1.2高等數(shù)學(xué)ppt課件

1、第十一章第十一章積分學(xué)積分學(xué) 定積分二重積分三重積分定積分二重積分三重積分積分域積分域 區(qū)間域區(qū)間域 平面域平面域 空間域空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 2022-5-52第一節(jié)第一節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一一 問題的提出問題的提出二二 對弧長曲線積分的概念對弧長曲線積分的概念三三 對弧長曲線積分的計算對弧長曲線積分的計算四四 幾何意義幾何意義五五 小結(jié)與

2、思考判斷題小結(jié)與思考判斷題一、問題的提出實例實例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取極限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精確值精確值二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘積作乘積點點個小段上任意取定的一個小段上任意取定的一為第為第又又個

3、小段的長度為個小段的長度為設(shè)第設(shè)第個小段個小段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧為為設(shè)設(shè)1.定義定義oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即記記作作線線積積分分第第一一類類曲曲上上對對弧弧長長的的曲曲線線積積分分或或在在曲曲線線弧弧則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)這這和和的的極極限限存存在在時時長長度度的的最最大大值值如如果果當當各各小小弧弧段段的的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),

4、( LdsyxM 2.存在條件：存在條件：.),(,),(存在存在對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當 LdsyxfLyxf3.推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對弧長的上對弧長的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是是分分段段光光滑滑的的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲曲線線積積分分記記為為上上對對弧弧長長的的在在閉閉曲曲線線函函數(shù)數(shù)4.性質(zhì)性質(zhì) .),(),()

5、,(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為為常常數(shù)數(shù)kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL LLLLdsyxfdsyxfdsyxgdsyxfyxgyxf),(),(),(),(),(),()4(特別地，有則若abbadxxfdxxf)()( 因為因為:定義中的定義中的ds對應(yīng)于對應(yīng)于Si,是每個小弧段的長度是每個小弧段的長度,與弧段的定向無關(guān)與弧段的定向無關(guān).注意這一性質(zhì)和定積分不同注意這一性質(zhì)和定積分不同.BAABdsyxfdsyxf),(),(（5對弧長的曲線積分與曲線

6、的方向無關(guān)對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān)三、對弧長曲線積分的計算三、對弧長曲線積分的計算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在在其中其中的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上有定義且連續(xù)上有定義且連續(xù)在曲線弧在曲線弧設(shè)設(shè)注意注意: :;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定積積分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有關(guān)關(guān)的的不不彼彼此此獨獨立立中中yxyxf3. 3. 注意到注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22因此上述計算公式相當于因此上述計算

7、公式相當于“換元法換元法”. . .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 22)()( dydxds 則則 d)()(22 ,C)( )()( )3(,1，：若、L)()(),(),( dsyxfdsyxfL .)()()sin)(,cos)(22 df )().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf推廣推廣:利用奇偶性和對稱性利用奇偶性和對稱性112,0 ,LLLyf

8、x y dsf x yxf x y dsf x yxLLy若積分曲線 關(guān)于 軸對稱， 當關(guān)于 為偶函數(shù)當關(guān)于 為奇函數(shù)其中 為 在 軸右側(cè)的部分112,0 ,LLLxf x y dsf x yf x y dsf x yyLLx若積分曲線 關(guān)于 軸對稱， 當關(guān)于y為偶函數(shù)當關(guān)于 為奇函數(shù)其中 為 在 軸上側(cè)的部分1 23ds畫出積分路徑的圖形； 把積分路徑的參數(shù)表達式計算對弧寫出來； 將寫長的曲線積分一般分為成參變量的微分式，并如下幾個步驟：計算原積分。,LLLxyf x y dsfy x ds若積分曲線 的方程中 和 對調(diào)方程不變，則例例1).(,sin,cos:,象限象限第第橢圓橢圓求求 t

9、bytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 2022-5-517例例2.) 1 , 1 ()0 , 0(,:,2一段到從其中求xyLdsyIL解解dxxxI)(12102 . 10:2 xxyLdxxx21041 )155(121 例例3.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到從從其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例4)20(.,sin,cos:,

10、 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I2022-5-519例例5 . 0,22222zyxazyxdsxI為圓周為圓周其中其中求求解解 由對稱性由對稱性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圓周長球面大圓周長 dsa四、幾何與物理意義,),()1(的的線線密密度度時時表表示示當當Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧長長時時當當,),(),()3(處處的的高高時時柱柱面面在在點點上上的的表表示示立立于于當當yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面積積sL),(yxfz 五、小結(jié)1 1、對弧長曲線積分的概