1.圓形（包括正圓，橢圓）2.多邊形：三角形（分為一般三角形，直角三角形，等腰三角形，等邊三角形）、四邊形（分為不規(guī)則四邊形，梯形【分為直角梯形和等腰梯形】，平行四邊形，平行四邊形又分：矩形，菱形，正方形）、五邊形、六注：正方形既是矩形也是特殊的菱形。3.弓形（由直線和圓弧構(gòu)成的圖形，包括優(yōu)弧弓，劣弧弓，拋物線弓等）。4.多弧形（包括月牙形，谷粒形，太極形葫蘆形等）二.圖形的一般性質(zhì)1.圖形的性質(zhì)：在平面幾何中，一個(gè)長(zhǎng)方形G 具有以下性質(zhì)：p1對(duì)角線相等，四角相等(皆為直角)；p2對(duì)邊平

4、行，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分；p3邊界為首尾相連的四條線段；p4邊界封閉；p5單連通(中間沒(méi)有“洞”)p6維數(shù)為2二.圖形的一般性質(zhì)2.圖形的變換不變性：現(xiàn)對(duì)圖形G 進(jìn)行下列變換，看它的性質(zhì)有何變化：(1)運(yùn)動(dòng)(平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱)，性質(zhì)p1p6都不改變，故這些性質(zhì)都是運(yùn)動(dòng)不變性(2)仿射變換(平行投影到另一平面)，性質(zhì)p2p6仍然保持，性質(zhì)p1不再保持(3)射影變換(中心投影到另一平面)，性質(zhì)p3p6仍然保持，而性質(zhì)p1、p2不再保持(4)設(shè)想這個(gè)長(zhǎng)方形畫在一張橡皮薄膜上，橡皮膜不僅可以任意彎曲，而且可以在任意方向上伸縮如果拉動(dòng)像皮膜(只要不撕破)作為一種變換(橡皮變換)，那么，不僅p1、p2

5、不再保持，p3也不能保持，但是p4p6卻仍然不變 二.圖形的一般性質(zhì)2.圖形的變換不變性：總之，長(zhǎng)方形G 的性質(zhì)p1p6是運(yùn)動(dòng)不變性(或歐氏幾何性質(zhì))，p2p6是仿射不變性(或仿射性質(zhì))，p3p6是射影不變性(或射影性質(zhì)) ，p4p6是拓?fù)洳蛔冃?或拓?fù)湫再|(zhì))因此，所謂圖形的拓?fù)湫再|(zhì)，就是圖形經(jīng)過(guò)拓?fù)渥儞Q(如上述拉動(dòng)橡皮膜)而不改變的性質(zhì)圖形邊界的封閉性、內(nèi)部連通性、維數(shù)等，都是圖形的拓?fù)湫再|(zhì)圖形的拓?fù)湫再|(zhì)，是其最一般的本質(zhì)屬性故拓?fù)鋵W(xué)又叫“橡皮幾何學(xué)” 三.圖形的組合問(wèn)題1.組合論和組合幾何組合論的研究對(duì)象是有限集及其子集，其基本問(wèn)題主要有三個(gè)：(1)存在問(wèn)題有限集M 中具有某種性質(zhì)p 的子

6、集或元素是否存在？(2)計(jì)數(shù)問(wèn)題具有某種性質(zhì)p 的子集(或元素)如果存在，有多少個(gè)？或最多(少)有多少個(gè)？(3)優(yōu)化問(wèn)題在存在的子集中，找出符合某種附加條件(優(yōu)化條件)的子集(或元素)關(guān)于圖形的組合問(wèn)題，通常稱為組合幾何問(wèn)題，它經(jīng)常出現(xiàn)在中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽和其他數(shù)學(xué)活動(dòng)中，如凸集與凸包，覆蓋與剖分，圖形計(jì)數(shù)與集裝，地圖染色等三.圖形的組合問(wèn)題2凸集與凸包凸集：假設(shè)對(duì)任意兩點(diǎn)A，BM，都有 ，則這樣的平面或空間點(diǎn)集M 稱為凸集，通常所說(shuō)的平面凸多邊形、空間凸多面體，都是凸集，其他如半平面、半空間等也是凸集凸包：一個(gè)平面有限點(diǎn)集M，包含M 中所有點(diǎn)的最小的多邊形，稱為M利用凸包可以解決一些組合幾何問(wèn)題

7、三.圖形的組合問(wèn)題例1 平面上任意四點(diǎn)，若無(wú)三點(diǎn)共線，則在兩兩連線段中，至少有一條線段被另兩點(diǎn)所決定的直線交于內(nèi)點(diǎn) 界上，也只能在某一邊上因此可設(shè)D 點(diǎn)不在AB、AC 上，那么AD 所決定的直線一定交BC 于內(nèi)點(diǎn)三.圖形的組合問(wèn)題例2 平面上任給五點(diǎn)，無(wú)三點(diǎn)共線以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三角形(頂點(diǎn)三角形)中，至少有三個(gè)非銳角三角形 B 和C，則 ABC、BCD 為鈍角(非銳角)三角形又在四邊形ACDE 中至少有一個(gè)內(nèi)角為非銳角，例如D，則CDE 為非銳角三角形總共至少有三個(gè)非銳角三角形 四邊形ABCD 的內(nèi)角中至少有一個(gè)非銳角，決定一個(gè)非銳角頂點(diǎn)三角形AEB、BEC、CED 和DEA 中至少有一個(gè)非銳角

8、，又決定一個(gè)非銳角頂點(diǎn)三角形，最后，AEC 和BED 中至少有一個(gè)是非銳角，再?zèng)Q定一個(gè)非銳角頂點(diǎn)三角形 ADC、ADE 與CDE 中至少有兩個(gè)非銳角，決定兩個(gè)非銳角頂點(diǎn)三角形 在AEB 與BEC 中至少有一個(gè)非銳角，又決定一個(gè)非銳角頂點(diǎn)三角形 三.圖形的組合問(wèn)題3.圖形的優(yōu)化組合將有限集元素按某種要求或狀態(tài)安排的問(wèn)題，是存在性問(wèn)題的特例；往往要具體給出一種安排(構(gòu)造)合理安排又與優(yōu)化問(wèn)題相關(guān)：從滿足一般狀態(tài)的安排中，找出符合某種附加條件的優(yōu)化組合例3 在半徑為2 的圓內(nèi)，不重疊地放置邊長(zhǎng)為1 的正方形，問(wèn)最多能放幾個(gè)？ 解 ：如圖621，疊放8 個(gè)單位正方形，證明它們能包含在一個(gè)半徑為2 的圓

9、內(nèi)作四邊形(梯形)ABCD 的外接圓，O 為圓心，證明OEOA=OD2設(shè)OH=x，則OG=3-x，從而四.中學(xué)歐拉定理及推廣1.中學(xué)歐拉定理： 任意凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E 和面數(shù)F，滿足(歐拉公式) V-EF=2 (1)（ 數(shù)）事實(shí)上，歐拉公式不僅對(duì)凸多面體成立，對(duì)如圖610(a)、(b)這樣的非凸多面體也成立因此，歐拉公式的適用范圍可以擴(kuò)大 四.中學(xué)歐拉定理及推廣歐拉公式只涉及多面體表面頂點(diǎn)、棱和面的數(shù)目，而與多面體內(nèi)部無(wú)關(guān)，因此，可以就多面體的表面閉多面形，來(lái)討論歐拉公式的推廣一個(gè)閉多面形K，是指由有限個(gè)平面多邊形(凸的或非凸的)拼合成的圖形，滿足：(1)每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)，由一條棱或一條由棱

10、組成的折線連接；(2)每?jī)蓚€(gè)面，或者有一個(gè)公共棱，或者有一個(gè)公共頂點(diǎn)，或者沒(méi)有公共頂點(diǎn)；(3)每條棱是兩個(gè)面的公共邊；(4)每個(gè)頂點(diǎn)都是錐形頂點(diǎn) 四.中學(xué)歐拉定理及推廣2. =2是不是所有的多面形的示性數(shù)都是2 呢？ 如圖 圖611(a)的示性數(shù)為0，圖(b)的示性數(shù)為-23.歐拉定理推廣 每個(gè)能“繃”到帶n 個(gè)把的球面Pn上的閉多面形K的示性數(shù)是2-2n，即(n=0，1，2，)4.歐拉定理推廣 每個(gè)能“繃”在帶n 個(gè)“交叉帽”的球面Qn(n=1，2，)上的閉多面形的示性數(shù)為2-n綜上，任意閉多面形的示性數(shù)不超過(guò)2，示性數(shù)是閉多面形的分類標(biāo)志五.圖及應(yīng)用：回路和一筆畫問(wèn)題1什么是圖由若干個(gè)點(diǎn)及

11、連接其中某些點(diǎn)對(duì)的線(可以是直線，也可以是曲線)組成的有限圖形，叫做圖，其中點(diǎn)稱為頂點(diǎn)，線稱為邊圖可以是平面的，也可以是空間的一個(gè)立方體，若只著眼于它的頂點(diǎn)和邊的話，它就是一個(gè)圖三維空間的圖，如圖623(a)，假如它的邊是橡皮筋做的，拉開一個(gè)面，再將它壓到底面上，就得到一個(gè)平面的圖，如圖623(b)五.圖及應(yīng)用：回路和一筆畫問(wèn)題2圖的應(yīng)用：哥尼斯堡七橋問(wèn)題例4 (七橋問(wèn)題)帕瑞格河從哥尼斯堡(現(xiàn)屬俄羅斯)城中流過(guò)， 河中有兩個(gè)島A、C，河上共有七座橋(如圖624 所示)現(xiàn)問(wèn)：一個(gè)人能否一次走過(guò)七座橋，而每座橋只走一次？如果能夠辦到，那么他能否仍舊回到原來(lái)的出發(fā)地？問(wèn)題轉(zhuǎn)化：這個(gè)圖能否一筆畫成，

12、 而每條線只畫一次？如能一筆畫成，終點(diǎn)能否與起點(diǎn)重合？五.圖及應(yīng)用：回路和一筆畫問(wèn)題3圖的應(yīng)用：回路和一筆畫設(shè)圖G=(V，E)的一部分頂點(diǎn)和邊組成圖G=(V，E)，圖G=(V，E)中共有一個(gè)頂點(diǎn)的邊，稱為鄰邊，同一邊的兩個(gè)頂路，或鏈若一條鏈的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，則稱為回路特別地，若回路G=G，則稱G 為歐拉回路；若鏈G=G，則稱G 為歐拉鏈歐拉圖判定準(zhǔn)則 ：一個(gè)連通圖是歐拉鏈的充要條件是，它的奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2 或0；當(dāng)且僅當(dāng)奇頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0(即沒(méi)有奇頂點(diǎn))時(shí)，它是歐拉回路 ？五.圖及應(yīng)用：回路和一筆畫問(wèn)題由此得到一筆畫的準(zhǔn)則：由此得到一筆畫的準(zhǔn)則：凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時(shí)可以

13、把任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫成。畫時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)。其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點(diǎn)數(shù)除以二便可算出此圖需幾筆畫成。) ？五.圖及應(yīng)用：回路和一筆畫問(wèn)題思考題：思考題： 在圓周上有n 個(gè)點(diǎn)(n2)，每?jī)牲c(diǎn)連成一條線段，能否一筆畫出所有線段？ ？專題2：數(shù)列中學(xué)數(shù)列的常見(jiàn)問(wèn)題：中學(xué)數(shù)列的常見(jiàn)問(wèn)題：1.對(duì)任意寫出的k 個(gè)實(shí)數(shù)值a1，a2，ak，是否都存在通項(xiàng)公式f(n)，使對(duì)前k 項(xiàng)，恰好有f(n)an(n=1，2，k)？其次，如果該數(shù)列有通項(xiàng)公式存在，通項(xiàng)公式是否唯一？2.求線性遞歸數(shù)列的通項(xiàng)

14、3.數(shù)列的差分與簡(jiǎn)單的差分方程 ？一、數(shù)列及通項(xiàng)公式在中學(xué)課本里，為了培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和歸納能力，常給出數(shù)列的前幾項(xiàng)，要求學(xué)生觀察出數(shù)列的通項(xiàng)公式但是，數(shù)列有無(wú)窮多項(xiàng)，僅僅知道它的前若干項(xiàng)的值是不能唯一確定一個(gè)數(shù)列的所謂用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，指的是由數(shù)列的前有限項(xiàng)所揭示的某些比較淺顯的規(guī)律，去猜測(cè)它的一個(gè)通項(xiàng)公式例： 已知數(shù)列an的前3 項(xiàng)為2，4，6，試寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式 ？二、線性遞歸數(shù)列1一階線性非齊次遞歸數(shù)列：若數(shù)列an滿足遞歸方程an+1panb (p0，b0，nN) (6)則稱an為一階線性非齊次方程方程(6)可寫成 an+1-=p(an-) 數(shù)列an是公比為p 的等比數(shù)列，故有an(a1-)pn-1 ？二、線性遞歸數(shù)列二、線性遞歸數(shù)列2二階線性齊次遞歸數(shù)列：若數(shù)列an滿足遞歸方程an2=p1an1p2an， nN (8)(其中p1，p2是常數(shù)，p20)，則稱an為二階線性(齊次)遞歸數(shù)列當(dāng)已知它的第一項(xiàng)a1與第二項(xiàng)a2時(shí)，可以求出它的通項(xiàng)公式二次方程r2p1rp2稱為線性遞歸方程(8)的