三年高考(2017-2019)理數(shù)真題分項(xiàng)版解析——專題12數(shù)列(解析版)

1、2.3.專題12 數(shù)列【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知S4 = 0, a5=5,則A. an =2n -5B. an =3n -10212_C. Sn = 2n 8nD. Sn= -n -2n2【答案】Ac d dS4 = 4al43=01a1-32【解析】由題知，22，解得W ,，an=2n_5, &=n4n,故選a.d =2 a5 = a14d = 5【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng).利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，再適當(dāng)計(jì)算即可做 了判斷.【201

2、9年高考全國(guó)III卷理數(shù)】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列Mn）的前4項(xiàng)和為15,且a5 = 3a3+4a ,則a3A. 16C. 4B. 8D. 2& 十 &。十&。2+&。3=15【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q,則4 y ； Mq =3aq 4ala1 二 1,2解得 :a§ =aq 4 故選C.q=2【名師點(diǎn)睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵【2019年高考浙江卷】設(shè) a, bCR,數(shù)列an滿足a=a, an+1 = an2+b, ne N沖，則1”A. zb b ,a10A1021”B.當(dāng) b,a10>104

3、C.當(dāng) b = -2, a10 >10D.當(dāng) b = -4,a10 A10【答案】A【解析】當(dāng)b=0時(shí)，取a=0,則an = 0, n乏N當(dāng) b<0時(shí)，令 x=x2 +b ,即 x2 x+b =0 .2.則該方程 =1 一4b >0,即必存在x0,使得x0 一x0 + b = 0 ,2則一th存在 a1=a=x0,使得an甲=an +b =an對(duì)任息nw N 成立,解方程a2 a +b = 0 ,/曰 1-T4b得a二當(dāng)1處而M10時(shí),即b一一90時(shí),總存在aJib=裕 <10,故C、D兩項(xiàng)均不正確.當(dāng) b >0時(shí)，a2 =a2 +b 之b ,則 a3 =a| +

4、b 2 b2 +b ,a4 = a； bb2 b b .，.、“1/1(i)當(dāng)b =一時(shí)，a4至I 2112117d . 1+T = >1,a5>1+-,2 16211 11則a61十1 + 1 = 1132,224a7 H92 2a8/9 12 183I - +- = >10 ,22421 一則 a9 =a8 + >10 , 221a10 = a9 + a 10 ,2故A項(xiàng)正確.1(11)當(dāng) b=一時(shí)，令 a1=a=0, 4則a211 2:4©二 44 2所以a4=a2+1<(1 1=,以此類推,43 4242211+ =一,4 2所以 a10 = a

5、；十一<一 1109 42故B項(xiàng)不正確.故本題正確答案為 A.【名師點(diǎn)睛】遇到此類問(wèn)題，不少考生會(huì)一籌莫展 利用函數(shù)方程思想，通過(guò)研究函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)一步討論a的可能取值，利用 排除法”求解.4.【2018年高考全國(guó)I卷理數(shù)】設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前 n項(xiàng)和，若 3s3 =S2+S4，a1 = 2,則 a5 =B. -10D. 12A. -12C. 10【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為 d ,根據(jù)題中的條件可得 3'3M2+3dl=2M2 + d+4M2+±d,22整理解得 d = 3,所以 a5=a1 +4d =212 = 10,故選 B.【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)等差數(shù)

6、列的求和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，在解題的過(guò)程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差d的值，之后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到a5與a1,d的關(guān)系，從而求得結(jié)果.5.【2018年高考浙江卷】已知 口且2,生e4成等比數(shù)列，且 口+a2+a3+a4=ln(a +a?+a3).若a1>1,則A. a <a3,a2B. a Aa3,a2 <a4C. a <a3,a? AadD. a1>a3,a2 >a4【答案】B1.【解析】令 f (x) = xlnx1,則 f '(x) = 1 ，令 f (x)=0，得 x = 1 ,所以當(dāng) x>1 時(shí)，

7、f (x)>0, x當(dāng) 0<x<1 時(shí)，f'(x)<0,因此 f (x)之 f (1 )=0" xlnx + 1.若公比 q >0 ,則 a1 +a2 +a3 +a4 >a1 +a2 +a3 > ln(a1 +a2 + a3 ),不合題意；若公比 q W1 ,則 a1 +a2 +a3 +a4 =a1 (1 +q。+q2 產(chǎn)0,但I(xiàn)n (a1+a2+a3 )=lna1 (1+q+q2> Ina1A0 ,即 a14a2b3+a4W 由ha1+a2+a3)，不合題意；222因此 T <q <0,q 匚（0,1）,，a1 &

8、gt;aq =a3,a2 <a2q =a4<0,故選 b.如【名師點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)對(duì)不等式進(jìn)行放縮，進(jìn)而限制參數(shù)取值范圍，是一個(gè)有效方法x _ lnx 1,ex _ x 1,ex _ x2 1 x _ 0 .6.【2017年高考全國(guó)I卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4+a5=24, $6=48,則烝的 公差為A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】設(shè)公差為 d , a4+a5 = a1+3d+a1+4d = 2a1+7d = 24 ,6 528 7d =24,.S6 =6a1 + Jd =6a1 +15d =48 ,聯(lián)立 1，解得 d = 4,故選 C.6 &#

9、39;2'6a 15d =48【秒殺解】因?yàn)?S6 = 6(a1一) = 3(a3 +a4) = 48 ,即 a3 + a4 = 16 , 2則(a4 +a5)(a3+a4)=2416=8,即 a5 -a3 =2d =8,解得 d=4,故選 C.【名師點(diǎn)睛】求解等差數(shù)列基本量問(wèn)題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如an為等差數(shù)列，若m+n = p+q ,貝U am +an =ap +aq.7 .【2017年高考全國(guó)I卷理數(shù)】幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,

10、 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2,4,8, 1,2,4,8,16,，其中第一項(xiàng)是2°,接下來(lái)的兩項(xiàng)是2°, 21,再接下來(lái)的三項(xiàng)是 2°, 21, 22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù) N: N>100且該數(shù)列的前N 項(xiàng)和為2的整數(shù)哥.那么該款軟件的激活碼是A. 440B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】由題意得，數(shù)列如下：1, 1,2, 1,2,4, III 1,2,4,111,2k4III則該數(shù)列的前1+2 +川+k = k(k +1)項(xiàng)和為川十卜+(1+2)+川+(1+2+川+七一2,要彳吏k(k +1) >100

11、,有k.4,此時(shí)k+2<2k*,所以k+2是第k+1組等比數(shù)列1,2,111,2k的部分 2和，設(shè) k +2 =1 +2 +|+2t=2t 1 , 所以 k =2t _3 >14 ,則 t 至5 ,此時(shí) k =25 3 = 29 , 2930所以對(duì)應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)N =+5=440 ,故選A.2【名師點(diǎn)睛】本題非常巧妙地將實(shí)際問(wèn)題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外，本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個(gè)數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.8.【2017年高考全

12、國(guó)II卷理數(shù)】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2倍，則塔的頂層共有燈A. 1盞B. 3盞C. 5盞D. 9盞【答案】B【解析】設(shè)塔的頂層共有燈 X盞，則各層的燈數(shù)卞成一個(gè)首項(xiàng)為X,公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有 x(1-2 ) =381,解得x = 3,即塔的頂層共有燈 3盞，故選B.1 -2【名師點(diǎn)睛】用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型一一數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時(shí)要明確目標(biāo)，即

13、搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問(wèn)題， 所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問(wèn)題、解不等式問(wèn)題、還是最值問(wèn)題，然后將經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果 放回到實(shí)際問(wèn)題中，進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論.9 .【2017年高考全國(guó)III卷理數(shù)】等差數(shù)列 Gn的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2, a3, a6成等比數(shù)列，則an) 前6項(xiàng)的和為A. 24B. 3C. 3D. 8【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列an 的公差為d ,由a2 , a3 , a6成等比數(shù)列可得a； = a2 a6,即（1+2d 2 =（ 1yX 1十日），整理可得d2 +2d = 0 ,又公差不為0 ,則d = 2 ,故an前6項(xiàng)的和為S6 =6a16 6

14、-1d =6 16 6 -12父(2 )=24 .故選 A.【名師點(diǎn)睛】（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量 a1，an, d, n,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題 （2）數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而 a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量， 用它們表示已知和未知是常用方法 .10 .【2017年高考浙江卷】已知等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“ d>0”是“S4 + &>2S5”的A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由 S4 +S6 -2S5

15、 =10a1 +21d -2(5a1 +10d) = d ,可知當(dāng) d >0時(shí)，有 S4 + S6 -2S5 >0 ,即S4 +S6 >2S5 ,反之，若 S4 +S6 A2S5 ,則 d >0,所以 d>0”是 S4 + S6>2S5”的充要條件，選 C.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式，通過(guò)套入公式與簡(jiǎn)單運(yùn)算， 可知S4+& - 2S5 = d ,結(jié)合充分必要性的判斷，若pn q ,則p是q的充分條件，若 pu q ,則p是q的必要條件，該題d A0"u 'S4 +S6 -2S5 >0"，故互為充要條

16、件.12r ,11 .【2019年局考全國(guó)I卷理數(shù)】記Sn為等比數(shù)列an的刖n項(xiàng)和.右a =一，a4 = a6 ,則&二3121【答案】3一 ，1 3、2= a6,所以(-q ) 31 5=-q，又q=0,12【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為 q ,由已知a1 =,a42 3所以q =3,所以a1(1-q5) 3(1一3) 121 .S5 1 -q 1-33【名師點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問(wèn)題的基本要求.本題由于涉及騫的乘方運(yùn)算、繁分式的計(jì)算,部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.12.【2019年高考全國(guó)III卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，3W0,a? = 3a1，則SioS5【答案】4【解析

17、】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因 a? =3a1,所以 ai +d =3a，即 2a = d ,LSI0所以2°S5100&25a1s 10 9,10al d5al2【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答案.13 .【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a2=-3,&=-10,則a5=,&的最小值為.【答案】0, -10.【解析】等差數(shù)列a中，S5=5a3=10，得a3 = 2，又a2 = 3，所以公差d =a3 -a2 =1,a5 =a3 +2d =0 ,由等差數(shù)列劣的性質(zhì)得nW5時(shí)

18、,an W0,n±6時(shí),an大于0,所以Sn的最小值為S4或S5,即為10.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式？求和公式？等差數(shù)列的性質(zhì)，難度不大，注重重要知識(shí)？基礎(chǔ)知識(shí)？基本運(yùn)算能力的考查.*、14 .【2019年高考江蘇卷】已知數(shù)列 an( n N )是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.若a2a5 + a8 = 0,4 = 27 ,則S8的值是.【答案】16a2a5 % "a d & 4da 7d ) = 0【解析】由題意可得：99X8,S9 = 9a1 d =27一a1 - -5 -8 7解得：1 ，則 S8=8a+d =-40 +282=16.d =2812【

19、名師點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計(jì)算問(wèn)題，是高考必考內(nèi)容，解題過(guò)程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組）,如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建 ai, d的方程組.15 .【2018年高考全國(guó)I卷理數(shù)】記 &為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若 &=2an+1,則S6 =.【答案】-63【解析】根據(jù)Sn =2an +1,可得Sn4=2an書+1，兩式相減得an書=2an書2an ,即an書=2an ,當(dāng)n = 1時(shí)，S1 =a1 =2a1 +1,解得a1=1,所以數(shù)列an是以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以-1 -2S6=-63,故答案是-63.1 -2【名師點(diǎn)

20、睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個(gè)式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令n =1 ,求得數(shù)列的首項(xiàng)，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對(duì)既有項(xiàng)又有和的式子的 變形方向即可得結(jié)果.16 .【2018年高考北京卷理數(shù)】 設(shè)an是等差數(shù)列，且a1=3, a2+a5=36,則an的通項(xiàng)公式為 【答案】an=6n-3【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為 d，':a1 =3,二 3 + d+3+4d =36,二 d =6,二 an = 3 + 6（n 1 ）= 6n 3.【名師點(diǎn)睛】先根據(jù)條件列出關(guān)于公

21、差的方程，求出公差后， 代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)， 有兩個(gè)處理思路，一是利用基本量，將多元問(wèn)題簡(jiǎn)化為首項(xiàng)與公差（公比）問(wèn)題，雖有一定量的運(yùn)算，但思路簡(jiǎn)潔，目標(biāo)明確；二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用17 .【2018年高考江蘇卷】已知集合A=x|x = 2n1,nwN *, B=x|x=2n,nwN *.將AU B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an.記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則使得Sn >12an書成立的n的最小值為.【答案】27【解析】所有的正奇數(shù)和 2

22、n （n乏N” ）按照從小到大的順序排列構(gòu)成 an,在數(shù)列|an中，25前面有1656個(gè)正奇數(shù)，即a21 =2自8 =2 .當(dāng)n=1時(shí)，S =1 <12a2 =24 ,不符合題意；當(dāng)n=2時(shí)，S2 =3 <12a3 =36 ,不符合題意；當(dāng)n=3時(shí)，S3 = 6 <12a4 = 48 ,不符合題意；當(dāng)n=4時(shí)，S4 =10<12a5=60, 不 符 合 題 意當(dāng) n=26 時(shí)521 (1 41) 2 1-2S26 =-+/ = 441+62=503<12a27=516 ，21 -2不符合題意；當(dāng)n=27時(shí)，-22 (1 43) 2 1 -2S27 = +=484+

23、62=546>12a28=540，符合題意.故使得 &>122e成立的 n的21 -2最小值為27.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算., .n 118.【2017年高考全國(guó)II卷理數(shù)】等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a3 = 3, S4=10 ,則£ 一 =kg【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1 2d = 3a1,公差為d ,由題意有44 M 34a1 d =10a1 =1,解得d =1也心工n n -1n n -1 n n 1數(shù)列J白刖 n項(xiàng)和 Sn =na1 +-d =n><1 +-

24、&1=>222一11211裂項(xiàng)可得一 =2()，Q k(k 1) k k 1.1111.1所以(d")"。1E2(11 、 2n-)=n 1 n 1【名師點(diǎn)睛】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量 a1，an, d, n, &,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用得方法.使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正、負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前 后對(duì)稱的特點(diǎn).19.【2017年高考

25、全國(guó)III卷理數(shù)】設(shè)等比數(shù)列an滿足a + a2 =T, a-a3 =-3,則a4=.【答案】-8【解析】設(shè)等比數(shù)列 an的公比為q ,很明顯q#-1 ,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組:f a1 +a2 =a1(1 +q) = -1 2a( - a3 =a1(1- q )= -3 ,口由一可得:q = 一2 ,代入可得 4 =1 ,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可3得 a4 = a1q = -8 .【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于

26、運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程20.【2017年高考江蘇卷】等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前 n項(xiàng)和為S ,已知S3=7,S463二:，則4a8【答案】32【解析】當(dāng)q=1時(shí)，顯然不符合題意;當(dāng)q ?1時(shí),0(1 -q3) =71 -q 4q(1 -q6) =631 -q 41.7a8 = 2 =324【名師點(diǎn)睛】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路：利用基本量，將多元問(wèn)題簡(jiǎn) 化為一元問(wèn)題，雖有一定量的運(yùn)算，但思路簡(jiǎn)潔，目標(biāo)明確；利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但 在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)成立的前

27、提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用 巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.【2017年高考北京卷理數(shù)】若等差數(shù)列Qn和等比數(shù)列bn滿足a1 = b1 = T , a4 = b4 = 8 ,則 a2b2【答案】1【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為d和q ,則1七d 二 q3 8 ，求得q = 2,d = 3 ,那么m:41b22【名師點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）問(wèn)題，因此可以說(shuō)數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題，所以用方

28、程思想解決數(shù)列問(wèn)題是一種行之有效的方法22.【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】已知數(shù)列an和bn滿足ai=1 , bi=0, 4an卅=3an bn + 4 ,4bn 1 - 3bn - an - 4 .(1)證明：an + bn是等比數(shù)列，an)n是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項(xiàng)公式.11 .11【答案】(1)見解析；(2)an =r+n , bn =rn+-.2n2n 2 n21，,、【解析】(1)由題設(shè)得 4(an 書 +bn +)=2(an +bn),即 an 書 +bn噂=W(an +bn) .1又因?yàn)閍1+b1=l,所以an +bn是首項(xiàng)為1,公比為一的等比數(shù)列.2由題設(shè)得4(烝

29、+ - bn +) =4(烝一必)+8 ,即an書一 bn書=an -bn +2 .又因?yàn)閍1)1=l,所以an -bn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列. .1.-.(2)由(1)知，an +bn =n , an -bn =2n -1.1 11所以an =3(an+十四口 一燈力二三十 口一；，2 22,111bn =2(an +bj-(an -bn)=2T-n+.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.23.【2019年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列

30、 an,從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、第im項(xiàng)(i1<i2<-yim),若 ah< '"<aim ,則稱新數(shù)列a1，凡，a0為an的長(zhǎng)度為m的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列an的任意一項(xiàng)都是an的長(zhǎng)度為1的遞增子列.(1)寫出數(shù)列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；(2)已知數(shù)列an的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為am0 ,長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為 a .若 p<q,求證：am0<an0 ;(3)設(shè)無(wú)窮數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等.若an的長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2sT,且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為

31、2sT的遞增子列恰有2s-1個(gè)(s=1, 2,)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.【答案】(1) 1,3,5,6 (答案不唯一)；(2)見解析；(3)見解析.【解析】（1） 1, 3, 5, 6.（答案不唯一） 設(shè)長(zhǎng)度為q末項(xiàng)為an0的一個(gè)遞增子列為a1 ,ar2 M|, arq 1 ,a% .由p<q,得 a.p <arq±<ano.因?yàn)樾〉拈L(zhǎng)度為p的遞增子列末項(xiàng)的最小值為am ,又a1 ,ar2,"|,arp是（an的長(zhǎng)度為p的遞增子列,所以 am。- ar . 0p所以 amo <ano -（3）由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是an中的項(xiàng).先證明：若2m是an中

32、的項(xiàng)，則2m必排在2m-1之前（m為正整數(shù)）.假設(shè)2 m排在2m- 1之后.設(shè)ap1,ap2,|,apmX,2m-1是數(shù)列 以的長(zhǎng)度為m末項(xiàng)為2m- 1的遞增子列，則 aR,ap2,IM,apm±J 2m -1,2m是數(shù)列Qn的長(zhǎng)度為m+1末項(xiàng)為2m的遞增子列.與已知矛盾.再證明：所有正偶數(shù)都是 an中的項(xiàng).假設(shè)存在正偶數(shù)不是an中的項(xiàng)，設(shè)不在an中的最小的正偶數(shù)為2m.因?yàn)?k排在2k-1之前（k=1, 2,，m-1）,所以2k和2k1不可能在 an的同一個(gè)遞增子列中.又Qn 中不超過(guò)2m+1的數(shù)為1, 2,，2m- 2, 2m- 1, 2m+1 ,所以an 的長(zhǎng)度為m+1且末項(xiàng)為

33、2m+1的遞增子列個(gè)數(shù)至多為 2乂2 y K川MDx 1M 1 = 2m，< 2m .（m 4.）個(gè)與已知矛盾.最后證明：2m排在2m-3之后（m>為整數(shù)）.假設(shè)存在2m （m>2）,使得2m排在2m-3之前，則 QJ的長(zhǎng)度為m+1且末項(xiàng)為2m+l的遞增子列的個(gè)數(shù)小于2m.與已知矛盾.綜上，數(shù)列 Gn）只可能為2, 1, 4, 3,，2m- 3, 2m, 2m- 1,.經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)列2, 1,4, 3,，2m- 3, 2m, 2m- 1,符合條件.所以ann 1,n為奇數(shù),n-1,n為偶數(shù).【名師點(diǎn)睛】新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)

34、此.但是,新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解新題”不一定是 雉題”，掌握好三基，以不變透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.24.【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè) an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.已知a, =4,b1 =6,b2 =2a2 -2,b3 =2a3 +4.(i)求 Qn和bn的通項(xiàng)公式； .1. 2k ；n ：2k1.(n)設(shè)數(shù)列cn滿足=i,cn =其中kw nbk,n =2k,(i)求數(shù)列(a2n (c2n -1的通項(xiàng)公式;2n(ii)求 £ aq (nw N ). i 1【答案】(1)

35、%=3n+1； bn=3x2n (2) (i) a2n (c2n 1 ) = 9父4n 1 (ii)2n-*2n. 1n 1*a aiCin N =27 25 2-n -12 n Ni W6q=6 2d,一【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列tan)的公差為d ,等比數(shù)列bn的公比為q .依題意得i 2解6q2 =12 4d,一 d = 3,.得 «，故 an =4 + (n 1)M3 = 3n +1,bn =6父 2n =3父 2n.q=2，所以，Qn)的通項(xiàng)公式為an=3n+1， bn的通項(xiàng)公式為bn=3M2n.(2)(i)a2n(c2n-1)=a2n(bn1) = (3黑2n+1X3M2n

36、1)=9X4n-1 .所以，數(shù)列 Qn(C2n 1)的通項(xiàng)公式為a2n (C2n 1 )=9M4n 1.2n2n2nn(ii) Z aiG =2 a (g T )=E ai +2 a2i (c2i -1) i 1i 1 i 1 i 12n 4 222r23 +£(9x4 -1 )2 114 1 - 4n=3 2n 5 2n9 k-n_ 2n _1_ n _1_*=27父2+5x2-n-12 (nW N ).【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力.25.【2019年高考江蘇卷】定義首項(xiàng)為1

37、且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列(1)已知等比數(shù)列an(n e N*)滿足：a2a4 =a5,a34a2+4a1 =0 ,求證：數(shù)列an為“M數(shù)列”;,122(2)已知數(shù)列bn(nW N )滿足：n =1，k =1；，其中Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.Sn bn bn 1求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；設(shè)m為正整數(shù)，若存在 “M數(shù)列" Cn(nw N*),對(duì)任意正整數(shù)k,當(dāng)k前時(shí)，都有Ck蒯bk Ck書成立，求m的最大值.【答案】(1)見解析； bn=n(n WN )；5.【解析】解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,所以awQ q0.,a2 a4 = a§由45，得©3 4a2

38、 +43) =0,244aIq =a1qa1q 4a1q+4al =0a1 = 1解得1q = 2因止匕數(shù)歹U an為"M->g" ”一 ,122, 八(2)因?yàn)橐?一 一,所以bn ¥ 0 .Snbnbn1n,-122,由 b1 =1,6=匕，得一=一,則 bz=2.11b2,122-bnbn 1由7：，得 Sn=：7TTSnbnbn 12( bn 1 bn)當(dāng) n 之 2 時(shí)，由 bn =Sn Sn,得 bn =bnbn 1bnbn2 bn1 n2 bn 飛 口整理得bn平+bn,=2bn.所以數(shù)列 bn是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.一 一 、一一一 _

39、 _ *因此，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=n(nw N )由知，bk=k, k e N*.因?yàn)閿?shù)列Cn為“M數(shù)列”，設(shè)公比為q,所以 ci=1, q>0.因?yàn)镃k通心+1,所以qk，< k <qk ,其中 k=1, 2, 3,，m.ln kK1 -lnx2x因?yàn)?ln8 ln9 ln 3一,所以3f (k)max = f(3)=ln3取 q =遍,當(dāng) k=1, 2, 3, 4, 5時(shí),ln k ,kT, 1nq '即 k"'經(jīng)檢驗(yàn)知qkX <k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m>6 分別取 k=3, 6,得 3對(duì)3,且 q5W6,從而

40、 q15>243 且q15w21$所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力.26.【2019年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn, a3 = 4 , a4=S3,數(shù)列bn滿足：對(duì)每個(gè)nW N : & +4,0+4,&_2 + b0成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an, bn的通項(xiàng)公式;當(dāng)k=1時(shí)，有q>tln k當(dāng)k=2, 3,，m時(shí)，有<ln q kln x.設(shè)f (x)=(x>1),則 f&

41、#39;(x) = x令f '(x)=0,得*=3.列表如下：x(1.e)e(e, +°°)f'(x)+0一f (x)極大值4（2）記 cn = ln-, n n N *,證明：g +q + “| 十cn < 2而，n 它 N*. .20【答案】（1） an=2（n1）, bn =n（n + 1 ）； 證明見解析.【解析】（1）設(shè)數(shù)列a。的公差為d,由題意得a1 +2d =4,a1 +3d =3a1 +3d ,解得 a1 =0, d = 2 . *從而 an =2n -2, n = N .2一*所以 Sn =n -n, n = N ,由Sn +bn,S

42、n書+bn,Sn* + bn成等比數(shù)列得2(&十+4 ) =(&+bnXSn%十bn%12斛得 bnfSn-)(2)我們用數(shù)學(xué)歸納法證明.2n -22n(n 1)n -1n(n 1)（i）當(dāng)n=1時(shí)，c二0<2,不等式成立;（ii）假設(shè)n=k（Y N*）時(shí)不等式成立，即G +C2+IH+ck <2尿.那么，當(dāng)n=k+1時(shí),= 2.k 1：2、k-2 =2、k 2(1 - .k)k 1 k即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.根據(jù)（i）和（ii）,不等式g +c2 +IU + cn <2/n對(duì)任意n e N*成立.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)

43、學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力.27.【2018年高考全國(guó)II卷理數(shù)】記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=7, S3 = -15 .（1）求Qn 的通項(xiàng)公式；求Sn,并求Sn的最小值.【答案】（1） an=2n-9; （2） $ = n28n,最小值為 T6.【解析】（1）設(shè)an的公差為d,由題意得3a1+3d=T5.由 a= 7 得 d=2.所以an的通項(xiàng)公式為 an=2n -9.（2）由（1）得 Sn=n2 6n= （nW） 2T6.所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為 -16.【名師點(diǎn)睛】數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問(wèn)題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義

44、域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件.（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式得Sn關(guān)于n的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸以及自變量為正整數(shù) 求函數(shù)最值.28.【2018年高考全國(guó)III卷理數(shù)】等比數(shù)列aj中，a T, a5=4a3.（1）求aj的通項(xiàng)公式；記&為Q 的前n項(xiàng)和.若Sm =63 ,求m .【答案】（1） an =（-2）2或 an =2n,；（2） m=6.【解析】（1）設(shè)an的公比為q ,由題設(shè)得an = qn'.由已知得q4 =4q2 ,解得q = 0 （舍去），q = -2或q = 2.故 an =（

45、2）2或an =2n. 若an=（2尸，則Sn=1（2）.由Sm=63得（2）m = 188,此方程沒有正整數(shù)解. 3若 an =2n1 則 Sn =2n 1.由 Sm =63得 2m =64,解得 m =6.綜上，m = 6.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題29.【2018年高考浙江卷】已知等比數(shù)列 an的公比q>1,且a3+a4+a5=28, a，+2是a3, a5的等差中項(xiàng).數(shù) 列bn滿足bi=1,數(shù)列 (bn+i-bn) an的前n項(xiàng)和為2n2+n.(1)求q的值；(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.1 n 0【答案】(1) q=2； (2) bn =

46、15(4n+3)，(一)i.2【解析】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力.(1)由a4+2是a3, a5的等差中項(xiàng)得a3+a5=2a4+4,所以 a3 +a4 +a5 = 3a4 + 4 = 28 ,解得a4 =8.,一1、由 a3+a5 =20得 8(q+) =20 , q因?yàn)閝 >1 ,所以q =2.設(shè)Cn=(bn書bn)an,數(shù)歹U g前n項(xiàng)和為Sn .由Cn =S1, n = 1,Sn -Sn4,n-2.解得 Cn =4n -1.由(1)可知an =2n，所以 bn由bn =(4n 1) (1)2, 21 2故bn bn_1 =

47、(4n-5) (-), n >2 ,2bn -b1二(bn-bn)(bn-bn)(b3-b2).(b2-bl)1 11= (4n -5) ( )n(4n -9) ( )nI" 73.2 22設(shè)Tn =3+7 1 +11 (1)2 +lll + (4n -5) -(1)n,n >2 , 222%n =3 1 7 (1)2 HI (4n -9)(。嚴(yán) (4n -5)(1廠22222所以 1n =3 + 4 1+4 (I)2+川+4 (工廠_(4門_5)-(1尸,22222,n >2,一.1 因此 Tn =14 （4n 3H萬(wàn)）一 .1 又 b1 =1 ,所以 bn =1

48、5(4n +3)(一).2【名師點(diǎn)睛】用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問(wèn)題：(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出sj與qsj的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出Sji-ql”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等 于1兩種情況求解.30.【2018年高考江蘇卷】設(shè)an是首項(xiàng)為3,公差為d的等差數(shù)列，bn是首項(xiàng)為“，公比為q的等比數(shù) 歹U.(1)設(shè) a =0,h =1,q=2,若 |anbn|Wb1 對(duì) n =1,2,3,4 均成立，求 d 的取值范圍；(2)若 & =b0,mW N*,qW(1,?

49、2,證明：存在 d R ,使得 |an bn 怪。對(duì) n = 2,3，H|,m + 1 均成立，并求d的取值范圍(用b1,m,q表示).【答案】(1) 7,5; (2)見解析.3 2【解析】本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力.滿分16分.(1)由條件知：an =(n1)d,bn =2".因?yàn)?|anbn|Wb1 對(duì) n=1 , 2, 3, 4 均成立，即 |(n 1)d -2nA|<1 對(duì) n=1, 2, 3, 4 均成立，75即 1 E1, 1 <d <3, 3<2d&

50、lt;5, 7 W3d <9,得 7 <d <32因此，d的取值范圍為7島.3 2(2)由條件知：an =bi +(n1)d,bn =b1qn.若存在 d,使得 | an -bn |<b1 (n=2, 3,，m+1)成立，即 | b +(n -1)d -b1qn|<b1 (n =2,3,lll,m +1),n 1n 1即當(dāng) n =2,3j|,m+1 時(shí)，d 滿足q一二bEdqb.n -1n -1因?yàn)?q W(1,蜴，貝(J 1 <qn<qm <2 , n 1n 1從而 qt1 <0, qbi >0 ,對(duì) n =2,3,W,m+1 均成

51、立.n Tn -1因此，取d=0時(shí)，a bn |«b對(duì)n=2,3,川,m+1均成立.n on _1(n=2,3,|H，m+1).,n n 1、nn(q -q ) -q 2n(n - 1)卜面討論數(shù)列q 一 一2的最大值和數(shù)列9二的最小值n -1n-1nn 1n n n 1當(dāng)2 wn <m時(shí),q -2 q 2 nq -q -nq 2n n -1n(n -1)1當(dāng) 1 <q <2m 時(shí)，有 qn <qm <2 ,從而 n(qn -qn-) -qn + 2 >0 .n 1 q因此，當(dāng)2EnMm十1時(shí)，數(shù)列q一二2單調(diào)遞增, n -1n 1m故數(shù)列 qZ2

52、的最大值為q -2 .n -1m設(shè) f (x) =2x(1 x),當(dāng) x>0 時(shí)，f'(x) =(ln2 1 xln2)2x <0 ,所以f(x)單調(diào)遞減，從而f(x)<f (0) =1.nq (1)111當(dāng) 2 Wn Wm 時(shí)，n- =- <2n (1-1) = f (-) <1 ,q - nn nn -1n 1因此，當(dāng)2 Wn Wm +1時(shí)，數(shù)列q一單調(diào)遞減, n -1n 1故數(shù)列_q_的最小值為n -1m m因此，d的取值范圍為b一2，如一. m m31.【2018年高考天津卷理數(shù)】設(shè)an是等比數(shù)列，公比大于 0,其前n項(xiàng)和為Sn(nw N"

53、;) , bn是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn(nw N*),求Tn ；(ii)證明 z (Tk +b")bk -Sl_2(nW N*). ki (k 1)(k 2) n 2【答案】(1)an=2n，,bn= n ； (2) (i)Tn= 2n*n- 2； (ii)見解析.【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力.滿分13分.(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.由a1 =1,a3 =a2+2,可彳#q2q2=0.因?yàn)閝 >0,可得q=2,故an =2n.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d,由a4 =燈+b5 ,可得b1 +3d =4.由a5 =b4 +2b6,可得 3bi +13d =16,從而 bi=1,d=1,故 bn = n.所以，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =2n,，數(shù)列bn的通項(xiàng)公