初等幾何研究教學(xué)大綱

1、初等幾何研究課程教學(xué)大綱課程代碼：適用專業(yè)：數(shù)學(xué)教育專業(yè)總學(xué)時(shí)數(shù)：54學(xué)時(shí)學(xué)分：3分理論學(xué)時(shí)：36學(xué)時(shí)實(shí)踐學(xué)時(shí)：18編制單位（或執(zhí)筆者）：數(shù)計(jì)系數(shù)學(xué)教育教研室和玉梅編制時(shí)間：2016年12月（一）課程性質(zhì)初等幾何研究是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)方向模塊課程。高校數(shù)學(xué)學(xué)生僅僅具備中學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)所涉及的知識(shí)，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。為了更好地掌握并處理中學(xué)數(shù)學(xué)教材，還必須明確中學(xué)幾何中的一些數(shù)學(xué)概念的精確定義，對(duì)未作證明或者證明不完整的數(shù)學(xué)命題給出嚴(yán)格的證明，并了解一些廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法的理論依據(jù)。本課程與中學(xué)數(shù)學(xué)緊密相關(guān)，并與高等數(shù)學(xué)有一定的聯(lián)系，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)可以深化對(duì)初等數(shù)學(xué)的理解和掌握。本課程的先修課程是數(shù)

2、學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何；后續(xù)課程是競(jìng)賽數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史等。（二）課程目的本課程的教學(xué)目的是使學(xué)生掌握基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程中幾何知識(shí)的基礎(chǔ)理論、基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；了解的內(nèi)容和知識(shí)結(jié)構(gòu)；以較高的觀點(diǎn)來(lái)審視初等幾何中的相關(guān)內(nèi)容，并對(duì)它們做出進(jìn)一步的探討和研究；在數(shù)學(xué)思想上得到啟發(fā)，在數(shù)學(xué)方法上得到訓(xùn)練，為從事基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)打下較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握如何結(jié)合中學(xué)的實(shí)際，運(yùn)用中學(xué)生可以接受的方法，特別是運(yùn)用初等的方法來(lái)處理初等幾何的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，為基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)類奠定基礎(chǔ)。（三）課程內(nèi)容與基本要求從中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)需要出發(fā)，并根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容和知識(shí)結(jié)構(gòu)，

3、把初等幾何基本問(wèn)題分別組成若干專題，在內(nèi)容上適當(dāng)延伸和充實(shí)，主要講授初等幾何的邏輯知識(shí)、證題方法、幾何變換、軌跡與作圖、立體幾何。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握幾類常用的證明方法，了解初等變換并掌握其應(yīng)用。掌握軌跡的概念及常見(jiàn)兩類軌跡的求法，掌握幾何作圖的基本知識(shí)并能解決常見(jiàn)作圖問(wèn)題。培養(yǎng)獨(dú)立工作能力，提高思維能力。使學(xué)生了解初等幾何知識(shí)的有關(guān)歷史背景，探討一些數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生背景以及在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何因材施教，為從事基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)打下較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。（四）教學(xué)時(shí)數(shù)分配課程總學(xué)時(shí)54,課程學(xué)時(shí)安排如下:序號(hào)教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)分配1緒論12第一章1證題法與證題術(shù)173第一章2初等幾何變換64第一章

4、3度品與計(jì)算65第二章軌跡66第三章作圖67第四章立體幾何12合計(jì)54（五）教學(xué)方式：主要以課堂講授為主，自學(xué)、討論為輔。整個(gè)教學(xué)過(guò)程由理論講授、課外作業(yè)和自學(xué)三個(gè)環(huán)節(jié)組成。（六）教學(xué)內(nèi)容及其目的、要求、任務(wù)緒論教學(xué)要點(diǎn)與要求：教學(xué)要點(diǎn)1 .初等幾何研究的對(duì)象和目的。2 .中學(xué)幾何的邏輯結(jié)構(gòu)。教學(xué)要求明確課程性質(zhì)要求，明確基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程中幾何的基本內(nèi)容，課程目標(biāo)等以及中學(xué)幾何的邏輯結(jié)構(gòu)。重點(diǎn)：中學(xué)幾何的邏輯結(jié)構(gòu)。難點(diǎn)：熟悉中學(xué)幾何的邏輯結(jié)構(gòu)。第一章1證題法與證題術(shù)教學(xué)要求：正確理解證題通法（一般方法），熟悉直接證法與間接證法、綜合法與分析法、演繹法與歸納法；掌握分專題討論的證題術(shù)，關(guān)于相等問(wèn)

5、題，和差倍分與定值問(wèn)題，不等、垂直與平行、共線點(diǎn)、共點(diǎn)線、共圓點(diǎn)、共點(diǎn)圓等問(wèn)題的證題方法技巧；理解嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明的重要性。重點(diǎn)：對(duì)證題通法的正確理解，對(duì)分專題討論的證題術(shù)的掌握。難點(diǎn)：對(duì)證題通法的深刻理解，對(duì)具體證題術(shù)的靈活運(yùn)用。教學(xué)要點(diǎn)（知識(shí)點(diǎn)）：1 .證題通法：命題的形式；直接證法與間接正法；綜合法與分析法；演繹法與歸納法。2 .證題術(shù)：線段相等與角相等的證法；和差倍分與定值問(wèn)題的證法；不等問(wèn)題的證法；垂直線與平行線的證法；共線點(diǎn)與共點(diǎn)線的證法；共圓點(diǎn)與共點(diǎn)圓的證法。學(xué)時(shí)：16學(xué)時(shí)第一章2、初等幾何變換教學(xué)要求：正確理解初等幾何變換的地位和作用；恰當(dāng)運(yùn)用對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似等變換，將圖形

6、的某些部分轉(zhuǎn)移到適當(dāng)?shù)奈恢?，將分散的條件聚攏，化難為易，發(fā)現(xiàn)解題途徑；進(jìn)一步熟悉利用幾何變換解題的方法、深化有用的技巧，舉一反三，開(kāi)闊思路。重點(diǎn)：初等幾何變換及其性質(zhì)、托雷密定理難點(diǎn)：初等幾何變換的靈活應(yīng)用教學(xué)要點(diǎn)（知識(shí)點(diǎn)）：1 .圖形的相等或合同的概念；2 .平移和旋轉(zhuǎn)變換；3 .軸反射或軸對(duì)稱變換；4 .合同（正交）變換；5 .相似或位似變換；6 .初等幾何變換的應(yīng)用。學(xué)時(shí)：6學(xué)時(shí)第1章3、度量與計(jì)算教學(xué)要求：正確理解線段、面積、體積的度量；熟練掌握三角形中重要線段與圓內(nèi)接四邊形面積的計(jì)算，極大極小問(wèn)題的計(jì)算；重視各種幾何量的計(jì)算。重點(diǎn)：三角形中一些線段的計(jì)算，計(jì)算應(yīng)用題。難點(diǎn)：應(yīng)用計(jì)算問(wèn)

7、題的幾何特征的把握與處理。教學(xué)要點(diǎn)（知識(shí)點(diǎn)）：1 .線段的度量；2 .關(guān)于成比例的量的證明；3 .面積的概念；4 .三角形中一些線段的計(jì)算；5 .圓內(nèi)接四邊形面積的計(jì)算；6 .極大極小方面的計(jì)算問(wèn)題。學(xué)時(shí)：6學(xué)時(shí)第二章軌跡教學(xué)要求:正確理解九個(gè)基本軌跡，掌握三類軌跡命題；熟悉軌跡問(wèn)題的探求，證明和討論；重視軌跡命題的兩面證明，加深對(duì)初等幾何的理解；加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的全面觀察和分析問(wèn)題的能力的培養(yǎng)。重點(diǎn)：九個(gè)基本軌跡，三類軌跡命題的正確理解和應(yīng)用。難點(diǎn)：三類軌跡命題的靈活運(yùn)用，軌跡的證明與討論教學(xué)要點(diǎn)（知識(shí)點(diǎn)）：1 .軌跡的意義，軌跡命題的三種類型；2 .基本軌跡命題；3 .第一類型軌跡命題舉例；4

8、.第二類型軌跡命題舉例；5 .第三類型軌跡命題舉例、軌跡探求法。6 .軌跡命題兩面證明的回顧。學(xué)時(shí)：6學(xué)時(shí)第三章作圖教學(xué)要求：正確理解初等幾何作圖的意義和作用；掌握常用作圖問(wèn)題的探求、作法、證明、討論；培養(yǎng)學(xué)生全面觀察和分析問(wèn)題的能力；加深對(duì)初等幾何各部分的理解。重點(diǎn)：常用作圖的探求和作法與討論，用幾何變換解作圖問(wèn)題。難點(diǎn)：作圖問(wèn)題的證明和討論教學(xué)要點(diǎn)（知識(shí)點(diǎn)）：1 .幾何作圖問(wèn)題的意義與作用，尺規(guī)作圖，定位作圖與不定位作圖；2 .基本作圖問(wèn)題，解作圖題的步驟；3 .軌跡交截法與三角形奠基法；4 .應(yīng)用合同（正交）變換解作圖問(wèn)題，位似變換的應(yīng)用；5 .代數(shù)分析法，等分圓周；6 .尺規(guī)作圖不能解

9、決的問(wèn)題。學(xué)時(shí)：6學(xué)時(shí)第四章立體幾何教學(xué)要求：理解點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，正射影與平行射影、二面角、異面直線的公垂線、多面體的基本知識(shí)；利用空間物體圖形的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀察能力、空間想象能力、空間分析能力、空間轉(zhuǎn)化能力、空間表現(xiàn)能力、發(fā)展邏輯思維、解決實(shí)際問(wèn)題。重點(diǎn)：點(diǎn)線面的位置關(guān)系、三垂線定理、公垂線、歐拉定理。難點(diǎn)：將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題而加以解決。教學(xué)要點(diǎn)（知識(shí)點(diǎn)）：1 .點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面、直線與平面、兩直線、兩平面之間的位置關(guān)系；2 .正射影與平行射影，三垂線定理及逆定理；3 .二面角、垂直平面、異面直線的公垂線；4 .多面體、截面畫(huà)法，凸多面體的歐拉定理，正多面體。學(xué)

10、時(shí)：5學(xué)時(shí)（七）考核方式及其要求1 .考試形式及時(shí)間考試形式：考試；考試時(shí)間：120分鐘2 .考試題型及比例：題型：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題、填空題、簡(jiǎn)答題、計(jì)算題、證明題、作圖題、綜合應(yīng)用題等。各題型的分值約為：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題為10分一15分；填空題為10分一15分；簡(jiǎn)答題為10分一20分；計(jì)算題10分一30分；證明題為10分一20分；作圖題為10-15分；綜合應(yīng)用題為10分一20分。3 .認(rèn)知層次及比例：認(rèn)知層次包括識(shí)記、理解、簡(jiǎn)單應(yīng)用、綜合應(yīng)用。其中各認(rèn)知層次比例為：識(shí)記：理解：簡(jiǎn)單應(yīng)用：綜合應(yīng)用=3:3:3:1或2:3:3:2。4 .課程綜合評(píng)定辦法：課程考核成績(jī)由平時(shí)成績(jī)和期末理論考試成績(jī)共同評(píng)定，其

11、中期末理論考試采用閉卷方式考核。采用平時(shí)成績(jī)占本課程總成績(jī)30%期末理論成績(jī)占本課程總成績(jī)的70%（八）、課程實(shí)踐環(huán)節(jié)及基本要求1 .配合課堂教學(xué)，學(xué)生必須完成一定量的作業(yè)，進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)初等幾何理論的理解和解題方法的掌握。2 .學(xué)生必須按時(shí)完成作業(yè)，交給任課教師批改。（九）、教材與參考書(shū)教材：朱德祥、朱維宗編.初等幾何研究.高等教育出版社參考書(shū)：1、歐幾里得著，幾何原本.陜西科技出版社，2005年9月第2版第3次印刷。2、張奠宙、沈文選主編.中學(xué)幾何研究M,北京：高等教育出版社，2006年第1版3、木振武、楊蘭軍主編.初等數(shù)學(xué)研究M.云南人民出版社，2009年第1版，4、葛軍，涂榮豹主編。初等數(shù)學(xué)研究教程M、江蘇人民出版社，20095、中小學(xué)數(shù)學(xué)課本6、中考、高考數(shù)學(xué)試卷附：教學(xué)方法建議在要求學(xué)生掌握有關(guān)知識(shí)和解題方法的同時(shí)，還要注重讓學(xué)生理解解題的方法理論依據(jù)。在進(jìn)行專題討論時(shí)，既要注重知識(shí)面的拓廣和內(nèi)容的加深，也要注意進(jìn)行歸納、整理。要正確處理好綜合歸納與專題深入討論、研究的矛盾，原則是：一般綜合歸納以“粗”、“快”為宜，專題討論則以“細(xì)”、“深”為好。在初等幾何證明的教學(xué)中，首先要通過(guò)典型例