一題學(xué)懂極值點(diǎn)偏移5大套路

1、題弄懂極值點(diǎn)偏移5大套路已知fxxlnx12一mx2x,mR.若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)xi,x2,且x1、一2證：xx2e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）解法一：齊次構(gòu)造通解偏移套路2Inxmx,所以，xi,證法1:欲證xx2e,需證lnx1lnx22.若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)xi,x2,即函數(shù)fx有兩個(gè)零點(diǎn).又fxx2是方程fx0的兩個(gè)不同實(shí)根.工曰士lnximxi0ln%Inx?于是，有，Ic,解得m.lnx2mx20xix2另一方面，由lnximxilnx2mx200,得lnx2lnximx2xi,從而可得,lnx2lnxilnxilnx2X2xixix2i&ln*lnx2lnxix2xix1x1于是

2、，lnx1lnx2x2xi&ixi又0xix2,設(shè)tx2,則txi1.因此，lnxilnx21tlntt11.要證lnxilnx22,即證:t1lntt12,ti.即：當(dāng)t1時(shí)，有l(wèi)nt0,2t1函數(shù)htlnt,t1,則htt1所以，ht為1.上的增函數(shù).注意到,h10,因此，hth10.于是，當(dāng)t1時(shí)，有l(wèi)nt有l(wèi)nx1lnx22成立,2x1x2e.解法二變換函數(shù)能妙解、,，、2證法2:欲證xx2e,需證InxInx22.若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,即函數(shù)fx有兩個(gè)零點(diǎn).又Inxmx,所以，x,，x2是方程f0的兩個(gè)不同實(shí)根.顯否則,函數(shù)x為單調(diào)函數(shù)，不符合題意.由1nxilnx2

3、mx,mx2lnx1lnx2mx1又2，即只需證明mx1x22即可.即只需證明xi乂210,m2mxmx0,1m0,由于f又因?yàn)?2,mx。工mx2，x1，又2fx1x1在-1m解法三構(gòu)造函數(shù)現(xiàn)實(shí)力由x1，x2是方程0的兩個(gè)不同實(shí)根得，故有x2lngx2，由于gx1ex2,需證明x1x2x22f-x2x22一.e，只需證明x11,ex2lnx0,e2:一x1，即x1x2m只需證明lnxx12ex21,e2e人一.令xxx1,則fx2fX1Xi2ee,x1在e,X2解法四巧引變量（一）Inx1t2Inx21,Xi則由InIn為x2mx1mx2t1met1t2met2tit2et1t2,設(shè)kt1k

4、ke-k-e.欲證xx2需證Inx1Inx22.即只需證明t1t2k1ek0.kek證.,00,故,0因此0,命題得解法五巧引變量證法5:設(shè)t1Inx1t2Inx21,則由InInX又2mx1mx20/日0得t1t2一t1me一t2me2t1t1-e0,1則t1kInk2Ink欲證xx2證InXInx22,即只需證明t1t22,1InkInkInk0,Ink0,10,在0,1gkg10,命題得證.偏移新花樣一拐點(diǎn)偏移PK極值點(diǎn)偏移常規(guī)套路如何選擇合理的函數(shù)1-極值點(diǎn)偏移問題專題2-極值點(diǎn)偏移問題專題二3-極值點(diǎn)偏移問題專題三一一變更結(jié)論處理偏移4-極值點(diǎn)偏移問題專題四一一比值代換齊次消元5-極

5、值點(diǎn)偏移問題專題五對(duì)數(shù)平均顯神威6-極值點(diǎn)偏移問題專題六一一本質(zhì)回歸泰勒展開7-極值點(diǎn)偏移問題專題七一一歷年精選一題多解23例8、利用對(duì)數(shù)平均不等式處理極值點(diǎn)偏移壓軸難題9、一題學(xué)懂極值點(diǎn)偏移五大處理套路極值點(diǎn)偏移的問題(含答案)1.已知f(x)lnxax,(a為常數(shù))(1若函數(shù)”*)在*1處的切線與洋由平行，求a的值；(2)當(dāng)a1時(shí),試比較f(m)與f(1)的大小;m(3)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,證明：x1x2>e2變式：已知函數(shù)f(x)lnxax2,a為常數(shù)。(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,試證明：x1x2>e.2.已知f(x)x2+axsin-

6、,x(0,1);(1)若f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a=-2時(shí)，記f(x)取得極小值為f(x0)若f(x1)f(x2)，求證x1x2>2x0.1o3 .已知f(x)Inx-axx,(aR)2(1)若f(1)=0,求函數(shù)f(x)的最大值；(2)令g(x)=f(x)-(ax1),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若a=-2,正實(shí)數(shù)0x2，滿足f(x。x2x1x20,證明：x1,51x222(x1)x14 .設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-(1)證明:當(dāng)x1時(shí),g(x)>0恒成立;(2)若函數(shù)f(x)無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若函數(shù)f

7、(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1,x2,求證：x1x2e25 .已知f(x)x2aalnx,常數(shù)aR。(1求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且x1x2；(i)指出a的取值范圍，并說(shuō)明理由；(ii)求證：x1x28a3x6.設(shè)函數(shù)f(x)eaxa(aR),其圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn)，且x1x2.(1)求a的取值范圍；(2)證明：fjx/0(f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))；(3)設(shè)點(diǎn)C在函數(shù)yf(x)的圖象上，且ABC為等腰直角三角形，記£2二1t,xi1求(a1)(t1)的值.【解】(1)f(x)exa.若aw0,則f(x)0,則函數(shù)f(x)是

8、單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾.所以a0,令f(x)0,則xlna.當(dāng)xlna時(shí)，f(x)0,f(x)是單調(diào)減函數(shù)；xlna時(shí)，f(x)0,f(x)是單調(diào)增函數(shù)；于是當(dāng)xlna時(shí)，f(x)取得極小值.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)exaxa(aR)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x,0),B(x2,0)(xkx2),所以f(lna)a(2lna)0,即ae2.此時(shí)，存在1lna,f(1)e0;存在3lnalna,f(3lna)a33alnaaa33a2a0,又由f(x)在(，lna)及(lna,)上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知ae2為所求取值范圍.x1(2)因?yàn)閤1'兩式相減得ae一e-e2ax2a0,x2x

9、X2Xi2s(s0)XiX2-2xiXxlx2X2X.2-eee-e2s(eses)，設(shè)x2x12ssssg(s)2s(ee),則g(s)2(ese)0,所以g(s)是單倜減函數(shù),X1X2-2則有g(shù)(s)g(0)0,而e0,所以f2s2又f(x)exa是單調(diào)增函數(shù)，且生方至屈2X1(i1,2).(3)依題意有exaxa0,則a(x1)ex0xix2于是e=aj(x11)(X21),在等腰三角形ABC中，顯然CX1X2X02(X1,X2),即ycf(X0)0,由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知x2/y0,X1X2所以y°馬上0,即eF|(X1X2)a0,所以a.反1)(X21)|(X1X

10、2)a至廣0,即aj(x11)(X21)|(X11)(X21)(X21,J10.因?yàn)閤110,則ajx21a1,x12又J|二1t,所以ata(1t2)VX112X21X11X21X1122t21)0,即a1言，所以(a1)(t1)2.7 .已知函數(shù)f(x)xcX(xR)(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(n)已知函數(shù)yg(x)的圖象與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，證明當(dāng)(出)如果XiX2,且f(Xi)f(X2),證明XiX22(I)解：f'(x)f(1X)e令f'(x)=0,解得x=1當(dāng)X變化時(shí)，f'(X),f(x)的變化情況如下表X(,1)1(1,)f&

11、#39;(X)+o-f(x)極大值所以f(x)在(，1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,)內(nèi)是減函數(shù)。1函數(shù)f(x)在X=1處取得極大值f(1)且f(1)=一e(n)證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex2令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)xeX(x2)eX2于是F'(x)(x1)(e2x21)eX當(dāng)x>1時(shí)，2x-2>0,從而e2x-210,又eX0,所以F'(x)>0,從而函數(shù)F(x)在1,+°°)是增函數(shù)。又F(1)=e-1e-10,所以X>1時(shí)，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x)

12、.m)證明：(1)若(X11)(X21)0,由()及心1)f(X2),則"X21.與XX2矛盾。(2)若(X1)(x21)0,由()及f(x1)f(x2),彳#x1x2.與XX2矛盾。根據(jù)(1)(2)得(X,1)(x21)0,不妨設(shè)入1,x21.由(n)可知，f(x2)>g(x2)，則g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),從而f(x1)>f(2-x2).因?yàn)閄21,所以2X21,又由(I)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,1)內(nèi)事增函數(shù)，所以x1>2*2,即、x2>2.8 .已知函數(shù)f(x)Inxax2(2a)x(12分)(I)討論f(

13、x)的單調(diào)性；(II)設(shè)a>0,證明：當(dāng)ox1時(shí)，f(-x)f(-x)；aaa(III)若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為Xo,證明：f'xQ)<0.1xx9 .已知函數(shù)f(x)2e.1x2(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)證明：當(dāng)f(x1)f(x2)(x1x2)時(shí)，x1x20解:(I)f'(x)(_1_1_x)ex(1_x2)_(1_x)ex_2x(1x2)2xxe23x22x2丁2(1x)22420當(dāng)x(-,0時(shí)，f'(x)0,yf(x)單調(diào)遞增;0,)時(shí)，f'(x)0,yf(x)單調(diào)遞減.所以，yf(x)在在(

14、,0上單調(diào)遞增；在x0,)上單調(diào)遞減.(n)由(i)知，只需要證明：當(dāng)x>0時(shí)f(x)<f(x)即可。x。f(x)f(x)；一：ex:一：ex-2(1x)e2x11x1x1x令g(x)(1x)e2x1x,x0g'(x)(12x)e2x1。令h(x)(12x)e2x1h'(x)(12x)e2x4xe2x0,yh(x)在(0,)上單調(diào)遞減h(x)h(0)0yg(x)在(0,)上單調(diào)遞減g(x)g(0)0xy2-(1x)e2x1x在(0,)上單調(diào)遞減，但x0時(shí)y0.1xf(x)f(x)0f(x)f(x)所以，當(dāng)f(x1)“乂2)且入x2時(shí)，x1x20.210 .已知函數(shù)f

15、(x)alnxx.1(1)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)yf(x)在金，2上的最大值；(2)令g(x)f(x)ax,若yg(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，求a的取值范圍；(3)當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)h(x)f(x)mx的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),且0x1x2,又h(x)是h(x)的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)，滿足條件1,.證明：2解(1)f(x)2xx22x2函數(shù)yf(x)在l,i是增函數(shù)，在i,2是減函數(shù),2所以f(x)maxf(i)2Inii2i(2)因?yàn)間(x)aInxx2ax,所以g(x)-x2x因?yàn)間(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，所以g(x)0在(0,3)上有實(shí)數(shù)解，且無(wú)重根,由g(x)0,有2x2-=2(xii又當(dāng)8時(shí),綜上9(0,2)(3)h(x)(x)2x2lnxi2ximx10有重根xmx22lnx2x2mx20,兩式相減,094叼)，x(0,3)0有兩個(gè)實(shí)根2(1nxiInx2)xi,x2,x2)m(xix2)，2(Inx